四川省资阳市高中2024−2025学年高三上学期第二次诊断性考试（二模）数学试题含答案

/四川省资阳市高中2024−2025学年高三上学期第二次诊断性考试（二模）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数满足，则（

）A．1 B． C．2 D．2．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．3．已知椭圆的离心率为，则（

）A．2 B． C．4或 D．或24．某项智力测试共有，，，，五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道试题才算通过测试．小明答对，，三道试题的概率均为，答对，两道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，则小明在答错试题的条件下通过测试的概率为（

）A． B． C． D．5．已知是定义在上的奇函数，且可导，若是的极小值点，则下列说法错误的是（

）A．是函数的极大值点 B．是函数的极小值点C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点6．将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（

）A． B． C． D．7．已知，函数，则“”是“存在最小值”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某直播带货公司统计了今年1月份至5月份的某种产品的月销量（单位：千件）如下表所示：月份12345月销量2.43.1455.5已知变量与之间具有线性相关关系，通过最小二乘法求得的经验回归直线方程为，则下列说法正确的是（

）参考公式：相关系数，决定系数．A． B．C．每增加1，一定增加0.81 D．10．如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．点到平面的距离为C．五面体的体积为 D．三棱柱的外接球的表面积为11．若函数有三个不同零点，则（

）A． B．C．可以等于 D．可以等于1三、填空题（本大题共3小题）12．在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数．13．已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，是上位于轴异侧的两点，且，，则的面积为.14．设，为常数，，若对任意，都有，则；．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆心，，是底面圆的两条直径，点在上，．(1)求证：；(2)若为的中点，求二面角的余弦值．16．已知的面积．(1)求证：；(2)设为的中点，且，求的值．17．已知，函数.(1)当时，求证：；(2)若，求的取值范围.18．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．(1)求的标准方程；(2)过的直线与的上，下支分别交于，两点（异于），直线平分线段与的下支交于点．（ⅰ）求证：直线与直线的交点在一条定直线上；（ⅱ）过三点的圆是否经过定点，请说明理由．19．如果数列满足：存在，，使得任意，都成立，则称数列是数列．(1)设，判断数列是否是数列，请说明理由；(2)证明：对任意，公差为2的等差数列都是数列；(3)若数列既是数列，又是数列，证明：数列是等差数列，并求出的值．

参考答案1．【答案】B【详解】由可得，即，所以，所以.故选：B2．【答案】C【详解】由图可得阴影部分表示的集合为.由可得，即，由可得，即,则，故.故选：C.3．【答案】C【详解】根据椭圆方程可知，当时，可得，所以离心率，解得；当时，可得，所以离心率，解得，所以；所以或4.故选：C4．【答案】D【详解】小明已经答错了试题,故要通过测试需在，，，四道试题中至少答对其中三道试题.∵至少答对其中三道试题包括恰好答对三道试题和答对四道试题两种情况，∴至少答对其中三道试题的概率为.所以小明在答错试题的条件下通过测试的概率为.故选：D.5．【答案】D【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，所以是函数的极大值点，正确；对于B，因为单调递增，又是的极小值点，即存在区间，，此时单调递减，在上单调递增，所以在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点，正确；对于D，因为的图象与的图象关于轴对称，由是的极小值点，是函数的极大值点，可知是函数的极大值点，是函数的极小值点，D错误；对于C，由D可知是函数的极小值点，所以存在区间，此时单调递减，在区间上单调递增，又单调递增，所以当时，单调递减，当时，单调递增，故是函数的极小值点，C正确；故选：D6．【答案】A【详解】由题意得，所有点经过平移和伸缩变换得到函数，点被变换成了点，即先变换为，再变换为，即，所以，即或,又因为，所以或，则的所有可能值之和为，故选：A.7．【答案】C【详解】由题意，，，当时，若，，函数单调递减，且时，，没有最小值，∴.当时，，此时，当时，，，当且仅当时取等号.若，则，可知，，满足要求，若，则，，可知，，满足要求，若，则，，可知，若有最小值，则，解得：，综上，若函数有最小值，则，∴“”是“存在最小值”的充要条件，故选：C.8．【答案】C【详解】由题意，，设，即，∵，∴，即，∵，∴，∵，得，则有，由，，解得：，∴，，∴.故选：C.9．【答案】ABD【详解】由题意及表得，在中，，，A项，∵，∴，故A正确；B项，，即，∴，故B正确；C项，经验回归直线方程为，并不意味着每增加1，一定增加0.81，会有一定的浮动，故C错误；D项，∴，∴，故D正确；故选：ABD.10．【答案】ACD【详解】由题意，在直三棱柱中，面，面，面，面，直线与平面所成角为45°，∴，，，，在中，，，∴，，∴是等腰直角三角形，，，建立空间直角坐标系如下图所示，设直三棱柱高为，，，∴在面中，设其一个法向量为，，即，解得：，当时，，∴，解得：，故A正确；B项，连接，，，由几何知识得，，，，，在中，，由勾股定理得，，在中，同理可得，，在中，过点作于点，则是的中点，也是矩形对角线交点，连接，在中，，由勾股定理得，，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，∴，，，，∵，解得：，故B错误；C项，五面体的体积为：，故C正确；D项，由几何知识得，，，∴四边形为正方形，设正方形中心，是的中点，也是矩形对角线的交点，所以是的中点，是的中点，所以,因为平面，所以平面所以点在过正方形中心，平面的垂线上，∴点到正方形的四个顶点距离都相等，有，在矩形中，由几何知识得，点到矩形的四个顶点距离都相等，有，所以点为球心，点到各顶点的距离都等于球的半径，即，∴三棱柱的外接球的半径为，∴三棱柱的外接球的表面积为：，故D正确；故选：ACD.11．【答案】AD【详解】由题意，的定义域为,当时，∴，函数在上没有零点，在上单调递增，当时，在上单调递增，∴不可能有三个零点，即，当时.，若,∵，则，∴，此时.令,解得：或（舍）当时，；当时，，∴函数在单调递增，在单调递减，故不可能有三个不同零点若，则，当时，，，∴函数在上单调递增，当时，，，令，解得：或（舍）当时，在上递增，此时，在上单调递增，此时，不可能有三个不同零点，不合题意，舍去.当即时，令，解得：，令，解得：，∴函数在，上单调递增，在上单调递减，且当时,；当时,,且.∴若函数有三个零点，则有，C，D项，，∴，即，解得：，∴∴，∴可以等于1，不可以等于，故C错误，D正确；A，B项，，解得：，即，故A正确，B错误；故选：AD.12．【答案】4【详解】根据题意可得，所以，由与平行可得，即，又不共线，所以，解得.故答案为：413．【答案】/【详解】由题意即可知：，不妨设点，且点在第一象限，则，，故，所以直线的方程为：，令得，即三点共线，所以.故答案为：或.14．【答案】【详解】由题意，，两边同乘以，得，，所以有，，，，，将它们累加得，，已知，所以，则，；由，，所以，所以若，为常数，则.故答案为：；.15．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以，又，且，平面，平面,所以平面．又平面，所以．（2）由题意，在中，，所以，所以，又为的中点，所以，.设，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则设平面的一个法向量为，则，取，则．因此，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．16．【答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）记角，的对边分别为，，，由题意可知，由正弦定理得因为，所以．（2）在中，由余弦定理得，①同理，在中，②①-②得，．在中，由正弦定理得，，所以，即，所以．17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意证明如下，，在中，，当时，，要证，只需证，令，则，令，得，所以当时，，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以，即，所以.（2）由题意及（1）得，，，在中，，令，由题意，在时恒成立，设，，则，令，当时，，所以，在上单调递减，所以，符合题意，当时，在上单调递增，又，，所以存在，使得，且时，，即，所以在上单调递增，所以，不符合题意，综上所述，的取值范围为.1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）过三点的圆经过定点，理由见解析【详解】（1）由题意，，，所以，所以的方程为．（2）（ⅰ）由题意，直线的斜率存在，设直线方程为：，，．由，消去整理得，，由于同号，所以，即，则，所以，由，解得，所以，所以直线方程为：，即，由得，所以直线与直线的交点在一条定直线上．（ⅱ）过三点的圆经过定点，理由如下：由弦长公式．设线段的中点为，则，所以，所以，即点在以线段为直径的圆上．又，即，所以在以线段为直径的圆上，所以过，，三点的圆经过定点．19．【答案】(1)是数列，理由见解析(2)证明见解析