2024-2025学年上海市延安中学高一下学期开学摸底考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市延安中学高一下学期开学摸底考试数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sinx=22是tanA.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.已知△ABC不是直角三角形，下列说法正确的是(

)A.△ABC所有内角余弦值的和等于所有内角余弦值的积

B.△ABC所有内角正弦值的和等于所有内角正弦值的积

C.△ABC所有内角正切值的和等于所有内角正切值的积

D.以上说法都不正确3.在▵ABC中，已知tanA+B2=sinA.tanA⋅cotB=1 B.sinA+sinB>4.设y=ft是某地区平均气温y(摄氏度)关于时间t(月份)的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数y=ft近似满足y=Asinωx+φ+B.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是A.y=15sinπ6x−2π3+11.3 B.二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.设α是第三象限的角，则α2的终边在第

象限．6.已知sinα+π3=1213，则7.与2025∘终边相同的角α组成的集合为

.(用弧度制表示8.已知sin2x=12,x∈0,2π，则角x9.集合A=x|y=lnx2−2x，集合B=y|y=110.若tanα=14，则sinπ211.已知某扇形的周长是8cm，面积为4cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是

．12.函数fx=sinx−lg13.在ΔABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，若acosA=b2cosB14.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为153−1m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为15.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为

．

16.已知在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c则▵ABC为等腰三角形的一个必要不充分条件可以为

．①sinA−2sinBcos③a2b2=tanAtan三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)(1)上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ，老师给定了α和β值，该同学用错误的公式计算(2)有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为cot(α+β)=cotα+cotβ1−cotαcotβ18.(本小题12分)已知函数f(x)=2−x(1)求不等式f(x−4)+1<f(x+2)的解集；(2)若关于x的方程f(x)−m=0在x∈[1,+∞)上有解，求实数m的最大值；(3)证明：函数y=f(x)关于点(−1,−1)中心对称．19.(本小题12分)某个公园有个池塘，其形状为直角三角形ABC，∠C=90∘，AB=100米，BC=50(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D､E､F，并且，EF/​/AB，EF⊥ED(如图1)，游客要在▵DEF内喂鱼，希望▵DEF面积越大越好.设EF=x(米)，用x表示▵DEF面积S，并求出S的最大值；(2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在AB、BC、CA上取点D､E､F，建造正▵DEF走廊(不考虑宽度)(如图2)，游客希望▵DEF周长越小越好.设∠FEC=α，用α表示▵DEF的周长L，并求出L的最小值．20.(本小题12分)已知函数ℎ(x)=ax2(1)当a=2时，用定义证明y=ℎ(x)在区间1,2上是严格增函数；(2)根据a的不同取值，判断函数y=ℎ(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令f(x)=ℎ(x)−1x−x+2a，设f(x)在区间1,2上的最小值为ga21.(本小题12分)已知数列bn是等差数列，设bn的公差为d，前n项和为Tn，(1)若b1=1+tan2αcos(2)若数列bn中的任意项bn均为正整数，无穷等比数列cn满足c1=(3)在(2)的条件下，设数列an的通项公式为an=loga1+1bn(其中a>0且a≠1)，设数列{a参考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.二或四

6.12137.α|α=5π8.π129.2,+∞

10.−4

11.2

12.3

13.π414.3015.4β+4sin16.③⑤

17.解：由cos(α+β)=错误公式得cos(α+β)=当cos(α−β)=cos(α+β)得2sin所以α=k1π所以老师给出的可能是cos(π+π318.(1)fx的定义域为x|x≠−1因为f(x−4)+1<f(x+2)，所以2−x+4x−3+1<2−x−2所以x2因为x2+9>0，所以(x−3)(x+3)<0，解得由x−4≠−1x+2≠−1，解得x≠±3所以不等式f(x−4)+1<f(x+2)的解集为−3,3．(2)由题意得关于x的方程f(x)−m=0在x∈[1,+∞)上有解，则m的取值范围即f(x)在1,+∞上的值域．因为f(x)=2−xx+1=−1+所以−1<f(x)≤1即−1<m≤12，所以实数m的最大值为(3)在函数y=f(x)的图象上任意取一点P(a,b)，关于点−1,−1的对称点Q(−2−a,−2−b)，由f(a)=b得b=2−aa+1，即把x=−2−a代入得f(−2−a)==4+所以对称点Q(−2−a,−2−b)在函数y=f(x)的图象上．即函数y=f(x)的图象关于−1,−1中心对称．

19.(1)在Rt▵ABC中，∠C=90∘，AB=100米，所以∠A=30∘，因为EF/​/AB，EF⊥ED，所以▵CEF∽▵DBE∽▵CBA，在▵EFC中，因为EF=x，则CE=x2，故所以在▵EBD中，DE=所以S▵DEF由基本不等式得S▵DEF=当且仅当x=100−x，即x=50时，等号成立，▵DEF的面积有最大值625(2)设正▵DEF的边长为a，因为∠FEC=α，则CE=a⋅cosα，在▵EBD中，∠B=60∘，因为∠CEB为平角，所以α=∠FEC=180所以∠EDB=α，所以在▵EBD中，asin整理得a=5032sinα+所以▵DEF的周长L=3a=150当sinα+φ=1时，▵DEF的周长有最小值L

20.(1)当a=2时，函数f(x)=2x设x1,x则f(=2(x因为x1<又由x1,x2所以f(x2)−f(所以函数y=fx是1,2(2)由函数f(x)=ax2+当a=0时，函数f(x)=1x，可得f(−x)=1当a≠0时，f(−x)=a⋅(−x)2+1−x所以a≠0时，函数y=fx(3)f(x)=ℎ(x)−1当a=0时，f(x)=−x，函数f(x)在区间[1,2]的最小值为f(2)=−2；当a>0时，函数的对称轴为：x=1若12a≥2⇒0<a≤14，f(x)在区间若1<12a<2⇒14f(若12a≤1⇒a≥12，f(x)在区间当a<0时，x=12a<0，f(x)在区间[1,2]综上所述：g(a)=6a−2,a≤

21.(1)因为cosα<0，所以α的终边在第二，三象限及x又tanα2<0所以b=又T10=10b所以bn只有b1<0当n=1时，A1当n≥2时，A=−n+n(n−1)所以bn的前n项和A(2)由T10=145，可得所以2b1+9d=29因为数列bn中的任意项bn均为正整数，所以d<299，所以又b1<10，所以d=3，b1=1，所以所以数列cn中所有项的和为c(3)由(2)可得d=3，b1=1，所以S=log13logab可先比较1+1⋅1+1取n=1时，有1+