高考数学精准复习专项大招8阿波罗尼斯圆及其应用含答案或解析

大招8阿波罗尼斯圆及其应用大招总结“阿波罗尼斯圆":在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足PAPB=λ,当λ(λ=1时P点的轨迹是线段阿波罗尼斯圆的证明及相关性质AB设A−a由PA=x化简可得λ同除λ2−1配方得:x所以圆心λ2+1定理:A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为λ(λ≠1)的内外分点,则以PQ证(以λ>1设AB=AP由相交弦定理及勾股定理知BC是BC=而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于λ的曲线(圆)上,不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此,圆性质1.当λ>1时,点B在圆O内,点A在圆O当0<λ<1时,点A在圆O内,点B在圆性质2.因AC2=AP⋅若已知圆O及圆O外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然.性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ=2aλ性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点),则CP,性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分∠EAF反向找点当题目给了阿氏圆和一个定点,我们可以通过下述方法快速找到另一个定点,便于计算令圆O与直线OA相交于M,N两点设点E为OA上一点,且满足由阿氏圆定理AN则AN所以λOE=(1+同理AM所以λOE=(1−由(1)(2)消OA得:2λOE=2R,即由(1)(2)消R得:OA因此,满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上,且ROE=λ典型例题例1.(2006-四川)已知两定点A(−2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(）

A.π B.解：已知两定点A(−2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,设P所以点的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π故选B.例2.(2021春-涪陵区校级月考)满足条件AB=4,AC=2BC解：方法1:设BC=x,则AC=2由于三角形ABC的面积为S=12⋅4⋅x⋅sin⁡B=2再利用二次函数的性质可得,当x2=809时,故答案为:163方法2:求出C点轨迹,实际就是阿氏圆.例3.(2018-武汉模拟)已知BC=6,AC=2AB,点D满足AD=2xx+y解：BC=6,AC=2AB,点D满足AD=2xx+yAB+y2(x+y)AC=x两边平方化简可得m2即有A在以(−5,0)为圆心,4为半径的圆上运动,则|ADf(可得fx即fx故答案为:4.例4.已知圆O:x2+y2=9,点B(−5,0),在直线OB上存在定点A(不同于点B),满足对于圆0上任意一点解：由PAPB=OPOB⇒PAPB例5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0)、B(4,0),若直线x−y+m解：由|PA|=12|r=cλλ2−1,λ=2,c易得阿氏圆圆心0(0,0),半径r=2，所以d例6.已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A(−1,0),B(2,2),则2|MA|+|MB|的最小值为()

解：欲求2|MA|+|MB|,需考虑将两线段前系数变成1:1，则需将2|MA|+|MB|,确定另一个定点E.只需过A作AO垂线,与圆相交于D,过D作圆切线交所以2|MA|+|MB例7.已知a,b是平面内互相垂直的单位向量,若向量c满足|c−解：设a=OA,b=OB,c=OC,a

|CD∣+2|CB∣,由于B、D两点均在圆外,因此将|所以|CD例8.设双曲线x216−y2b2=1的左右两个焦点分别为F1、F2,P是双曲线上任意一点,过F1的直线与∠F1PF2解：曲线E的轨迹方程为:x2+

例9.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,点E在棱AB上,BE=2AE,动点P满足BP=3PE.若点P在四边形ABCD内运动,则点P解：由题意易知P的轨迹为圆,又P在四边形ABCD内运动,所以P的轨迹为一段圆弧,由阿圆求半径与圆心的方法,易得圆心为原点A,半径r=23,设圆与四边形ABCD相交于G、H两点,则P的轨迹是圆弧,由cos⁡∠DAG=AD若P在长方体内部运用,则P点轨迹是阿氏球的一部分,且球半径为2因此先算出A到面FB1C的距离就可以得到P到平面的最小距离,M到平面的距离,也就是高的最小值是d用等体积法得到:d得到d此时V已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,点P在平面解：以A为坐标原点,在A1Px8xx以52,0为圆心转到立体几何,P在以E为球心,32EFr∴==自我检测已知圆,定点,其中为圆上的动点,则的最小值为答案：看能否找到一定点,使设若,则与题意不符则寻找设,则.则2.（2015-湖北）如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点,（在的上方）,且.（1）圆的标准方程为（2）过点任作一条直线与圆相交于M,N两点,下列三个结论:（1）;（2）;（3）..其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）答案：(1)圆与轴相切于点圆心的横坐标,取AB的中点,,则,即圆的半径,圆心,则圆的标准方程为,故答案为:.圆心,又,且为AB中点,在圆上,可设,,,同理可得,,(1)成立,,(2)正确.,(3)正确.故答案为:(1)(2)(3).3.（2013江苏）在平面直角坐标系xOy中,点,直线,设圆的半径为1,圆心在上.（1）若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线方程;（2）若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.答案：(1)由题设,圆心在上,也在直线上,设切点的横坐标为,.由题,当斜率存在时,过点切线方程可设为,即,则,解得:,(4分)又当斜率不存在时,也与圆相切,所求切线为或,即或;（2）设点,由,化简得:,点的轨迹为以为圆心,2为半径的圆,可记为圆,又点在圆上,圆与圆的关系为相交或相切,,其中,,解得:.4.已知平面内的动点到两定点,的距离之比为2:1.（I）求点的轨迹方程;（II）过点作直线,与点的轨迹交于不同两点A,B,O为坐标原点,求的面积的最大值.答案：（I）设动点到两定点的距离之比为2:1,,化简得,所求的点的轨迹方程为.（II）由题设知直线AB斜率存在且不为零,设直线AB方程为由,消去得,,由,解得,,,令,考察函数,当,即时取等号,此时,即的面积的最大值为15.已知点到两个顶点距离的比为（I）求动点的轨迹的方程;（II）过点的直线与曲线交于不同的两点,,设点关于轴的对称点为（,两点不重合）证明:点,,在同一条直线上..答案：（I）解:设,则点到两个顶点距离的比为,,整理得,动点的轨迹的方程是;（II）证明:由题意,直线存在斜率,设为,直线的方程为代人,化简得,,可得.设,则,且,,在同一条直线上.6.(2021•浙江省宁波市理州中学高三其他)已知向量满足,则的取值范围是答案：由可知,设由,可知点在单位圆上.因此此时位于处.又所以,又,当且仅当位于时取等.因此7.如图,已知平面是直线上的两点,,是平面内的两点,且,是平面上的一动点,且直线.与平面所成角相等,则二面角的余弦值的最小值是（）A.B.C.D.1答案：由题意易得PD与平面所成角为与平面所成角为点轨迹为阿氏圆.又二面角的平面角为由图可知,当PB与圆相切时,最大,此时,本题选B8.如图,AB是平面的斜线段,为斜足,点满足,且在平面内运动,则（）A.当时,点的轨迹是抛物线B.当时,点的轨迹是一条直线C.当时,点的轨迹是椭圆D.当时,点的轨迹是双曲线抛物线答案：由当时,动点在线段AB的中垂面上,又在平面上,此时动点的轨迹为直线;当时,动点的轨迹在空间为阿氏球,同时又在平面上,所以,动点的轨迹为平面截球所成的圆所以本题选B.已知为中线,,求面积的最大值9.方法1:设.设三角形的顶角,则由余弦定理得,根据公式三角形面积,当时,三角形面积有最大值6.故答案为:6.方法2:把BD当做定点,结合条件发现,故点的轨迹是一个圆,如图所示因,且面积的最大的高为半径,面积曽最大为6.将AB看做定点,则点轨迹为一个圆,故相切时角度取到最大,,故,此时.平面向量满足,则与夹角最大值为答案：如图,与夹角即为,因,且,将AB看做定点,则点轨迹为一个圆,故相切时角度取到最大,,故,此时.11.已知平面向量满足,则的最小值为答案：方法1:利用向量的绝对值(三角)不等式,即方法2:建系,设,则,问题就变为到的距离的2倍与到点的距离和,如图,即.由于的轨迹是单位圆,故寻找一点,使得故最小值为BM的距离,即.12.已知的面积为,则BD的最小值为答案：方法1:解:如图,设,由,得,设,由余弦定理可得:,得,(1)由的面积为3,得,即,(2)联立(1)(2),得,,令,则,,即,得,由,解得或(舍).即,得,的最小值为.故答案为:.方法2:由题意.由阿氏圆定理知,点在圆上,其中点在直线BD上且圆的半径为,因此,,解得:.13.如图,已知平面是直线上两点,且是平面上的一动点,且有,则四棱锥体积的最大值为答案：由题意,在中,,同理,因为,则,所以,则点动点的轨迹为阿氏圆,且半径,故.14.(2021秋-丽水期末)已知椭圆的右焦点为,上顶点为,点在圆上,点在椭圆上,则的最小值是答案：方法1:椭圆的,右焦点为,左焦点为,上顶点为,点在圆上,可设,表示点与的距离,由椭圆的定义可得,当且仅当三点共线上式取得等号,故的最小值是,故答案为:.方法2:设椭圆左焦点为,则,故,由题意知,反向找点则15.(2021-衡阳一模)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为4,动点满足,则动点的轨迹所围成的图形的面积为最大值是答案：方法1:以经过A,B的直线为轴,线段AB的中垂线为轴,建立平面直角坐标系如图所示,则,设,因为,所以,化简整理可得,所以点的轨迹为圆,圆心为,半径,故其面积为;,即OP即为圆上的点到坐标原点的距离,因为,所以OP的最大值为,所以的最大值为.故答案为:.方法2:根据阿波罗尼斯圆的结论,两点距离故其面积为;圆心为,,得到点坐标为剩下用极化恒等式可以得到,所以的最大值为.16.(2021秋-黄石月考)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得,阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy中,,点满足.设点的轨迹为,下列结论正确的是（）A.当A,B,P三点不共线时,射线PO是的平分线B.在上存在点,使得C.在轴上不存在异于A,B的两定点D,E,使得D.的方程为答案：:当A,B,P三点不共线时,由,