2017年数学高考题分类解析考点33 立体几何中的向量方法

高考试题分类解析PAGE考点35立体几何中的向量方法一、简答题1.(2017·全国乙卷理科·T18)如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值.【命题意图】本题主要考查面面垂直的证明,考查如何建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标,利用法向量求二面角的余弦值.【解析】(1)因为∠BAP=∠CDP=90°,所以PA⊥AB,PD⊥CD,又因为AB∥CD,所以PD⊥AB,又因为PD∩PA=P,PD,PA⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE,因为ABCD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以OEAB,由(1)知,AB⊥平面PAD,所以OE⊥平面PAD,又因为PO,AD⊂平面PAD,所以OE⊥PO,OE⊥AD,又因为PA=PD,所以PO⊥AD,所以PO,OE,AD两两垂直,所以以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=2,所以DQUOTE-2,0,0,BQUOTE2,2,0,PQUOTE0,0,2,CQUOTE-2,2,0,所以QUOTEPD→=QUOTE-2,0,-2,QUOTEPB→=QUOTE2,2,-2,QUOTEBC→=QUOTE-22,0,0,设n=QUOTEx,y,z为平面PBC的法向量,由QUOTEn·PB→=0,n·BC→=0,得QUOTE2x+2y-令y=1,则z=QUOTE2,x=0,可得平面PBC的一个法向量n=QUOTE0,1,2,因为∠APD=90°,所以PD⊥PA,又因为PD⊥AB,PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB,即QUOTEPD→是平面PAB的一个法向量,QUOTEPD→=QUOTE-2,0,-2,所以cos<QUOTEPD→,n>=QUOTEPD→·nPD→·n==-,由图知二面角APBC为钝二面角,所以它的余弦值为-.【反思总结】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.2.(2017·天津高考理科·T17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值.(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.【命题意图】本题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解析】如图,以A为原点,分别以QUOTEAB→,QUOTEAC→,QUOTEAP→方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系.由题意可得各点坐标:A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)QUOTEDE→=(0,2,0),QUOTEDB→=(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则QUOTEn·DE→=0,n·DB→=0即QUOTE2y=0,2x-2z=0.不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又QUOTEMN→=(1,2,-1),可得·n=0.因为MN⊄平面BDE,所以MN//平面BDE.(2)易知,n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量,设n2=(x,y,z)为平面EMN的一个法向量.则n2·QUOTEEM→=0,n2·QUOTEMN→=0,又QUOTEEM→=(0,-2,-1),QUOTEMN→=(1,2,-1),所以QUOTE-2y-z=0,x+2y-z=0,令y=1,则n2=(-4,1,-2),所以,cos<n1,n2>=-QUOTE421,sin<n1,n2>=QUOTE10521,所以二面角C-EM-N的正弦值为.(3)由题意,设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而QUOTENH→=(-1,-2,h),QUOTEBE→=(-2,2,2),由已知得,|cos<QUOTENH→,QUOTEBE→>|=QUOTENH→·BE→NH→BE→=QUOTE2h-2h2+5×23=QUOTE721,整理得,10h2-21h+8=0,所以,h=QUOTE85或QUOTE12,所以,线段AH的长为QUOTE85或QUOTE12.【方法技巧】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.3.(2017·北京高考理科·T16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(1)求证:M为PB的中点.(2)求二面角B-PD-A的大小.(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【命题意图】本题主要考查空间几何体的位置关系与夹角运算,意在培养学生的空间想象能力及运算能力.【解析】(1)设AC∩BD=O,连接OM,因为PD∥平面MAC且平面PBD∩平面MAC=MO,所以PD∥MO,因为O为BD中点,所以M为PB中点.(2)取AD中点E,连接PE,因为PA=PD,所以PE⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,建立如图所示坐标系,则B(-2,4,0),P(0,0,),D(2,0,0),A(-2,0,0),易知平面PDA的法向量m=(0,1,0),设平面BPD的法向量n=(x0,y0,z0),则QUOTEn·DP→=(x所以n=(1,1,),设二面角B-PD-A的平面角为θ,cosθ=|cos<m,n>|===,所以θ=.(3)由(2)可知M,C(2,4,0),=,设直线MC与平面BDP的角为α,则有sinα=|cos<QUOTEMC→,n>|==QUOTE3+2-11+1+(2)2·32所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.【知识链接】平面与平面成角设n1,n2分别是二面角α-l-β的面α,β的法向量,则<n1,n2>就是所求二面角的平面角或其补角的大小.且有cos<n1,n2>=.4.(2017·江苏高考·T22)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.(2)求二面角BA1DA的正弦值.【命题意图】主要考查异面直线所成角及二面角的求法,重点考查运用空间向量解决问题的能力.【解析】在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AD=2,AA1=QUOTE3,∠BAD=120°.则A(0,0,0),B(QUOTE3,-1,0),D(0,2,0),E(QUOTE3,0,0),A1(0,0,QUOTE3),C1(QUOTE3,1,QUOTE3).(1)QUOTEA1B→=(QUOTE3,-1,-QUOTE3),QUOTEAC1→=(QUOTE3,1,QUOTE3),则cos<>=QUOTEA1B→·AC=QUOTE(3,-1,-3)·(3,1,3)7=-QUOTE17因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为QUOTE17.(2)平面A1DA的一个法向量为QUOTEAE→=(QUOTE3,0,0).设m=(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量,又QUOTEA1B→=(QUOTE3,-1,-QUOTE3),QUOTEBD→=(-QUOTE3,3,0),则QUOTEm·A1B→=0,m·BD→=0,即QUOTE不妨取x=3,则y=QUOTE3,z=2,所以m=(3,QUOTE3,2)为平面BA1D的一个法向量,从而cos<QUOTEAE→,m>=QUOTEAE→·m|AE→||m|=QUOTE(3,0,0)·(3,3,2)3×4,设二面角BA1DA的大小为θ,则|cosθ|=QUOTE34.因为θ∈[0,π],所以sinθ=QUOTE1-cos2θ=QUOTE74.因此二面角B-A1D-A的正弦值为QUOTE74.【反思总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.5.(2017·山东高考理科·T17)如图几何体是圆柱体的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G为QUOTEDF的中点.(1)设P是QUOTECE上一点,AP⊥BE,求∠CBP的大小.(2)当AD=2,AB=3,求二面角E-AG-C的大小.【命题意图】本题考查空间线面位置关系的判定及应用空间向量求二面角,意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,QUOTE3,3),C(-1,QUOTE3,0),故QUOTEAE→=(2,0,-3),QUOTEAG→=(1,QUOTE3,0),QUOTECG→=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平