高考数学精准复习专项大招13椭圆中的两个最大张角含答案或解析

大招13椭圆中的两个最大张角大招总结在椭圆中有两个比较特殊的角,一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角,它们有着重要的应用,给解决一些问题带来很大的方便,现归纳如下：结论1.如图:已知为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大.分析:,而在为减函数,只要求的最小值,又知,利用余弦定理可得.证明:如图,由已知:,所以,(当时取等号)由余弦定理得: (当时取等号),所以当时,的值最小,因为,所以此时最大.即点为椭圆短轴的端点时最大.此时离心率结论2.如图:已知为椭圆长轴上的两个顶点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大.分析:当最大时,一定是钝角,而在上是增函数,利用点的坐标,表示出,再求的最大值.证明:如图,不妨设,则,,所以,则,又,所以,因为,所以当时,取得最大值,此时最大,所以当点为椭圆短轴的端点时,最大.典型例题例1.已知为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点使得,求椭圆离心率的取值范围.解：方法1:由结论1知:当点为椭圆短轴的端点时,最大,因此要最大角,即,即,也就是,解不等式,得,故椭圆的离心率.方法2:此时离心率,故椭圆的离心率.例2.(2021春・赣州期中)已知为椭圆上一点,是椭圆的左、右焦点,若使为直角三角形的点有且只有4个,则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.解：方法1：(1)当轴时,由两个点满足为直角三角形;同理当轴时,由两个点满足为直角三角形.使为直角三角形的点有且只有4个,以原点为圆心,为半径的圆与椭圆无交点,,,又,解得.故选A.方法2：不止4个时,此时离心率即所以有且只有4个时例3.已知是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(）A. B. C. D.解：方法1:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,点的轨迹是以原点为圆心,半焦距为半径的圆.又点总在椭圆内部,该圆内含于椭圆,即..故选C.方法2:在上下顶点时,此时离心率即所以总在椭圆内部时例4.已知椭圆,长轴两端点为,如果椭圆上存在点使得,求这个椭圆的离心率的取值范围.解：由结论2知:当点为椭圆短轴的端点时,最大,因此只要,则一定存在点,使,即所以,得,故椭圆的离心率的取值范围是.例5.(2017课标1,文12)设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是()A. B. C. D.解：当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,即,得;当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,即,得,故的取值范围为,选.例6.(2020·全国(文))已知椭圆分别为椭圆的左右焦点,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D.解：根据题意作图如下:由图可得:当点在椭圆的上(下)顶点处时,最大,要满足椭圆上存在点使得,则,所以,即:,整理得:,又,所以得到:所以,所以椭圆离心率的取值范围为.故选B自我检测已知为椭圆上一点,是其左右焦点,取最大值时,则椭圆的离心率为______【解】方法1:根据椭圆的性质可得,当是椭圆短轴的顶点时,取最大值,为椭圆上任意一点,当取最大值时的余弦值为,由余弦定理可得,即有,化为,则.故答案为.方法2:取最大值时此时离心率故椭圆的离心率.设椭圆的焦点为和是椭圆上任一点,若的最大值为,则此椭圆的离心率为______【解】方法1:由椭圆的性质可得:当点取椭圆短轴的一个端点时,取得最大值为,,解得,故答案为:.方法取最大值时此时离心率若是椭圆上任意一点,是焦点,则的最大值为______【解】方法1:根据椭圆的方程可知:,由椭圆的对称性可知,的最大时,在短轴端点,此时是正三角形,的最大值为.故答案为:.方法2:取最大值时此时离心率已知椭圆的方程为离心率分别为左焦点和右顶点,点在椭圆上,若为锐角,则实数的取值范围是______【解】植圆的标准方程为,又椭圆的离心率,则,若点在椭圆上,则为参数,则,若为锐角,则,即,又由时,与同向,,故,即实数的取值范围是，故答案为:焦点在轴上的椭圆方程为是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使得,那么实数的取值范围是______【解】方法焦点在轴上的椭圆方程为,若椭圆上存在点,使得,则以线段为直径的圆与椭圆有交点,即有,即,又,故的取值范围是.故答案为:.方法2:此时离心率)已知焦点在轴上的椭圆是它的两个焦点,若椭圆上存在点,使得·,求的取值范围.【解】方法1:由结论1知,当点为椭圆短轴的端点时,最大,若此时,则有:,又,所以,因为植圆越扁,这样的点一定存在,所以的取值范围为:.方法2:此时离心率7.已知椭圆是它的两个焦点,点为其上的动点,当为钝角时,求点横坐标的取值范围.【解】由结论1知,当点越接近短轴的端点时,越大,所以只要求为直角时点的横坐标的值,因为,所以当为直角时,点在圆上,解方程组:,得:,所以点横坐标的取值范围是:.8.(2021·哈尔滨市·黑龙江实验中学高二期中(文))已知椭圆分别为椭圆的左右焦点,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D.【解】方法1:设,若椭圆上存在点使得,,,，即,,即,.故选D方法2:因为点即在上下顶点时,此时最大,时离心率,又椭圆必须比此时更圆才存在点使得即故选D9.(2021·山东高三专题练习)设椭圆的两焦点为,,若椭圆上存在点,使,则椭圆的离心率的取值范围为().A. B. C. D. 【解】当是椭圆的上下顶点时,最大,，则植圆的离心率的取值范围为,故选C.10.(2021·福建省永春第五中学高三期中(理))已知是椭圆的左右两个焦点,若椭圆上存在点使得,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【解】方法当且仅当时取等号),,由椭圆定义知:,又,,又离心率的取值范围为.故选B.方法在上下顶点时,此时离心率即故选B.11.(2021·安徽淮南市)设分别为椭圆的左右顶点,若在椭圆上存在点,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.【解】方法1:设；;解得该椭圆的离心率的范围是.故选C.方法在上下顶点时,;解得该椭圆的离心率的范围是.故选C.12.(2021·甘肃兰州市兰州一中(文))已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上不存在点,使得是钝角,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.【解】点取上下顶点时,使得是最大角.已知椭圆上不存在点,使得是钝角,,可得,可得:.故选C.13.(2021·江西南昌市·南昌二中高二月考(理))设是椭圆的两个焦点,若上存在点满足,则的取值范围是()A. B. C. D.【解】(1)时,上存在点满足,设为椭圆短轴端点,当位于短轴的端点时,取最大值,要使椭圆上存在点满足则,,解得;(2)当椭圆的焦点在轴上时,,同理可得;的取值范围是.故选A.14.(2021·山东枣庄市·高三二模(理))设是椭圆的两个焦点,若上存在点满足,则的取值范围是()A. B. C. D.【解】根据椭圆的性质可知,当点在短轴的端点时,此时角最大,要使得椭圆上存在点满足,则,即,当时,,解得,当时,,解得,所以实数的取值范围是,故选A.15.(2021·江苏南通市·海门中学高二期中)已知椭圆的焦点在轴上,若椭圆上存在一点,使得,则实数的取值范围为A. B. C. D.【解】椭圆焦点在轴,,是椭圆上的点,当是椭圆短轴顶点时,最大,由题意(为短轴顶点),所以.综上所述,.故选C.16.(2021·全国高三专题练习(文))已知为椭圆的两个焦点,若上存在点满足,则实数取值范围是()A. B. C. D.【解】当焦点在轴上时,,当为上下顶点时,最大，因为,所以,即,解得;当焦点在轴上时,,当为左右顶点时,最大,因为,所以,即,解得,故选C.17.(2021·