专题拓展课一　小船过河与速度关联模型问题-物理人教版必修第二册

专题拓展课一小船过河与速度关联模型问题【学习目标要求】1.通过实例分析进一步理解运动的合成与分解的原理。2.会用运动合成与分解的思想分析小船过河问题。3.会分析实际运动中的两类速度关联模型问题。拓展点1小船过河问题1.认识两个分运动(1)船相对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。2.区别三个速度：水流速度v水、船在静水中的速度v船、船的实际速度(即船的合速度)v合。3.两类最值问题(1)渡河时间最短问题由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图甲可知，t短＝eq\f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水)。甲(2)渡河位移最短问题①v水＜v船最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ)，船头与上游河岸夹角θ满足cosθ＝eq\f(v水,v船)，如图乙所示。乙②若v水>v船，如图丙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与上游河岸夹角θ满足cosθ＝eq\f(v船,v水)，最短位移x短＝eq\f(d,cosθ)，而渡河所用时间仍用t＝eq\f(d,v船sinθ)计算。丙【例1】(2021·山东济南市高一期末)小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直。若小船相对水的速度大小不变时，小船的运动轨迹如图所示，则()A.由M到N水流速度一直增大B.由M到N水流速度一直减小C.由M到N水流速度先增大后减小D.由M到N水流速度先减小后增大答案B解析从轨迹曲线的弯曲形状可知，加速度的方向水平向左，知由M到N水流速度减小，即越靠近对岸水速越小。故选项B正确。【例2】已知某船在静水中的速度为v1＝5m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，水流速度为v2＝3m/s，方向与河岸平行，(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v2′＝6m/s，船在静水中的速度为v1＝5m/s不变，船能否垂直河岸渡河？答案(1)20s20eq\r(34)m(2)25s(3)不能解析(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝eq\f(d,v1)＝eq\f(100,5)s＝20s。如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l＝eq\r(d2＋x2)，由题意可得x＝v2t＝3×20m＝60m，代入得l＝20eq\r(34)m。(2)船在静水中的速度为v1＝5m/s，大于水流速度v2＝3m/s，故当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有cosθ＝eq\f(v2,v1)＝0.6，则船的实际速度v＝v1sinθ＝5×0.8m/s＝4m/s，所用的时间为t＝eq\f(d,v)＝eq\f(100,4)s＝25s。(3)当水流速度v2′＝6m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。【针对训练1】(2021·江苏泰州市高一月考)小船匀速横渡一条流速稳定的河流，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后20s到达对岸下游60m处；第二次船头保持与河岸成53°角向上游航行时，小船能垂直河岸到达正对岸，则第二次过河的时间为()A.10s B.20sC.25s D.50s答案C解析第一次船头垂直对岸方向航行时，出发后20s到达对岸下游60m处，则有水流速度的大小v1＝eq\f(x,t0)＝eq\f(60,20)m/s＝3m/s第二次船头保持与河岸成θ＝53°角向上游航行时，如图所示依据三角函数，则有v2＝eq\f(v1,cos53°)＝eq\f(3,0.6)m/s＝5m/s根据第一次渡河，河宽d＝v2t0＝5×20m＝100m则第二次过河时间t1＝eq\f(d,v2sin53°)代入数据，解得第二次过河的时间为t1＝eq\f(100,5×0.8)s＝25s。拓展点2两类速度关联模型1.速度关联概述速度关联问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为速度关联。2.两种模型介绍(1)绳牵联模型单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，将物体实际运动的速度v物正交分解在垂直于绳子方向的分速度v⊥和沿绳方向的分速度v∥，注意切勿将绳子速度分解。甲乙两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示，两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥＝vB∥。如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度相等，即vA∥＝vB。丙丁(2)杆牵联模型如图丁所示，将杆的两个端点的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则沿杆方向的分速度大小相等，即vA∥＝vB∥。3.基本解题思路第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。【例3】(2021·南昌市新建一中期中)如图所示，物体A以速度v沿杆匀速下滑，A用细绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平夹角为θ时，B的速度为()A.vsinθ B.vcosθC.eq\f(v,cosθ) D.eq\f(v,sinθ)答案A解析将A物体的速度按图示两个方向分解，如图所示可得绳子速率v绳＝vsinθ，而绳子速率等于物体B的速率，则有物体B的速度大小为vB＝v绳＝vsinθ，故A正确，B、C、D错误。【针对训练2】如图所示，一根长直轻杆AB靠在墙角沿竖直墙和水平地面向下滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是()A.v1＝v2 B.v1＝v2cosθC.v1＝v2tanθ D.v1＝v2sinθ答案C解析将杆的A、B两端的速度分解为沿AB杆方向和垂直于AB杆方向，由于AB不可伸长，A、B两端沿AB杆方向的速度分量相同，则有v1cosθ＝v2sinθ，即v1＝v2tanθ，故C正确，A、B、D错误。【思维建构】【动态图解】类比于只有一个力方向发生变化的动态平衡问题，可应用动态矢量三角形解决问题。1.固定水速矢量箭头不动，将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，如图所示，则船速矢量箭头的末端在一个圆周上移动，根据三角形定则，合速度矢量的末端也就在这个圆周上移动。2.当合速度v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。【题目示例】(多选)小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽90m的河，他们在静水中划船的速度为3m/s，现在他们观察到河水的流速为5m/s，关于渡河的运动，他们有各自的看法，其中正确的是()A.小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸C.小明说：渡过这条河的最短距离是150mD.园园说：以最短位移渡河时，需要用时30s【规范分析】答案BC解析如图(1)所示，船头正对对岸划船，合速度方向倾斜，无法到达正对岸，选项A错误；如图(2)若要垂直到达正对岸，需要满足v船>v水，该题中v水>v船，所以不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸，选项B正确；如图(3)所示，当v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。根据三角形相似eq\f(d,s)＝eq\f(v船,v水)，解得s＝150m，选项C正确；以最短位移渡河时，所需时间t＝eq\f(s,\r(veq\o\al(2,水)－veq\o\al(2,船)))＝37.5s，选项D错误。【方法感悟】所有矢量运算都满足平行四边形定则和三角形定则。当碰到一个矢量大小方向不变，另一个矢量要么大小不变，要么方向不变，求解第三个矢量时，我们就可以大胆尝试用这种动态图解法画图，往往垂直“出”最小。1.(小船过河问题)(2021·高台县一中高一期中)小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是()A.增大α角，增大船速vB.减小α角，增大船速vC.减小α角，保持船速v不变D.增大α角，保持船速v不变答案A解析由题意可知，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。因为合速度方向指向河岸且大小不变，如图所示，可得当水流速度增大时，可增大船速v，同时增大α角，故A符合题意，B、C、D不符合题意。2.(绳牵联模型)(2021·山东潍坊七中高一检测)如图，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉。小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子到达石凳子时保持身体水平向右方向运动。已知老猴子以恒定大小的速率v拉动软藤，当软藤与竖直方向成θ角时，小猴子的水平运动速度大小为()A.vcosθ B.vsinθC.eq\f(v,cosθ) D.eq\f(v,sinθ)答案D解析由题意知，小猴子沿绳子方向的速度等于老猴子拉绳子的速度，如图所示，小猴子沿水平方向的速度为v′，即v＝v′sinθ，所以小猴子沿水平方向的运动速度v′＝eq\f(v,sinθ)，D正确。3.(杆牵联模型)如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个直角光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度大小为vA，求此时B球的速度vB的大小。答案eq\f(vA,tanα)解析A球以vA的速度沿斜槽滑下时，可分解为一个使杆压缩的分运动，设其速度为vA1，另一个使杆转动的分运动，设其速度为vA2。而B球沿斜槽上滑的运动可分解为一个使杆伸长的分运动，设其速度为vB1，vB1＝vA1，另一个使杆转动的分运动，设其速度为vB2。由图可知vA1＝vAcosα，vB1＝vBsinα，故vB＝eq\f(vA,tanα)。课时定时训练(限时30分钟)题组一小船过河问题1.一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸。假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的()答案C解析水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误。2.(2021·泰安一中高一期中)已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图依次是()A.①② B.①⑤C.④⑤ D.②③答案C解析小船渡河类问题，若要小船在最短时间内渡河，则船头垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡河，此时船头指向上游，⑤对，故C正确。3.(多选)(2021·昆山陆家高级中学高一期末)一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽150m，流速为4m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是()A.小船能够到达正对岸B.小船渡河时间不少于50sC.小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200mD.小船以最短位移渡河时，位移大小为150m答案BC解析因为船在静水中的速度小于河水的流速，由平行四边形定则求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸到达正对岸，最短位移不可能为河宽150m，故A、D错误；当船在静水中的速度垂直河岸时，渡河时间最短tmin＝eq\f(d,v船)＝50s，故B正确；船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝200m，故C正确。题组二两类速度关联模型4.如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绕过定滑轮的绳子带动小车m沿斜面上升。则当滑轮右侧的绳子与竖直方向成θ角且重物下滑的速度为v时，小车的速度为()A.vcosθ B.vsinθC.eq\f(v,cosθ) D.vtanθ答案A解析将重物M的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，得沿绳方向的速度为v绳＝vcosθ，即小车m的速度，故A正确。5.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则()A.v2＝eq\f(1,2)v1 B.v2＝2v1C.v2＝v1 D.v2＝eq\r(3)v1答案C解析小球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin30°＝eq\f(1,2)v1，由几何关系可知小球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos60°＝eq\f(1,2)v2，两球沿杆方向的速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正确。6.如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度大小分别为vB、vA，则()A.vA＝vBB.vA<vBC.绳子对B的拉力大于B的重力D.绳子对B的拉力等于B的重力答案C解析根据运动的分解原理，沿绳方向的速度分量相等，设A端绳与水平方向夹角为θ，则vAcosθ＝vB，vA>vB，故A、B错误；A向左运动，θ减小，vB增加，加速度方向向上，绳子对B的拉力大于B的重力，故C正确，D错误。7.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速度vA＝20m/s匀速向右运动，在绳子与水平轨道成α＝30°角时，物体B的速度大小vB为()A.10eq\r(3)m/s B.eq\f(40\r(3),3)m/sC.40m/s D.10m/s答案B解析将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有vA＝v2＝vBcos30°，解得vB＝eq\f(vA,cos30°)＝eq\f(40\r(3),3)m/s，故B正确。8.(多选)(2020·广州实验学校高一月考)在一条宽度d＝16m的河流中，水流速度v水＝5m/s，船在静水中的速度v静＝4m/s，小船从A码头出发，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列