2024-2025学年江苏省南京一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京一中高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在三棱锥O−ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，若AN=A.12a+16b−23c2.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(

)

A. B. C. D.3.三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有(

)A.24种 B.81种 C.64种 D.32种4.若a=(−1,2,1)，b=(1,2,−3)，则(aA.−2 B.4 C.−21 D.265.已知等比数列{an}满足1a1+1a2+1A.1 B.2 C.4 D.86.已知圆O：x2+y2=1，直线x−y+a=0上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则A.[−2,2] B.(−∞,2] C.[−22,27.若函数f(x)=x33−a2x2A.(2,52) B.[2,52)8.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为(

)A.15 B.16 C.18 D.20二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出下列命题，其中正确的是(

)A.若{a,b,c}是空间的一个基底，则{a,b,b+c}也是空间的一个基底

B.在空间直角坐标系中，点P(−2,4,3)关于坐标平面yOz的对称点是(−2,−4,−3)

C.若空间四个点P，A，B，C满足PC=14PA+3410.某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是(

)A.如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序

B.如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序

C.如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序

D.如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E为A1D1的中点，动点P在长方体ABCD−AA.Ω的面积为3338

B.平面A1BC1与Ω所在平面平行

C.当λ=12时，存在点P，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系中，A(1,1,1)，B(2,3,4)，平面BCD的一个法向量是(−1,2,1)，则点A到平面BCD的距离为______．13.圆x2+y2−4=0与圆x14.已知数列{an}的首项a1=a，其前n和为Sn，且满足Sn+S四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的密码箱的四位密码；

(2)用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数．16.(本小题15分)

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．

(1)17.(本小题15分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

(1)求异面直线18.(本小题17分)

已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的导函数为f″(x)，对于区间A，若f(x)与f′(x)在区间A上都单调递增或都单调递减，则称f(x)为区间A上的自律函数.若f(x)=(x2+x+a)e2x是R上的自律函数．

(1)求a的取值范围；

(2)若a取得最小值时，f″(x)=t19.(本小题17分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC=2DA=4，DD1=23，DC1⊥D1B

(1)求证：DA⊥DB；

参考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.D

6.C

7.C

8.D

9.ACD

10.ABD

11.ACD

12.613.214.(915.解：(1)已知用0、1、2、3、4、5可以组成四位无重复数字的密码，

相当于从6个数字中任取4个的排列，

所以无重复数字的密码箱的四位密码个数为A64=6×5×4×3=360．

(2)最高位上的数字为2的无重复数字的四位偶数，其个位是0，4之一，共有C21A42个；

最高位上的数字为3，5之一的无重复数字的四位偶数，其个位是0，2，4之一，共有C21C31A42个，

16.解：(1)由题意设抛物线C2的方程为：y2=4cx，焦点坐标F为(c,0)，因为AB⊥x轴，将x=c代入抛物线的方程可得y2=4c2，所以|y|=2c，

所以弦长|CD|=4c，

将x=c代入椭圆C1的方程可得y2=b2(1−c2a2)=b4a2，所以|y|=b2a，

所以弦长|AB|=2b2a2，

再由|CD|=43|AB|，可得4c=43⋅2b2a，即3ac=2b2=2(a2−c2)，

整理可得2c2+3ac−2a17.解：(1)如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，

设AC，A1C1的中点分别为O，O1，

则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，

故以{OB,OC,OO1}为基底，建立空间直角坐标系O−xyz，

∵AB=AA1=2，

∴A(0,−1,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，

A1(0,−1,2)，B1(3,0,2)，C1(0,1,2)．

∵点P为A1B1的中点．

∴P(32,−12,2)，

∴BP=(−32,−12,2)，A18.解：(1)根据函数f(x)=(x2+x+a)e2x，

得导函数f′(x)=(2x+1)e2x+2(x2+x+a)e2x=(2x2+4x+2a+1)e2x，

f″(x)=(4x+4)e2x+2(2x2+4x+2a+1)e2x=(4x2+12x+4a+6)e2x，

由于f(x)=(x2+x+a)e2x是R上的自律函数，且f″(x)在R上不可能恒小于零，

因此f(x)与f′(x)在区间R上都单调递增，

因此4x2+12x+4a+6≥02x2+4x+2a+1≥0在R上恒成立，

144−16(4a+6)≤016−8(2a+1)≤0，解得a≥34，

因此a∈[34,+∞)；

(2)当a=34时，f″(x)=(4x2+12x+9)e2x=(2x+3)2e2x，

令函数ℎ(x)=f″(x)=(4x2+12x+9)e2x，

那么导函数ℎ′(x)=(8x+12)e2x+2(4x2+12x+9)e2x=(8x2+32x+30)e19.解：(1)证明：由题，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，D1(0,0,23)，C(0,4,0)，C1(0,4,23)，

设B(a,b,0)(a>0)，则A(a,b−4,0)，

所以D1B=(a,b,−23)，DC1=(0,4,23)，

由DC1⊥D1B得D1B⋅DC1=4b−12=0，所以b=3，

又因为DA=2，所以a2+(b−4)2=2，解得a=3，

所以A(3,−1,0)，B(3,3,0)，

则DA=(3,−1,0)，DB=(3,3,0)，

所以DA⋅DB=(3)2−3=0，

所以D