以高等数学知识指导2025年高三复习备考

以高等数学知识为背景的导数问题

高考定位1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.精准强化练题型一拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理

题型二帕德近似题型三微积分、洛必达法则

题型突破例1题型一拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理令bn＝2ln(n＋1)－2lnn，n∈N*，则an>bn，所以a1＋a2＋a3＋…＋an>b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2ln2－2ln1＋2ln3－2ln2＋…＋2ln(n＋1)－2lnn＝2ln(n＋1)，所以Sn>2ln(n＋1).规律方法罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a，b]上连续，②在开区间(a，b)内可导，③f(a)＝f(b)，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.据此，解决以下问题：(1)证明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根，其中a，b，c∈R；训练1设F(x)＝ax4＋bx3＋cx2－(a＋b＋c)x，x∈[0，1]，则F′(x)＝4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)，所以函数F(x)在[0，1]上连续，在区间(0，1)上可导，又F(0)＝0，F(1)＝a＋b＋c－a－b－c＝0，故F(0)＝F(1)，所以由罗尔中值定理可得至少存在一个x0∈(0，1)，使得F′(x0)＝0，所以4ax＋3bx＋2cx0－(a＋b＋c)＝0，所以方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根.(2)已知函数f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围.因为函数f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在区间(0，1)内有零点，不妨设其零点为x1，则f(x1)＝0，x1∈(0，1)，由f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1可得f′(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，所以函数f(x)在[0，x1]上连续，在(0，x1)上可导，又f(0)＝e0－0－0－1＝0，f(x1)＝0，由罗尔中值定理可得至少存在一个x2∈(0，x1)，使得f′(x2)＝0，因为函数f(x)在[x1，1]上连续，在(x1，1)上可导，又f(1)＝e－a－e＋a＋1－1＝0，f(x1)＝0，由罗尔中值定理可得至少存在一个x3∈(x1，1)，使得f′(x3)＝0，所以方程ex－2ax－(e－a－1)＝0在(0，1)上至少有两个不等的实数根，设g(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，x∈(0，1)，则g′(x)＝ex－2a，

例2题型二帕德近似(1)求实数a，b的值；(2)设h(x)＝f(x)－R(x)，证明：xh(x)≥0；规律方法训练2(2)比较f(x)与R(x)的大小；例3题型三微积分、洛必达法则(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，其中a，b∈R.①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合；由函数f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，可得f′(x)＝2ax＋lnx＋b＋1，不妨设0<x1<x2，曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线方程为l1：y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－x1f′(x1)同理曲线y＝f(x)在(x2，f(x2))处的切线方程为l2：y＝f′(x2)x＋f(x2)－x2f′(x2)，假设l1与l2重合，

②当b＝－1时，若不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，求实数a的取值范围.当b＝－1时，不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，所以h(x)＝ax2－x＋xlnx－2sin(x－1)≥0在(0，＋∞)恒成立，所以h(1)≥0⇒a≥1，下证：当a≥1时，h(x)≥0恒成立.因为a≥1，所以h(x)≥x2－x＋xlnx－2sin(x－1)，设H(x)＝x2－x＋xlnx－2sin(x－1)，H′(x)＝2x＋lnx－2cos(x－1).(ⅰ)当x∈[1，＋∞)时，由2x≥2，lnx≥0，－2cos(x－1)≥－2知H′(x)≥0恒成立，即H(x)在[1，＋∞)单调递增，所以H(x)≥H(1)＝0成立；规律方法训练3(1)试判断f(x)＝x3－3x是否为区间[0，3]上的2阶无穷递降函数；

【精准强化练】所以当－1<x<0时，f′(x)<0，即f(x)在(－1，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增.数列中的“三新”问题高考定位新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.精准强化练题型一数列的新情境问题题型二数列的新定义问题题型三数列的凹凸性题型突破题型一数列的新情境问题(2024·长沙模拟)南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n＋1层球数是第n层球数与n＋1的和，设各层球数构成一个数列{an}.(1)求数列{an}的通项公式；例1所以b1＋b2＋b3＋…＋bn<2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，令Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，令2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1，所以－Tn＝2＋21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋11.本题的第(3)问关键是利用第(2)问的结论，恰当地给x赋值后，转化为数列的求和问题.2.解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.规律方法(2024·佛山模拟)佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.训练1由题意可知a1＝33.6，注意到33.6－24＝9.6，24－19.2＝4.8，取等差数列的公差d＝－2.4，则an＝33.6－2.4(n－1)＝36－2.4n，令an＝36－2.4n＝24，解得n＝5，即24为第5项；令an＝36－2.4n＝19.2，解得n＝7，即19.2为第7项；故an＝36－2.4n符合题意.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列{an}的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；

可以，理由如下：由(1)可知m≤7，a1＝33.6，a2＝31.2，a3＝28.8，a4＝26.4，a5＝24，a6＝21.6，a7＝19.2，设数列{(n＋1)an}的前n项和为Sn，∵S7＝2a1＋3a2＋4a3＋…＋8a7＝856.8>310，故新堆叠坊塔的高茺可以超过310米.(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m(m∈N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1、3a2、4a3、……、(m＋1)am((m＋1)am表示高度为am的方体连续堆叠m＋1层的总高度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.题型二数列的新定义问题例2因为a1＝1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－7，所以数列{an}的“min点”为3，5.(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，数列{an}的“min点”的个数为p，证明：a1－am≤p.①若an≥a1(n≥2)，则数列{an}不存在“min点”，即p＝0.由am－a1≥0，得a1－am≤0，所以a1－am≤p.②若存在an，使得an<a1.下证数列{an}有“min点”.证明：若a2<a1，则2是数列{an}的“min点”；若a2≥a1，因为存在an，使得an<a1，所以设数列{an}中第1个小于a1的项为an1，则an1<a1≤ai(2≤i≤n1－1)，所以n1是数列{an}的第1个“min点”.综上，数列{an}存在“min点”.不妨设数列{an}的“min点”由小到大依次为n1，n2，n3，…，np，则ani＋1是ani，ani＋1，ani＋2，…，ani＋1－1，ani＋1中第1个小于ani的项，故ani－ani＋1≤ani＋1－1－ani＋1，因为an≥an－1－1(2≤n≤m)，所以an－1－an≤1，所以ani＋1－1－ani＋1≤1，所以ani－ani＋1≤1.所以a1－am≤a1－anp＝(a1－an1)＋(an1－an2)＋(an2－an3)＋…＋(anp－1－anp)≤(an1－1－an1)＋(an2－1－an2)＋(an3－1－an3)＋…＋(anp－1－anp)≤1＋1＋1＋…＋1(p个1).所以a1－am≤p.综上a1－am≤p，得证.数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则.规律方法(2024·盐城模拟)在数列{an}的第k项与第k＋1项之间插入k个1，称为变换Γ.数列{an}通过变换Γ所得数列记为Ω1(an)，数列Ω1(an)通过变换Γ所得数列记为Ω2(an)，…，以此类推，数列Ωn－1(an)通过变换Γ所得数列记为Ωn(an)(其中n≥2).(1)已知等比数列{an}的首项为1，项数为m，其前m项和为Sm，若Sm＝2am－1＝255，求数列Ω1(an)的项数；

训练2(2)若数列{an}的项数为3，Ωn(an)的项数记为bn.①当n≥2时，试用bn－1表示bn；②求证：2×32n－1≤bn≤62n－1.于是lgbn－lg2>2(lgbn－1－lg2)，则有lgbn－lg2>2n－1(lgb1－lg2)，所以lgbn－lg2>2n－1lg3，得lgbn>lg2＋2n－1lg3，即bn>2·32n＋1(n≥2)，所以bn≥2×32n－1.题型三数列的凹凸性例3(2)若函数f(x)＝b1＋b2x＋b3x2＋b4x3有三个零点，其中bi>0(i＝1，2，3，4).证明：数列b1，b2，b3，b4为“对数凹性”数列；

将p，q互换得t＝(q－p)Wr＋(p－r)Wq＋(r－q)Wp＝－t，所以t＝0，令p＝1，q＝2，得－Wr＋(2－r)W1＋(r－1)W2＝0，所以Wr＝(2－r)W1＋(r－1)W2＝W1＋(r－1)(W2－W1)，故数列{Wn}是等差数列，

1.解第(3)问的关键是利用赋值法证明数列{Wn}是等差数列，从而利用等差数列的相关概念及公式证明.2.数列的凹凸性是类比函数的凹凸性得到的，解决此类问题一般要从题目条件中挖掘出一个特殊的数列(例如等差数列、等比数列)，数列的凹凸性给出的不等关系就可以利用这个特殊数列的运算，结合不等式放缩加以证明.规律方法训练3【精准强化练】1.(2024·泰安三模)对于m，t∈N*，s∈N，t不是10的整数倍，则m＝t·10s，则称m为s级十全十美数.已知数列{an}满足：a1＝8，a2＝40，an＋2＝5an＋1－6an. (1)若{an＋1－kan}为等比数列，求k；

设{an＋1－kan}的公比为q，则an＋2－kan＋1＝q(an＋1－kan)，即an＋2＝(q＋k)an＋1－qkan，其中－2＋15(k－1)不是5的倍数，故若原式能被125整除，需k为偶数且能被25整除，即k需是50的倍数，在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000，故在a1，a2，…，a2024中，3级十全十美数的个数为40.2.(2024·深圳二模)无穷数列a1，a2，…，an，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an；如果n是奇数，就对3n＋1尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an. (1)写出这个数列的前7项；

根据题意，a1＝(3×1＋1)÷2÷2＝1，a2＝2÷2＝1，a3＝(3×3＋1)÷2＝5，a4＝4÷2÷2＝1，a5＝(3×5＋1)÷24＝1，a6＝6÷2＝3，a7＝(3×7＋1)÷2＝11.三角函数与解三角形创新题型突破高考定位三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.精准强化练题型一解三角形的新情境问题题型二三角函数的新定义问题题型三三角与数列的交汇题型突破题型一解三角形的新情境问题例1√解决此类问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.规律方法我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值是________.训练1题型二三角函数的新定义问题例1因为f(x)＝2x，则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；因为g(x)＝cosx，则g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cosx，又g(2π)＝cos2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cosx＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cosx不具有性质P.已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cosx是否具有性质P；(直接写出结论)(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0，由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及题设可知，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；当k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，

这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2；当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，此时函数g(x)的值域为[0，1]，而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，此时函数g(x)的值域为[－1，0]，函数g(x)＝sin(f(x))在当x∈[0，2π]时和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，即f(2π)＝2π，命题得证.解决三角函数新定义问题的思路(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.规律方法训练2题型三三角与数列的交汇例3(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.规律方法训练3【精准强化练】