广西壮族自治区2025届高三下学期二月联合调研测试数学试题含答案

/广西壮族自治区2025届高三下学期二月联合调研测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（

）A．1 B．2 C． D．53．已知，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（

）A． B． C． D．5．设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．6．辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（

）A． B． C． D．7．过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（

）A． B． C． D．8．已知，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长､促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来几个时间发布的人民币一年定期存款利率：时间2018年4月2019年4月2020年4月2021年6月2022年9月2024年7月2024年10月利率1.351.501.751.751.551.351.10关于表中的7个数据，下列结论正确的是（

）A．极差为0.25 B．平均数不大于1.5C．分位数与分位数相等 D．中位数为1.7510．已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线11．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个选项，正确的是（

）A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为三、填空题（本大题共3小题）12．在的展开式中，常数项是．（用数字作答）13．已知△的角的对边分别为且，若，，则.14．已知函数，若，则最大值为四、解答题（本大题共5小题）15．已知等差数列前项的和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.16．近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：种植面积亩234579每亩种植管理成本/百元252421221614模型①估计值25.2723.6221.9717.0213.72残差0.380.28模型②估计值26.8420.1718.8317.3116.46残差0.833.17注：表中.(1)将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由；(2)视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程.参考公式：.17．如图（1），在平面四边形中，，，过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且．(1)证明：．(2)若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．18．已知函数．(1)求函数的极值；(2)设，曲线在处的切线为l．（i）证明：除切点外，曲线恒在l的上方；（ii）若，且，证明：．19．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于点（异于），设直线的斜率分别为.（i）证明为定值，并求出该定值；（ii）设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值.

参考答案1．【答案】A【详解】，故，故选：A2．【答案】C【详解】根据可得，故，故选：C3．【答案】C【详解】.故选：C4．【答案】B【详解】向量，都是单位向量，则∵，则即，则∴，又所以故选：B．5．【答案】C【详解】，而，故，，而，故，故，故选：C.6．【答案】D【详解】由球的半径为R，则圆柱体的高为R此鼎主体部分的容积约为：此鼎主体部分外表面积约为：所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为：故选：D7．【答案】C【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心.过圆心与点的直线的斜率为.当直线与垂直时，取得最小值，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选：C．8．【答案】A【详解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得；又是函数的零点，由，得，，取（正半轴的第四个零点）得，所以，.故选：A.9．【答案】BC【详解】把这7个数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，.选项A：极差为，A错误.选项B：平均数为，B正确.选项C：，，故分位数与分位数都是1.35，C正确.选项D：中位数为第四个数即，D错误.故选：BC.10．【答案】ABC【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A：，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以时取得极值，故A正确；B：因为，，，所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确；C：令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；D：令，可得，又因为，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选ABC.11．【答案】ABD【详解】对于A，依题意，截面圆的半径为底面圆半径的一半，则圆的面积为，A正确；对于B，如下图轴截面中，作于，则长轴长，又，则，B正确；

对于C，如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点，设双曲线为，且，则，解得，所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，所以两条渐近线夹角正切值为，C错误；

对于D，如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，则，点，设抛物线方程为，则，解得，所以抛物线的焦点到准线的距离为，D正确.

故选：ABD12．【答案】【详解】因为的展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式中常数项为，故答案为：.13．【答案】【详解】因为，，代入，，则可得：.故答案为：.14．【答案】【详解】由题意，，注意到，，当时，令，解得或，令，解得，不满足,，当时，令，解得或，令，解得，不满足，，当时，函数成立，符合条件，所以，即.令，则，令，则，令，则，所以在单调递增，在单调递减，所以.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，解得，所以.（2）由（1）可得所以.16．【答案】(1)表格见解析，模型①拟合效果更好.(2)【详解】（1）当时，当时，，完成表格如下：注：表中.种植面积亩234579每亩种植管理成本/百元252421221614模型①估计值25.2723.6221.9720.3217.0213.72残差0.381.680.28模型②估计值26.8422.3920.1718.8317.3116.46残差1.610.833.17模型①的残差平方和为5.0994，模型②的残差平方和为24.4832，因为，即模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，所以模型①拟合效果更好.（2）由题意及（1）可知，模型①中仅第四组数据残差的绝对值超过1.5，故应剔除第四组数据，剔除后，则，，则，所以所求经验回归方程为.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）依题意，，而，平面，则平面，又平面，则，由，，得，，连接，则，而，平面PCE，因此平面，又平面，所以．（2）由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．18．【答案】(1)极大值为，无极小值；(2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解.【详解】（1），，令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减；所以当时，有极大值，并且极大值为，函数无极小值；（2）（i）因为函数，所以，设曲线在处的切线的斜率为k，则，又，则曲线在处的切线方程为，即，设函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则，所以，故除切点外，曲线恒在l的上方；（ii）分别令，且满足，由（i）知，令，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，令，可得