2024北京延庆区高一（下）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京延庆高一（下）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（）A． B． C． D．2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A．y＝sinx B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝cosx3．若tanα＝﹣，cosα＜0，则sinα＝（）A． B． C． D．4．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（）A．4 B． C． D．35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（1，﹣2），Q（3，4），则cos∠POQ＝（）A． B． C． D．6．已知m，n是两条不重合直线，α，β，γ是不重合平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n∥α，则m∥α B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n D．若α⊥β，n⊥α，m⊥n，则m⊥β7．在△ABC中，若a＝2，，，则b＝（）A．3 B． C．4 D．58．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0、|φ|＜π）的部分图象如图所示，则＝（）A． B．﹣ C．0 D．9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则此四棱锥的侧面积为（）A． B． C． D．10．设函数y＝f（x）的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]⊆D，且对任意的x1∈[﹣a，a]，总存在x2∈[﹣a，a]，使得f（x1）•f（﹣x2）＝1，称函数f（x）为P（a）函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝tanx是函数 B．函数f（x）＝cosx是函数 C．若函数f（x）＝log2（x+t）是P（2）函数，则t＝4 D．若函数f（x）＝sinx+b是函数，则二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，，则c等于．12．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为．13．（5分）在△ABC中，c＝8，∠B＝，请从①∠A＝，②a＝4，③b＝9中选择一个，使△ABC存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号．14．（5分）已知长方形ABCD中，AB＝2AD＝2，点P为CD上的动点，则＝；的取值范围是．15．（5分）如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，E为A1D1中点，B1C1与平面CDE交于点F，点M是棱A1B1上一点，P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CF，则下列说法正确的是．①F为B1C1的中点；②点P可以是CD的中点；③当M是A1B1的中点时，点A∈面MFC；④线段MP的最大值为．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的最大值和最小值及相应x的值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M为线段PD上的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅲ）求证：平面AMC⊥平面PCD．18．（13分）已知△ABC中，，b＝2，c＝3．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求sinB；（Ⅲ）求△ABC的面积．19．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：BC⊥BM；（Ⅲ）从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个，使得AB⊥面BCC1B1，并证明．条件①：；条件②：BM＝MN；条件③：三棱锥C﹣ABB1的体积为．注：如果选择条件不能使AB⊥面BCC1B1，（Ⅲ）得零分．20．（15分）在△ABC中，atanB＝2bsinA，a＝8．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：；条件②：；条件③：b＝7．注：如果选择的条件使△ABC不存在，第（Ⅱ）问得0分．（Ⅲ）若，求△ABC周长的取值范围．21．（15分）设正整数n≥3，集合A＝{a|a＝（x1，x2，…，xn），xk∈R，k＝1，2，…，n}，对应集合A中的任意元素a＝（x1，x2，...xn）和b＝（y1，y2，...yn），及实数λ，定义：当且仅当xk＝yk（k＝1，2，…，n）时a＝b；a+b＝（x1+y1，x2+y2，...xn+yn）；λa＝（λx1，λx2，...λxn）．若A的子集B＝{a1，a2，a3}满足：当且仅当λ1＝λ2＝λ3＝0时，λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，…，0），则称B为A的完美子集．（Ⅰ）当n＝3时，已知集合B1＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B2＝{（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当n＝3时，已知集合B＝{（2m，m，m﹣1），（m，2m，m﹣1），（m，m﹣1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；（Ⅲ）已知集合B＝{a1，a2，a3}⊆A，其中ai＝（xi1，xi2，...xin）（i＝1，2，3）．若2|xii|＞|x1i|+|x2i|+|x3i|对任意i＝1，2，3都成立，判断B是否一定为A的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝cos（45°+15°）＝cos60°＝．故选：A．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．2．【分析】由三角函数的性质逐项判断即可．【解答】解：由正弦函数与余弦函数的性质可知y＝sinx，y＝tanx为奇函数，y＝cosx，y＝cos2x为偶函数，故A，C错误，y＝cosx的最小正周期为2π，y＝cos2x的最小正周期为π，故D错误，B正确．故选：B．【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题．3．【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为tanα＝＝﹣，cosα＜0，sinα＞0，所以cosα＝﹣sinα，又（﹣sinα）2+sin2α＝1，则sinα＝．故选：C．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．【分析】根据球的体积与表面积公式，建立方程，即可求解．【解答】解：设该球的半径为r，则根据题意可得：，解得r＝3．故选：D．【点评】本题考查球的体积与表面积公式的应用，方程思想，属基础题．5．【分析】利用向量坐标的数量积可求得答案．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（1，﹣2），Q（3，4），∴＝（1，﹣2），＝（3，4），∴cos∠POQ＝＝＝﹣．故选：D．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．6．【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．【解答】解：对A选项，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，∴A选项错误；对B选项，若m∥α，n⊂α，则m与n可以成任意角，∴B选项错误；对C选项，若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n，∴C选项正确；对D选项，若α⊥β，n⊥α，m⊥n，则m与β可以成任意角，∴D选项错误．故选：C．【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．7．【分析】由已知利用余弦定理即可求解b的值．【解答】解：因为a＝2，，，所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得17＝4+b2﹣2×，整理可得3b2+4b﹣39＝0，解得b＝3（负值舍去）．故选：A．【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8．【分析】根据图象确定T，ω，φ，再计算即可．【解答】解：T＝4×（﹣）＝＝，∴ω＝，则f（x）＝sin（x+φ），又（，0）对应于y＝sinx的第一个点，则有×+φ＝0，∴φ＝﹣，满足|φ|＜π，∴f（x）＝sin（x﹣），则＝sin（﹣）＝﹣sin＝﹣．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．9．【分析】由已知结合解三角形知识先求得，进一步结合三角形面积公式以及侧面积的定义即可求解．【解答】解：连结AC，BD交于O，连结PO，则O为AC，BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB＝4，所以，在△PAC中，PC＝3，，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记PB＝m，∠BPD＝θ，因为，所以，即，则，整理得m2+6mcosθ﹣11＝0①，又在△PBD中，，即32＝m2+9﹣6mcosθ，则m2﹣6mcosθ﹣23＝0②，两式相加得2m2﹣34＝0，故，故在△PBC中，PC＝3.，BC＝4，所以，又0＜∠PCB＜π，所以，所以△PBC的面积为，同理可得△PAD的面积为，因为PC＝PD＝3，CD＝4，所以等腰三角形PCD底边上的高为，所以等腰三角形PCD的面积为，因为，CD＝4，所以等腰三角形PAB底边上的高为，所以等腰三角形PCD的面积为，所以此四棱锥的侧面积为．故选：A．【点评】本题主要考查棱锥侧面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．10．【分析】对于A，取x1＝0，则可得不存在x2，使f（x1）•f（﹣x2）＝1，即可判断；对于B，取x1＝，则可得不存在x2，使f（x1）•f（﹣x2）＝1，即可判断；对于C，由题意可得当a＝2，t＝4时，只有x1＝x2＝﹣2时才满足题意，不满足x1的任意性，即可判断；对于D，由题意可得对任意x1∈[﹣，]，总存在x2∈[﹣，]，使得f（x1）•f（﹣x2）＝1，取x2＝﹣x1＝，求出b的值，即可判断．【解答】解：对于A，当a＝时，则有[﹣，]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当x1＝0∈[﹣，]时，则有f（x1）＝tan0＝0，则不存在x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（﹣x2）＝1，故不满足函数的定义，故错误；对于B，当a＝时，则[﹣，]∈R，当x1＝∈[﹣，]时，则有f（x1）＝cos＝0，则不存在x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（﹣x2）＝1，故不满足函数的定义，故错误；对于C：当t＝4时，f（x）＝log2（x+4），定义域为（﹣4，+∞），a＝2，因为x1∈[﹣2，2]，x2∈[﹣2，2]，则﹣x2∈[﹣2，2]，所以x+4∈[2，6]，又f（x）＝log2（x+4）为增函数，所以f（x）∈[log22，log26]＝[1，log26]，所以f（x1）∈[1，log26]，f（﹣x2）∈[1，log26]，只有f（x1）＝f（﹣x2）＝1时，才能满足f（x1）•f'（﹣x2）＝1，此时x1＝x2＝﹣2，不满足x1的任意性，故错误；对于D，函数f（x）＝sinx+b是函数，所以对任意的x1∈[﹣，]，总存在x2∈[﹣，]，使得f（x1）•f（﹣x2）＝1，又因为﹣x2∈[﹣，]，所以当x2＝﹣x1时，有f（x1）•f（﹣x1）＝1，取x1＝，则有（b+1）（b﹣1）＝1，解得b＝±，故正确．故选：D．【点评】本题属于新概念题，考查了三角函数、对数函数的性质，理解定义是关键，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．【分析】由题意，利用三角形内角和公式求出角C，再利用正弦定理求得c的值．【解答】解：△ABC中，∵A＝105°，B＝45°，∴C＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∵，则由正弦定理可得＝，即＝，∴c＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，属于基础题．12．【分析】根据圆锥体积公式即可得．【解答】解：圆锥的母线长为2，底面半径为，则圆锥的高为＝1，则该圆锥的体积为＝π．故答案为：π．【点评】本题考查圆锥的体积公式，属于基础题．13．【分析】选①时，由三角形的内角和定理，判断出该三角形不存在；选②时，两边和夹角确定一个三角形；③由b＞c，可得角C为锐角，由正弦定理可得角C为唯一的，即该三角形唯一确定．【解答】解：选①时，则∠A+∠B＝π，所以该△ABC不存在；选②时，因为a，c为定值，角B为定值，可得该三角形唯一确定；选③时，因为b＞c，所以角C为锐角，由正弦定理可得sinC为定值，即角C为定值，则该△ABC唯一确定．故答案为：②或③．【点评】本题考查三角形唯一确定的方法，属于基础题．14．【分析】由平面向量的线性运算和数量积计算可得第一空；设，其中0≤λ≤1，再由平面向量的线性运算和数量积化简可得＝，再求二次函数的值域即可．【解答】解：由题可得：，，所以＝4；因为点P为CD上的动点，所以设，其中0≤λ≤1，所以，＝，所以＝＝＝﹣1+4λ（1﹣λ）＝﹣4λ2+4λ﹣1＝，当时，取得最大值0；当λ＝0或1时，取得最小值﹣1，所以的取值范围是[﹣1，0]．故答案为：4；[﹣1，0]．【点评】本题考查平面向量数量积的求法，属于中档题．15．【分析】根据线面平行的性质定理，得到EF∥C1D1，又E为A1D1中点，所以F为B1C1中点，可判断①的正误；假定点P可以是CD的中点，推出错误结论，可判断②的正误：根据三角形中位线的性质，推导出线线平行，根据两平行线可确定一个平面，判断③的正误；确定P点轨迹，可求MP的最大值，判断④的正误．【解答】解：因为DC∥平面A1B1C1D1，DC⊂平面ECD，平面ECD∩平面A1B1C1D1＝EF，所以DC∥EF，又DC∥C1D1，所以EF∥C1D1，又E为A1D1中点，所以F为B1C1中点，故①正确；如图：若P为CD中点，由正方体结构特征知BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，且B1C，A1B1⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD，MP⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥MP，假设MP⊥CF成立，因为CF，BC1⊂平面BCC1B1，且CF，BC1是两条相交直线，所以MF⊥平面BCC1B1，而M∈A1B1且A1B1⊥平面BCC1B1，所以MF与A1B1重合，由①分析知F为B1C1中点，即F∉A1B1，所以CF⊥MP不成立，则P不可能为CD中点，故②错误；如图：M为A1B1中点时，因为F为B1C1中点，所以MF∥A1C1，又AC∥A1C1，所以AC∥MF，所以A∈MFC，故③正确；M为棱A1B1上的点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CF，因为A1B1⊥CF，所以点P也是棱A1B1上的点，所以MP的最大值为棱长A1B1，为1，故④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查空间中点、线、面位置关系的应用，考查正方体的结构特征，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得．【解答】解：（Ⅰ）＝，所以由，（k∈Z），所以函数f（x）的单调递减区间是，k∈Z．（Ⅱ）因为，，所以当，即时，函数f（x）函数的最大值为2；所以当，即时，函数f（x）的最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）连结BD，交AC于点O，易证得PB∥MO，进而证得结论；（Ⅱ）由线面垂直的性质可证得结论；（Ⅲ）易证得CD⊥AM，AM⊥PD，进而证得AM⊥平面PCD，进而可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结BD，交AC于点O，连结MO，因为底面ABCD为正方形，所以O是BD中点，M为线段PD上的中点，所以PB∥MO，而MO⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，所以PB∥平面ACM；（Ⅱ）因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD；（Ⅲ）由（Ⅱ）知CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，因为M为线段PD上的中点，PA＝AD，所以AM⊥PD，所以PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD，AM⊂平面AMC，所以平面AMC⊥平面PCD．【点评】本题考查线面平行，垂直的证法，及线面垂直的性质定理的应用，属于中档题．18．【分析】（I）已知三边，用余弦定理求A即可；（II）用正弦定理求解即可；（III）利用三角形面积公式即可．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理，可得，因为A∈（0，π），所以；（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理，可得，解得；（Ⅲ）由△ABC的面积，可得．【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）构造平行四边形求解本题；（Ⅱ）由线面垂直得线线垂直；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：取BC的中点为K，连接B1K，NK，N为AC的中点，所以KN∥AB，，由三棱柱ABC﹣A1B1C1可得四边形ABB1A1为平行四边形，M为A1B1的中点，所以，B1M∥AB，所以B1M＝KN，B1M∥KN，所以四边形B1MNK是平行四边形，所以MN∥B1K，B1K⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，故MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）证明：因为侧面BCC1B1为正方形，故CB⊥BB1，而CB⊂平面BCC1B1，平面CBB1C1⊥平面ABB1A1，平面CBB1C1∩平面ABB1A1＝BB1，故CB⊥平面ABB1A1，因为BM⊂平面ABB1A1，所以BC⊥BM．（Ⅲ）证明：选②，四边形B1MNK是平行四边形，MN∥B1K且MN＝B1K，因为MB＝MN，所以BM＝B1K，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，AB＝BC＝2，BC的中点为K，M为A1B1的中点，所以B1M＝BK＝1，则△BB1M≅△B1BK，所以∠BB1M＝∠B1BK＝90°，故A1B1⊥BB1，所以AB⊥BB1，因为CB⊥平面ABB1A1，CB⊥AB，因为CB∩BB1＝B，CB，BB1⊂面BCC1B1，故AB⊥面BCC1B1，选③，因为CB⊥平面ABB1A1，所以三棱锥C﹣ABB1的体积，因为AB＝BB1＝BC＝2，所以sin∠ABB1＝1，，CB⊥平面ABB1A1，CB⊥AB，因为CB∩BB1＝B，CB，BB1⊂面BCC1B1，故AB⊥平面BCC1B1．【点评】本题考查空间中的位置关系，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；（Ⅱ）分别求出选条件①②③时b，c的值进而求出△ABC的面积；（Ⅲ）由正弦定理可得b，c的表达式，再由角A的范围，可得该三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）由atanB＝2bsinA，可得asinB＝2bsinAcosB，在△ABC中，由正弦定理得：sinAsinB＝2sinAsinBcosB，因为sinA＞0，sinB＞0，所以，又0＜∠B＜π，所以；（Ⅱ）选条件①：＞，所以，由sin2A+cos2A＝1，可得，当cosA＝时，由sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝×+×＝，当cosA＝﹣时，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝×+（﹣）×＝，即或，由正弦定理，解得c＝3或c＝5，当c＝3时，△ABC的面积为，当c＝5时，△ABC的面积为；选条件②：由cosA＝﹣，则在△ABC中，可得sinA＝＜，则角A＜B，显然不成立；选条件③：b＝7，在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即，整理得c2﹣8c+15＝0．解得c＝3或c＝5，当c＝3时，△ABC的面积为，当c＝5时，△ABC的面积为，（Ⅲ）由正弦定理，可得，，所以△ABC周长为，因为，因为，所以，则，，所以△ABC周长取值范围为（16，24]．