沪科 九年级 下册 数学《阶段拔尖专训7“隐形圆”在解最值中的应用》复习课 课件

阶段拔尖专训7“隐形圆”在解最值中的应用A2．(1)如图①，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为(

)A．68°

B．88°

C．90°

D．112°(2)如图②，点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为________．B3．【问题提出】如图①，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是在某个确定的圆上运动．【问题探究】为了验证猜想，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图②，若AB＝4，线段AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称为“定弦定角”模型．【模型应用】(1)已知AB＝6，平面内一点C满足∠ACB＝60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB＝________．120°(2)如图③，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰三角形ABE，其中AB＝AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．①求∠BPE的度数；∵AE＝AB，∠EAP＝∠BAP，AP＝AP，∴△APE≌△APB.∴∠BPA＝∠APE＝135°，∴∠BPE＝360°－∠BPA－∠APE＝90°.②连接CP，若正方形ABCD的边长为4，求CP的最小值．【解】如图，作△APB的外接圆⊙Q，连接AQ，BQ，CQ，过Q作QN⊥BC交CB延长线于点N，可知∠APB＝135°，AB＝4，设圆的半径为r，则CP的最小值即为CQ－r.设优弧AB所对的圆心角为α，∵∠APB＝135°，则α＝270°，∴∠AQB＝90°.∵QA＝QB，∴∠ABQ＝∠BAQ＝45°.4．(1)如图①，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，连接CP，线段CP的最小值为________．

(2)如图②，在边长为6的等边三角形ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为__________．【点拨】∵等边三角形ABC的边长为6，∴AC＝BA＝BC＝6，∠ACF＝∠BAE＝60°.又∵CF＝AE，∴△ACF≌△BAE.∴∠CAP＝∠PBA.∴∠EPA＝∠PBA＋∠PAB＝∠CAP＋∠PAB＝∠CAB＝60°.∴∠APB＝120°.∴点P在如图所示的以O为圆心，OA为半径的圆上．易知此时∠AOB＝120°，连接CO交⊙O于P′，当点P运动到P′时，CP取得最小值．∵CA＝CB，CO＝CO，OA＝OB，∴△ACO≌△BCO.∴∠ACO＝∠BCO＝30°，∠AOC＝∠BOC＝60°.∴∠CAO＝∠CBO＝90°.5．综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图①，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠ABC＝∠ADC，那么A，B，C，D四点在同一个圆上吗？探究展示：求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．如图②，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E(不与A，C重合)，连接AE，CE，则∠AEC＋∠D＝180°.(1)请完善探究展示．【解】完善过程如下：∵∠B＝∠D，∴∠AEC＋∠B＝180°，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上，∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上，∴A，B，C，D四点在同一个圆上．(2)如图③，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为________．45°拓展探究：(3)如图④，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上(不与BC的中点重合)，连接AD.作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于点F，连接AE，DE，CE.①求证：A，D，B，E四点共圆．【证明】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵点E与点C关于AD对称，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABD，∴由(1)可得A，D，B，E