高中数学第二章几个重要的不等式23数学归纳法与贝努利不等式省公开课一等奖新课获奖课件

第二章几个主要不等式§3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法3.2数学归纳法应用1/38学习目标重点难点1.了解并掌握数学归纳法概念和步骤．2．能够利用数学归纳法证实等式、不等式等相关问题．3．了解贝努利不等式，并利用它证实一些简单不等式.1.重点是数学归纳法步骤及应用．2．难点是用数学归纳法证实不等式.2/383/38一、阅读教材P36～P37“数学归纳法”相关内容，完成以下问题：1．数学归纳法(1)数学归纳法概念：设有一个关于正整数n命题，若当n取第1个值n0时该命题成立，又在假设当n取第__________________个值时该命题成立后能够推出n取第________个值时该命题成立，则该命题对_________________都成立，这种证实方法叫作数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围：可用于证实与____________相关命题．k(k∈N＋，k≥n0)k＋1一切自然数n≥n0

正整数4/382．数学归纳法证实命题步骤(1)验证当n取_____________

(如n0＝1或2等)时命题正确．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题正确，证实当____________时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就能够断定命题对于从n0开始全部正整数都正确．第一个值n0

n＝k＋15/381．(1)数学归纳法中，n取得第一个值n0是否一定是1?(2)怎样了解归纳假设在证实中作用？提醒：(1)n0不一定是1，是符合命题第一个正整数．(2)归纳假设在证实中起一个桥梁作用，用于联络第一个值n0和后续n值所对应情形．在归纳递推证实中，必须以归纳假设为基础进行证实，不然，就不是数学归纳法．6/38用数学归纳法证实“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”过程以下：(1)当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，7/38没有用到归纳假设

8/38二、阅读教材P38～P39“数学归纳法应用”相关内容，完成以下问题：3．贝努利不等式对任何实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥________.1＋nx

9/382．在贝努利不等式中，当指数n推广到任意实数且x>－1时，不等式形式将有何改变？提醒：当指数n推广到任意实数且x>－1时，若0<a<1，则(1＋x)a≤1＋ax；若a<0或a>1，则(1＋x)a≥1＋ax.10/3811/38用数学归纳法证实等式

12/3813/38【点评】应用数学归纳法证实代数恒等式关键是在利用归纳假设，分析p(k)与p(k＋1)差异及联络，利用拆、添、并、放等伎俩，从p(k＋1)中分离出p(k)，再进行局部调整，也可考虑寻求二者结合点，方便顺利过渡，利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要形式．14/3815/3816/3817/38用数学归纳法证实不等式

18/3819/38【点评】在用数学归纳法证实不等式问题中，从n＝k到n＝k＋1过渡中，利用归纳假设是比较困难一步．它不像用数学归纳法证实恒等式问题，只需拼凑出所需要结构来．而证实不等式第二步中，从n＝k到n＝k＋1，只用拼凑方法，有时也行不通．因为对不等式来说，它还包括放缩问题，它可能需经过放大或缩小过程，才能利用上归纳假设．所以，我们能够利用比较法、综正当、分析法等来分析从n＝k到n＝k＋1改变，从中找到放缩尺度，准确地拼凑出所需要结构．20/3821/3822/3823/3824/38贝努利不等式应用25/3826/38【点评】贝努利不等式可把二项式乘方(1＋x)n缩小为1＋nx形式，这在用数值预计和放缩法证实不等式中可发挥较大作用．27/383．已知n为正整数，求证：(1－cosx)n≥(1－n)cosx.证实：因为－cosx≥－1，所以由贝努利不等式，得(1－cosx)n＝[1＋(－cosx)]n≥1－ncosx.又1－ncosx＝(1－cosx)＋(1－n)cosx≥(1－n)cosx，所以(1－cosx)n≥(1－n)cosx.28/38用数学归纳法处理与正整数n相关探索型问题29/3830/3831/38【点评】处理该类问题思绪：先经过给n赋一些特殊值，经过对得到结果观察、判断，猜测出普通性结论，然后用数学归纳法证实．32/3833/3834/3835/381．数学归纳法两个步骤缺一不可，第一步中验证n初始值至关主要，它是递推基础，但n初始值不一定是1，而是n取值范围内最小值．2．第二步证实关键是利用归纳假设．在利用归纳假设时，应分析p(k)与p(k＋1)差异与联络，利用拆、添、并、放、缩等伎俩，或从归纳假设出发，从p(k＋1)中分离出p(k)再进行局部调整．36/383．数列中不少问题都可用数学归