高考数学精准复习专项大招5向量与含答案或解析

大招5向量与“四心”大招总结四心的概念:外心:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心).内心:三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心).垂心:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用表示).重心:三角形的重心是三角形三条中线的交点.与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式:(1)设,则向量必平分,该向量必通过的内心;(2)设,则向量必平分的邻补角;(3)设,则向量必垂直于边,该向量必通过的垂心;(4)中,一定过的中点,通过的重心;(5)点是的外心;(6)点是的重心;(7)点是的垂心(移项证明);(8)点是的内心(其中为三边);(9)的外心、重心、垂心共线,即;(10设为所在平面内任意一点,为的重心,为的内心,则有,并且重心,内心,.推论(结合奔驰定理):内有一点.1．如果点是的重心:.2．如果点是的内心:.3．如果点是的外心:.4．如果点是的垂心:.三、向量四心问题重心:(1)定义:三条中线的交点(2)若为的重心,则(3)若为的重心,为平面内任意一点,则重心坐标公式:(4)若为的重心,分别为的中点,则(5)重心满足:外心:(1)定义:外接圆圆心,是三条中垂线的交点(2)为的外心,则(3)分别为的外心、垂心,则(4)外心满足(5)为锐角的外心,则明:根据奔驰定理得到:内心:(1)定义:为内心,则内切圆圆心,是三条角平分线的交点,到三边距离相等.(2)(3)内切圆半径公式:面积法(4)为内心,则,即证明:的高都是根据奔驰定理得到:垂心:(1)定义:为垂心,则为三条垂线的交点(2)垂心满足:.(3)为的垂心,则(4)为非直角的三角形的垂心,则(5)为的垂心,则证明(3):所以同理:,所以:证明(5):同理可得所以:(4)是非直角的垂心证明:(1)如图为三角形的垂心,且在三角形内部时,同理得所以由奔驰定理可得:(2)当三角形为钝角时,在三角形外部..所以.所以典型例题已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：,设它们等于,而表示与共线的向量,而点是的中点,所以的轨迹一定通过三角形的重心.故选C.已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的()A.内心B.垂心C.重心D.外心解：设的中点为,两端同时点乘,得在的垂直平分线上,即经过的外心.故选.例3.是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：分别表示向量方向上的单位向量,的方向与的角平分线重合,又可得到,向量的方向与的角平分线重合,点的轨迹一定通过的内心,故选.例4.已知三个不共线的向量满足,则为的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解：在上取点,在延长线上取点,使得,则,以为邻边作平行四边形,则平行四边形是菱形,,过作的平行线交于点在直线上,,由菱形的性质可知为的角平分线,故在的角平分线上,同理可得:在的平分线上在的角平分线上,是的内心故选.例5.(2021-番禺区校级模拟)已知是平面上不共线的三点,为外心,动点满足:且,则的轨迹一定通过的()A.内心B.垂心C.重心D.边的中点解:取的中点,则而三点共线,点的轨迹一定不经过的重心.故选D.例6.(2021秋-莱芜区校级月考)已知为所在平面内一点,若,则A.B.C.10D.5解:设的点为的中点为的中点为,则,,即为的外心,所以..故选B.例7.(2021秋•东安区校级期末)已知,点为所在平面内的点,且,则点为的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解：同理是的外心.故选B.例8.已知平面内,,则解：依题,在以为圆心的圆上.又,则,设,则又故例9.已知是锐角的外心,.若,则）A.B..C.3D.解设外接圆的半径为,若,,,,即,即,故,故,故故,即故,即,故选自我检测1.是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则的轨迹一定通过的()A.外心B.垂心C.内心D.重心答案：令为的中点,则,于是有点共线,即点的轨迹通过的重心.故选D.2.是所在平面上一点,若,则是的()A.外心B.内心C.里心D.垂心答案：,则由得:,即,同理,即的垂心,故选D.3.已知是所在平面上的一点,若(其中是所在平面内任意一点),则点是的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案：由得,即,即,即.再设为的单位向量,为的单位向量,所以,所以.则说明在的角平分线上,同理可得也在的平分线上,故为的内心.故选B.4.已知的三内角所对边的长依次为为该三角形所在平面内的一点,若,则是的()A.内心B.重心C.垂心D.外心答案：已知,延长交于,根据向量加法得:代人已知得:,因为与共线,所以可设,上式可化为,由于与共线,与不共线,所以只能有,由可知:与的长度之比为,所以由内角平分线定理的逆定理可得为的平分线,同理可证的延长线也是角平分线.故为的内心.故选.5.已知是平面内一点,且,则是的()A.垂心B.外心C.重心D.内心答案：是平面内一点,且,可得:,所以是的外心.故选B.6.已知为所在平面内一点,且满足,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案：由,得即,则是的垂心.故选D.7.已知点在所在平面内,且.，,则点依次为的()A.里心、外心、垂心B.里心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心答案：到三角形三个顶点的距离相等,是三角形的外心,根据所给的四个选项,第一个判断为外心的只有两个选项,只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以,,同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直,得到是三角形的垂心,故选.8.已知点是的内心(三个内角平分线交点)、外心(三条边的中垂线交点）、重心(三条中线交点)、垂心(三个高的交点)之一,且满足,则点一定是的()A.内心B.外心C.重心D.垂心答案：设为的中点,可得点满足.向量,移项得-(,即,得.结合为的中点,可得在的垂直平分线上,又点是的内心、外心、重心和垂心之一,结合三角形外接圆的性质,得点是的外心,故选B.9.已知非零向量满足,且,则的形状是()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形答案：分别为单位向量,的角平分线与垂直,三角形为等边三角形.故选D.10.已知点为线段上一点,为直线外一点,是的平分线,为上一点,满足,则的值为()A.2B.3C.4D.5答案：是的平分线,又满足,即,所以在的角平分线上,由此得是的内心,过作于为圆心,为半径,作的内切圆,如图,分别切于,在直角三角形中,,所以.故选B.11.(2021春-宁远县校级月考)已知的三个顶点及所在平面内一点,若,且实数满足,则A.B.3C.D.2答案：取的中点的中点,则三点共线,同理三点共线,是的重心,.故选B.12.(2021-天津一模)已知点是内一点,满足,若1,则的最小值是()A.B.C.D.答案：因为点是内一点,满足是的重心,.故选C.13.过的重心的直线交于点,若,则的值为答案：依题意,设的重心为,则故由“奔驰定理”,可得.即.因为,即.所以同理由,得又,故解得14.(2021-和平区一模)在中,是的中点,,点在上且满足,则等于A.B.C.D.答案：如图,因为是的中点,根据向量加法的几何意义,,又,所以.故选A.15.(2021秋-清河区校级期中)设为的内心,当时,,则的值为答案：由题意,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立坐标系,则,则因为点在的平分线上,所以与及的单位向量的和向量共线.设这个和向量为,则的单位向量,它与的单位向量相等,设,由此得方程,解方程得(另一负根不合题意,舍去).所以.又,故,即,解得故答案为:16.(2021秋-寿县校级月考)设的外心为,重心为,取