（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题 01分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2个知识点3种题型1个易错点）（原卷版）

专题01分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2个知识点3种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.两个计数原理及其简单应用知识点2.两个计数原理的综合应用拓展1.分类加法计数原理的应用拓展2.分步乘法计数原理的应用拓展3..两个计数原理的综合应用突破1.穷举法在解决实际问题中的运用突破2.用计数原理解决涂色问题【方法二】实例探索法题型1.分类加法计数原理的应用题型2.分步乘法计数原理的应用题型3.两个计数原理的综合应用【方法三】差异对比法易错点：计数时出现“重复”或“遗漏”【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.两个计数原理及其简单应用一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．例一、单选题1．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（

）A．30种 B．75种 C．10种 D．20种2．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（

）A．6种 B．12种 C．3种 D．9种知识点2.两个计数原理的综合应用一、两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题不同点针对的是“分类”问题不同点各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事例二、多选题3．（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（

）

A． B．C． D．4．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中学校考阶段练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（

）A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种二、两个计数原理的应用用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．拓展1.分类加法计数原理的应用单选题（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（

）A．14 B．17 C．20 D．23拓展2.分步乘法计数原理的应用2．单选题（2024·全国·高三专题练习）某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（

）A． B． C．12 D．9拓展3..两个计数原理的综合应用3．（2024上·甘肃·高二统考期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有个.突破1.穷举法在解决实际问题中的运用1．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为.突破2.用计数原理解决涂色问题2．（2023·全国·高二课堂例题）在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？【方法二】实例探索法题型1.分类加法计数原理的应用1．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．(1)至少有一个白球的取法有多少种？(2)两球的颜色相同的取法有多少种？题型2.分步乘法计数原理的应用2．（2023·全国·高二随堂练习）按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，求a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数．题型3.两个计数原理的综合应用3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（

）A．32种 B．128种 C．64种 D．256种【方法三】差异对比法易错点：计数时出现“重复”或“遗漏”1．（2023下·河南·高二河南大学附属中学校考期中）2025年河南省实行新高考，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地

理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有种．2．（2023·全国·高二课堂例题）某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？【方法四】成果评定法一、单选题1．（2003·全国·高考真题）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（

）A．95 B．91 C．88 D．752．（2022下·广东深圳·高二深圳市光明区高级中学校考期中）某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（

）A．180种 B．56种 C．29种 D．15种3．（2021上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考开学考试）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（）A．12种 B．13种C．14种 D．15种4．（2020·高二课时练习）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是A．12 B．24 C．36 D．485．（2022下·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（

）A．15种 B．31种 C．24种 D．23种6．（2023下·高二课时练习）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（

）A．65 B．73 C．70 D．60.7．（2021·高二课时练习）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（

）种.A．9 B．11 C．13 D．158．（2022下·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味.现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（

）A．36 B．18 C．9 D．6二、多选题9．（2021下·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小刘为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（

）A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种B．若每项工作至少安排一人，则有120种不同的方案C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法10．（2021下·江苏苏州·高二苏州中学校考阶段练习）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A．所有可能的方法有种B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种11．（2021上·辽宁营口·高二期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法12．（2022上·高二课时练习）（多选题）已知，，则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为（）A． B．C． D．三、填空题13．（2021·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有种.14．将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为.(用数字作答)15．某小区一单元共有6层，每层只有一家住户.已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多有一家收到快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少有一家收到快递，则在同一天这6家住户收到快递的可能情况共有种.（用数字作答）16．现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为．四、解答题17．（2023·全国·高二随堂练习）（1）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？（2）用1，2，3，4，5，6，7可以组成多少个没有重复数字，并且小于60000的正整数？（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数共有多少个？18．（2023·全国·高二课堂例题）某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？(2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？19．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，组成数对，则其中的数对有多少个?20．（2023上·高二课时练习）从6人中选取4人分别去A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只游览一个城市，且这6人中，