2024年圆锥曲线复习题及答案

2024年高考圆锥曲线复习题

2

1.过双曲线/一卷=1的右支上的一点P作一直线/与两渐近线交于4、B两点,其中尸是

的中点.

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若尸纵坐标为2时，求直线/的方程；

（3）求证:|。4|・|。8|是一个定值.

【分析】（1）求出双曲线的b,由双曲线的渐近线方程为），=±-工，即可得到所求：

a

（2）令），=2代入双曲线的方程可得。的坐标，再由中点坐标公式，设A（〃?，2m）,B

（〃，-2n）,可得A,8的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；

（3）设尸（,《）,和），A（〃?，2〃?），B（〃，-2/7）,代入双曲线的方程，运用中点坐标公

式，求得加，”，运用两点的距离公式，即可得到走值.

【解答】解：（1）双曲线/一。=1的〃=1,b=2,

可得双曲线的渐近线方程为y=±4,

a

即为y=±2x；

（2）令y=2可得刈2=if[=2,解得刈=遮，（负的舍去），

设4Cm,2m）,BCn,-2〃），

由P为A8的中点，可得加+〃=2&，2m-2/2=4,

解得m=V24-1,n=A/2-1,

即有A（V2+1,2>[24-2）,

可得PA的斜率为k=：富釜=2N/2,

则直线/的方程为广2=2a（x-V2）,

即为y=2或x-2为所求；

（3）证明：设户（刈，和），即有刈2一军=1,

设A（m,2m）,B（〃,-2〃），

由P为A8的中点，可得"I+〃=2AO,2m-2〃=2yo,

解得〃?=刈+•o,〃=加一切，

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则|0川・|08|=+4M|=5卜〃川=5|(AO+(刈一之冲)|

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=5|加一v*_|=5为定值.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查直线方程

的运用，以及中点坐标公式的运用，属于中档题.

2.在平面直角坐标系X5中，C(-2,0),D(2,0),曲线E上的动点户满足伊

=472,直线/过D交曲线E于A、B两点.

(1)求曲线E的方程：

(2)当AC_LAB时，人在x轴上方时，求4、8的坐标；

(3)当直线/的斜率为2时，求三角形C/小的面积.

【分析】(1)利用椭圆的定义确定点P的轨迹是椭圆，然后利用待定系数法求解横圆的

方程即可；

(2)设人(期，yo)()o>0),利用向曷:垂直的坐标表示列式得到xo,和的关系式，结合

点A在椭圆上，求出点A的坐标，然后求出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求四点8

的坐标即可；

(3)求出直线/的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用弦长公式求出|A剧，由

点到直线的距离公式求解点。到直线/的距离，然后由三角形的面积公式求解即可.

【解答】解：(1)因为|PC|+|PD|=4&>|CD|=4,

则点〃的轨迹是以C。为左右焦点的椭圆，

%2y2

设椭圆的标准方程为一；4--=1(a>b>0),

则a=2>/2,c=2,

所以b=Va2—c2=2,

42y2

故曲线E的方程为7■+==1；

84

(2)设4(xo,yo)(yo>O),则-+处-=1,

84

又力。=(-2--y0),AD=(2-x0,一%)，

因为AC_LAB,且点人B,D在同一条直线/上，

所以ACLA。，

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2224

故力C•AD=(-2-%o)(2-x0)+y0=^o+y0-=0,

XQ2y02

联立方程组飞"+丁=1,解得y02=4,

22

vx0+y0-4=0

因为)Y)〉。，则yo=2,

代入x()2+为2-4=0中，可得刈=0,

所以点A的坐标为(().2),

因为4(0,2),D(2,0),

YV

所以直线AB的方程为；4--=1,

联立方程组:解得172或号Z2-

故点5的坐标为-1)；

(3)由题意可知，直线/的方程为y=2(x-2),即2x-y-4=0,

Ny2

联立方程组9+彳=1,解得9』-32X+24=0,

2x—y-4=0

则4=322-4X9X24=160>0,

设A(XI>VI),B(.12,V2),

8

-

则与+小=夸，XjX23

故|48|=V1+22,J(Z+孙)2-4勺%2=V5xJ(等尸一孥=

又点C到直线/的距离为d=|2；(-2)一0二4|二竿，

所以SMBC另

17201v8/5

=2X-9-X—

16/10

--9-'

【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的应用以及椭圆标准方程的求解，

弦长公式的应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题

时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，

属于中档题.

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3.已知双曲线％2一1=1的左、右顶点分别为A、B,曲线C是以A、8为短轴的两端点且

离心率为W的椭圆，设点〃在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T.

2

(1)求曲线C的方程：

(2)设点P、7的横坐标分别为XI,X2，证明：X1X2=1：

(3)设△7^B与△POB(其中0为坐标原点)的面积分别为Si与S2,且曲•而410,

求*-S/的取值范围.

y2久2

【分析】(1)设椭圆的方程为f+77=1,a>b>Q,依题意可得A(-1,0),B(I,

azbz

0),推出〃=1,又椭圆的离心率为77,解得。2,即可得出答案.

2

(2)设点尸(xi,y\),T(X2»yz)(xi>0,>7>0,/=1,2),直线AP的斜至为k(k>0),

则直线AP的方程为y=A(x+1),联立椭圆的方程，蟀得X2,同理可得占二"，进而

可得X=X2=1.

(3)由(2)易=(一1一%1，-yj,前二(一1一%2，一为)，由易♦而工1。，得1V

Xi<V3,再计算Si,S2,结合基本不等式得SJ-S2?的取值范围.

V2X2

【解答】解：(1)设椭圆的方程为J+77=1,a>b>0,

a2b2

依题意可得A(-1,0),B(1,0),所以〃=1,

因为椭圆的离心率为f，

所以然=/=a，1=.即J=4,

y2

所以椭圆方程为—+/9=1.

4

(2)证明：设点尸(A1,)，1),7(X2,月)(x/>0,y>0,i=l,2),直线AP的斜至为

k(&>0),

则直线AP的方程为y=&(x+1),

y=k(x+1)

联立方程组/+4=1整理，得(4+正)『+2-+炉-4=0,

4

4-A2

解得x=・1或％=——弓

4+r

所以必=袋，

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同理可得，巧="，

所以X「X2=1.

（3）由（2）PA=（-1—x1,—%），PB=（-1-%2，一丫2），

因为易•而<10,

所以（―1-%i）（l—%i）+y?410，

即+比<11,

因为点P在双曲线上，则与一4=1,

所以"一4411,即好£3,

因为点P是双曲线在第一象限