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大招18抛物线的结论大招总结如图,抛物线方程为,准线与轴相交于点,过焦点的直线与抛物线相交于两点,为原点,直线的倾斜角为.1.2.焦半径:. 3.焦点弦:.(通径最短)4.的数量关系:.5.三角形的面积.6.三个相切:（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.（3）以抛物线焦半径为直径的圆与一条坐标轴相切.7.直线的斜率之和为零,即.(用相似证明,很爽)8.点三点共线;点三点共线.9.如图,点是抛物线为原点,若,则直线过定点.抛物线中的常用结论证明结论一:若是抛物线的焦点弦(过焦点的弦),且,则:.证明:因为焦点坐标为,当不垂直于轴时,可设直线的方程为:,由得:.当轴时,直线方程为,则,同上也有.典型例题例1.(2021-太原一模)已知抛物线的焦点为,过焦点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,若,则的面积为()A.B.C.D.4解:方法1:根据题意,拋物线的焦点为.设直线的斜率为,可得直线的方程为,设,由,消去,得，.则,,则,，,的面积,选方法2： 例2.(2021-晋中二模)已知抛物线的焦点为,过焦点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,若的面积为,则（）A.24B.8C.12D.16解:方法1:抛物线焦点为,设过焦,点的直线为:,由,可得,的面积为,可得:,解得,.故选A.方法例3.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点,若线段与的长分别是,则等于（）A.B.C.D.解:方法1:如图:设直线方程是,则是方程的两根,,其中.同理.从而故选C.方法2:,题目条件转化为拋物线 自我检测1.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点(0,2),则的方程为A.或B.或C.或D.或解:方法抛物线方程为,焦点坐标为,可得,以为直径的圆过点,设,可得,中,,,根据抛物线的定义,得直线切以为直径的圆于点,,可得中,,,整理得,解之可得或因此,抛物线的方程为或.故选C.方法抛物线方程为焦点,设,由抛物线性质,可得,因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为,由已知圆半径也为,据此可知该圆与轴相切于点,故圆心纵坐标为2,则点纵坐标为4,即,代人抛物线方程得,所以或.所以抛物线的方程为或.故选C.2.过抛物线的焦点的直线与其交于两点,,如果,那么A.B.C.D.解:抛物线的焦点,准线方程为,设,则,故,此时,即,则直线的方程为,即,代人得,解得(舍)或,则,故选B.方法2：,题目条件转化为抛物线 3.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦,则A.2B.4C.D.解:拋物线,可知,设直线的倾斜角为,则的倾斜角为,过焦点的弦,,故选D.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源

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