2017年数学高考题分类解析考点50 不等式选讲

高考试题分类解析PAGE考点52不等式选讲选择题1.(2017·天津高考理科·T8)已知函数f(x)=QUOTEx2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥QUOTEx2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.QUOTE-4716,2 B.QUOTE-4716,3916C.QUOTE-23,2 D.QUOTE-23,3916【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式、二次函数最值、基本不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与综合运算能力.【解析】选A.不等式f(x)≥QUOTEx2+a可化为-f(x)≤QUOTEx2+a≤f(x)①,当x≤1,①式为-x2+x-3≤QUOTEx2+a≤x2-x+3,即-x2+QUOTEx2-3≤a≤x2-QUOTE32x+3,又-x2+QUOTEx2-3=-QUOTEx-142-QUOTE4716≤-QUOTE4716,x2-QUOTE32x+3=QUOTEx-342+QUOTE3916≥QUOTE3916,所以,-QUOTE4716≤a≤QUOTE3916.当x>1,①式为-x-QUOTE2x≤QUOTEx2+a≤x+QUOTE2x,所以-QUOTE32x-QUOTE2x≤a≤QUOTE12x+QUOTE2x,又-QUOTE32x-QUOTE2x=-QUOTE32x+2x≤-2QUOTE3,QUOTE12x+QUOTE2x≥2,所以-2QUOTE3≤a≤2,综上-QUOTE4716≤a≤2.2.(2017·天津高考文科·T8)已知函数f(x)=QUOTE|x|+2,x<1,x+2x,x≥1.设a∈R,f(x)≥QUOTEx2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[-2,2] B.[-2QUOTE3,2]C.[-2,2QUOTE3] D.[-2QUOTE3,2]【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与数形结合思想.【解析】选A.方法一:因为函数f(x)=QUOTE|x|+2,x<1x+2x,x≥1,所以,令g(x)=QUOTEx2+a=QUOTEx+2a2,当x=-2a时,g(x)取最小值,最小值为0,g(x)是斜率为±QUOTE12的一簇折线,当x≥1时,函数f(x)的最小值在x=QUOTE2时取到,最小值为2QUOTE2,所以函数f(x)和g(x)的图象如图所示,所以要使f(x)≥QUOTEx2+a恒成立,当a>0时,应满足QUOTEa≤2,2a+22≤22,解得0<a≤2;当a=0时,f(x)≥QUOTEx2+a恒成立;当a<0时,应满足-a≤2,解得-2≤a<0.综上所述,a的取值范围是-2≤a≤2.方法二:满足题意时f(x)的图象恒不在函数y=QUOTEx2+a下方,当a=2QUOTE3时,函数图象如图所示,排除C,D选项;当a=-2QUOTE3时,函数图象如图所示,排除B选项,二、填空题1(2017·浙江高考·T17)已知a∈R,函数fQUOTEx=QUOTEx+4x-a+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.【命题意图】本题主要考查基本不等式和求解绝对值不等式.【解析】当x∈QUOTE1,4时,x+QUOTE4x∈QUOTE4,5.(1)当a≥5时,f(x)=a-x-QUOTE4x+a=2a-x-QUOTE4x,函数的最大值2a-4=5,所以a=QUOTE92(舍去).(2)当a≤4时,f(x)=x+QUOTE4x-a+a=x+QUOTE4x≤5,此时符合题意.(3)当4<a<5时,QUOTEf(x)max=maxQUOTE4-a+a,5-a+a,则QUOTE4-a+a≥5-a+a,4-a或QUOTE4-a+a<5-a+a,5-a+a=5,解得a=QUOTE92或a<QUOTE92,综上可得,实数a的取值范围是QUOTE-∞,92.答案:QUOTE-∞,92三、简答题1.(2017·全国丙卷·文科·T23)同(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解;当-1<x<2时,f(x)=x+1+(x-2)=2x-1,令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2,当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3,因为3>1,所以x≥2.综上所述,f(x)≥1的解集为[1,+∞).(2)原式等价于存在x∈R,使f(x)-x2+x≥m成立,即[f(x)-x2+x]max≥m,设g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知g(x)=当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴为x=QUOTE12>-1,所以g(x)≤g(-1)=-5;当-1<x<2时g(x)=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴为x=QUOTE32,所以g(x)≤g=QUOTE54,当x≥2时g(x)=-x2+x+3,其开口向下,对称轴为x=,所以g(x)≤g(2)=1,综上:g(x)max=,即m的取值范围为QUOTE-∞,54.2.(2017·全国乙卷理科·T23)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略.【解析】方法一:(1)当a=1时,fQUOTEx=-x2+x+4,是开口向下,对称轴x=QUOTE12的二次函数.gQUOTEx=QUOTEx+1+QUOTEx-1=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1,当x∈(1,+∞)时,令-x2+x+4=2x,解得x=g在QUOTE1,+∞(1,+∞)上单调递增,fQUOTEx在QUOTE1,+∞(1,+∞)上单调递减,所以此时fQUOTEx≥gQUOTEx解集为QUOTE1,17-12.当x∈QUOTE-1,1时,gQUOTEx=2,fQUOTEx≥fQUOTE-1=2.当x∈QUOTE-∞,-1时,gQUOTEx单调递减,fQUOTEx单调递增,且gQUOTE-1=fQUOTE-1=2.综上所述,fQUOTEx≥gQUOTEx的解集为QUOTE-1,17-12.(2)依题意得:-x2+ax+4≥2在QUOTE-1,1恒成立.即x2-ax-2≤0在QUOTE-1,1恒成立.则只需QUOTE12-a·1-2≤0,-12-a-1-2≤0,解得-1≤a故a取值范围是QUOTE-1,1.方法二:将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x)=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1.(1)当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F和G点中间,联立QUOTEy=2x,y=-x2+x+4GQUOTE17-12,17-1,因此可得解集为QUOTE-1,17-12(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立,故而可得-x2+ax+4≥2⇒x2-2≤ax恒成立,根据图象可得:函数y=ax必须在l1,l2之间,故而可得-1≤a≤1.3.(2017·全国乙卷文科·T23)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略.【解析】方法一:(1)当a=1时,fQUOTEx=-x2+x+4,是开口向下,对称轴x=QUOTE12的二次函数.gQUOTEx=QUOTEx+1+QUOTEx-1=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1,当x∈(1,+∞)时,令-x2+x+4=2x,解得x=g在QUOTE1,+∞(1,+∞)上单调递增,fQUOTEx在QUOTE1,+∞(1,+∞)上单调递减,所以此时fQUOTEx≥gQUOTEx解集为QUOTE1,17-12.当x∈QUOTE-1,1时,gQUOTEx=2,fQUOTEx≥fQUOTE-1=2.当x∈QUOTE-∞,-1时,gQUOTEx单调递减,fQUOTEx单调递增,且gQUOTE-1=fQUOTE-1=2.综上所述,fQUOTEx≥gQUOTEx的解集为QUOTE-1,17-12.(2)依题意得:-x2+ax+4≥2在QUOTE-1,1恒成立.即x2-ax-2≤0在QUOTE-1,1恒成立.则只需QUOTE12-a·1-2≤0,-12-a-1-2≤0,解得-1≤a故a取值范围是QUOTE-1,1.方法二:将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x)=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1.(1)当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F和G点中间,联立QUOTEy=2x,y=-x2+x+4GQUOTE17-12,17-1,因此可得解集为QUOTE-1,17-12(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立,故而可得-x2+ax+4≥2⇒x2-2≤ax恒成立,根据图象可得:函数y=ax必须在l1,l2之间,故而可得-1≤a≤1.4.(2017·全国甲卷文·T23)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.5.(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解.当-1<x<2时,f(x)=x+1+(x-2)=2x-1.令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2.当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3.因为3>1,所以x≥2.综上所述,fQUOTE≥1的解集为[1,+∞).(2)原式等价于存在x∈R,使fQUOTE-x2+x≥m成立,即QUOTE≥m.设g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知gQUOTE=QUOTE当x≤-1时,gQUOTE=-x2+x-3,其开口向下,对称轴为x=QUOTE>-1,所以gQUOTE≤gQUOTE=-5.当-1<x<2时gQUOTE=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴为x=QUOTE,所以gQUOTE≤gQUOTE=QUOTE.当x≥2时gQUOTE=-x2+x+3,其开口向下,对称轴为x=QUOTE,所以gQUOTE≤gQUOTE=1.综上:gQUOTE=QUOTE,即m的取值范围为QUOTE.6.(2017·全国甲卷理科·T23).[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+QUOTE3(a+b)24(a+b)=2+QUOTE3(a+b)34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.7.(20