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文档简介

主要内容定义性质第七节多项式函数第1页一、定义直到现在为止，我们一直是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表示式.在这一节我们将从另一个观点，即函数观点来考查多项式设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(1)是P[x]中多项式，

是P

中数，在(1)中用

代x所得数第2页

an

n+an-1

n-1+…+a1

+a0称为f(x)当x=

时值，记为f(

).这么一来，多项式f(x)就定义了一个数域P上函数.可以由一个多项式来定义函数称为数域P上多项式函数.当P是实数域时，这就是数学分析中所讨论多项式函数.因为x在与数域P中数进行运算时适合与数运算相同运算规律，所以不难看出，假如第3页h1(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)g(x),那么h1(

)=f(

)+g(

),h2(

)=f(

)g(

),下面来讨论多项式函数性质.第4页二、性质利用带余除法，我们得到下面惯用定理：定理7(余数定理)

用一次多项式x-

去除多项式f(x)，所得余式是一个常数，这个常数等于函数值f(

).证实用x-

去除f(x)，设商为q(x),余式为一常数c，于是f(x)=(x-

)q(x)+c.以

代x，得f(

)=c.证毕第5页假如f(x)在x=

时函数值f(

)=0，那么

就称为f(x)一个根或零点.由余数定理我们得到根与一次因式关系：推论

是f(x)根充分必要条件是(x-

)|f(x).由这个关系，我们能够定义重根概念.

称为f(x)k重根，假如(x-

)是f(x)

k重因式.当k=1时，

称为单根；当k>1时，

称为重根.第6页由上面余数定理可知，要计算，只需求出

余式即可！从而有综合除法设：求余式解不妨设，商式为：则有：第7页从而有：比较两边系数得：解得第8页将这些等式列在一起就有：第9页例：解用综合除法从而商式为余式为若余式为零，则为根.第10页定理8

P[x]中n次多项式(n

0)在数域P中根不可能多于n个，重根按重数计算.证实对零次多项式定理显然成立.设f(x)是一个次数>0多项式.把f(x)

分解成不可约多项式乘积.由上面推论与根重数定义，显然f(x)在数域P中根个数等于分解式中一次因式个数，这个数目当然不超出n.第11页在上面我们看到，每个多项式函数都能够由一个多项式来定义.不一样多项式会不会定义出相同函数呢？这就是问，是否可能有f(x)

g(x),而对于P中全部数

都有f(

)=

g(

)？由不难对这个问题给出一个否定回答.第12页定理9假如多项式f(x),

g(x)次数都不超过n，而它们对n+1个不一样数

1,

2,…,

n+1

有相同值，即f(

i)=

g(

i

)i=1,2,…,n+1,那么

f(x)=

g(x).证实由定理条件，有f(

i)-

g(

i

)=0,i=1,2,…,n+1,这就是说，多项式f(x)-

g(x)

有n+1个不一样根.第13页假如f(x)-

g(x)

0，那么它就是一个次数不超出n多项式，它不可能有n+1个根.所以，f(x)=

g(x)

.证毕因为数域

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