第十一章 专题十九 带电粒子在立体空间中的运动

第十一章磁场专题十九带电粒子在立体空间中的运动单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点。教材帮读透教材融会贯通高考帮研透高考明确方向03练习帮练透好题精准分层目录Contents单击此处添加标题01单击此处添加标题02五年考情命题分析预测2023：天津T12；2022：广东T7，山东T17；2021：天津T12近年高考命题有从平面向立体空间转化的趋势，

特别是电磁场部分，可能会设置立体空间的电场

或磁场，考查带电粒子的运动情况分析，预计

2025年高考该考点会是命题的热点.1.解题关键点(1)带电粒子的等间距螺旋线运动与加速旋进的螺旋线运动①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直

时，带电粒子在磁场中就做等间距螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的

匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动.②空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可

以做加速旋进的螺旋线运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动

和垂直于磁场平面的匀速圆周运动.(2)带电粒子在立体空间中的偏转分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的

运动状态，进而确定粒子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程

分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子

的运动状态和关联条件即可求解问题.2.常见带电粒子在立体空间中的运动类型常见类型立体视图三视图等间距螺旋线运动

磁场进磁场

yOx平面yOz平面常见类型立体视图三视图电场进磁场

yOx平面yOz平面磁场进电场

命题点1三维空间只有磁场与磁场构成的组合场1.[2022广东]如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区

域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场.一质子以某一速

度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域.下列关于质子运动轨

迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(

A

)A[解析]

根据题述情境，质子垂直Oyz平面进入磁场，由左手定则可知，质子先向y

轴正方向偏转穿过MNPQ平面，再向x轴正方向偏转，所以A可能正确，B错误；该

轨迹在Oxz平面上的投影为一条平行于x轴的直线，CD错误.[一题多解]本题可采用降维法处理.作出俯视图如图所示，由左手定则判断质子射入

磁场和到磁场边界的洛伦兹力方向，进而判断质子的轨迹.命题点2三维空间中磁场与电场构成的叠加场2.[2022重庆]2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录.为粗略了

解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场

和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，

磁感应强度大小为B.

若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行

于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则

(

D

)DB.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1BC.v2与v1的比值不断变大D.该离子的加速度大小不变[解析]

(1)当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；

[解析]离子甲从A点射入电场，由O点沿＋z方向射出，只受沿－y方向电场力的作用，所以在＋z方向上，离子甲做匀速直线运动，在从A到O的运动过程中，在＋z方向上有L＝v0cosβ·t在＋y方向上有0＝v0sinβ－at由牛顿第二定律有Eq＝ma

(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；

[答案]

(d，d，0)

图1

图2从O点进入磁场到第一个交点过程，有

图2根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图2所示

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点时间差为

1.[信号放大器/2023天津]信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可以通

过在相邻极板间施加电压，使阴极逸出的电子击中极板时，激发出更多的电子，从

而逐级放大电信号.已知电子的质量为m，带电荷量为－e.(1)在极板上建立空间直角坐标系，极板上方空间内存在磁场，其磁感应强度大小为

B，方向平行于z轴.极板间的电压U极小，几乎不影响电子运动.如图2，某次激发

中，产生了2个电子a和b，其初速度方向分别在xOy与zOy平面内，且与y轴正方向都

成θ角，则：12图1图2图3(i)判断磁场的方向；(ii)求a、b两个电子运动到下一个极板的时间t1和t2.

12[解析]

(i)由题意可知电子a的初速度方向在xOy平面内，与y轴正方向成θ角.若磁

场方向沿z轴正方向，则由左手定则可知电子a在洛伦兹力的作用下向x轴负方向偏

转，不符合题意；若磁场方向沿z轴负方向，则由左手定则可知电子a在洛伦兹力的

作用下向x轴正方向偏转，符合题意.综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴负方向(ii)电子a在洛伦兹力作用下的运动轨迹如图由图可知电子a运动到下一个极板的时间为

12

12(2)若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出δ个电

子，且δ∝U，阳极处接收电子产生的电流为I，在图3的坐标系中定性画出表示U和I

关系的图像并说明这样画的理由.[答案]

见解析[解析]

设δ＝kU(k为常量)，单位时间内阴极逸出的电子数量为N0.每个电子打到极板上可以激发出δ个电子，则经过n次激发后单位时间内阳极处接收到的电子数量为N＝N0δn＝N0(kU)n＝N0knUn结合电流的定义式可得阳极处接收电子产生的电流为I＝Ne＝eN0knUn＝(eN0kn)Un＝AUn(A为常量)可得I－U图像如图122.[霍尔效应＋电流的微观表达式/2021天津]霍尔元件是一种重要的磁传感器，可

用在多种自动控制系统中.长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边

为坐标轴建立坐标系Oxyz，如图所示.半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两

种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数

目分别为n和p.当半导体材料通有沿＋x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空

间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿＋y方向，于是在z方向上很快建立稳定

电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿－z方向.(1)判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；[答案]

沿＋z方向[解析]由左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿＋z方向.12(2)若自由电子定向移动在沿＋x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移

动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz；

12(3)霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz，求Δt

时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z

方向上形成的电流应满足的条件.[答案]

见[解析][解析]设Δt时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为Nn、空穴数为Np，则Nn＝nacvnzΔtNp＝pacvpzΔt霍尔电场建立后，半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则有Nn＝Np，即

在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方

向形成的电流应大小相等、方向相反.121.[2024山东济宁模拟]如图所示，空间正四棱锥P－ABCD的底边长和侧棱长均为

a，此区域存在平行于CB边由C指向B方向的匀强磁场，现一质量为m、电荷量为＋q

的粒子，以竖直向上的初速度v0从底面ABCD的中心O垂直于磁场方向进入磁场区

域，最后恰好没有从侧面PBC飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力.则磁场的磁感应

强度大小为(

C

)C1234567

1234567

A.2×106m/sB.4×106m/sC.4×105m/sD.2×105m/sB1234567

12345673.[选项图形化/2024广东佛山顺德区模拟/多选]如图所示，在正方体的六条棱d'a'、

a'b'、b'b、bc、cc'、c'd'上通有等大电流，O'点为正方体的中心.在O'点以速度v0沿垂

直b'c'方向发射一不计重力的质子，其运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确

的是(

AD

)ADA B C D1234567[解析]

根据安培定则可知，直导线d'a'和bc在O'点产生的合磁场方向沿垂直b'c'斜向

右上方，而另外四条直导线在O'点产生的合磁场方向也是垂直b'c'斜向右上方，若在

O'点以速度v0沿垂直b'c'方向发射一不计重力的质子，运动方向平行于磁场方向，可

知质子斜向上做匀速直线运动，则轨迹在yOx面的投影如A选项所示，在yOz方向的

投影如D选项所示，故A、D正确，B、C错误.12345674.[2024河南信阳高级中学校考]用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强

磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”

状.现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁

场，电子由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场，

电子的运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中

正确的是(

D

)DA.匀强磁场的方向为沿x轴负方向B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小D.若仅增大α角(α＜90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆1234567

1234567

(1)小球离开磁场时的速度大小；

1234567(2)小球离开磁场时的位置与抛出点的距离.

1234567

6.[三维坐标系中的电磁场/2024辽宁丹东模拟]如图所示，空间存在沿x轴正方向的

匀强电场和匀强磁