2024年中考数学一轮复习：重难点突破13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（解析版）

重难点13几何最值问题2种题型

（将军饮马与蚂蚁爬行，16种模型）

录

重难点题型突破

题型01将军饮马

题型02蚂蚁爬行

重难点题型突破

两点位于线段两侧

两点位于线段间侧

＞（两点之间线段最粕）

一点位于西线段的内侧

一线段位于两线段的内侧【模型一专助训练】

一点位于两线段的外侧'【模型—专项训练】

-（垂线段最短）【模型三专项训练】

一点位于两线段的内侧【模型四专项训练】

几

【模型五与模型六专项训练】

何两点在冏侧，求的最大值

PA-PBI，在三角形中两边、【模型七与模型八专项训练】

”1之差疝手港三边）

最两点在异侧，求IPA-PBI的最大值【模型九专暝训练】

【模型十与模型十一专项训练】

值

在直线L上求一点P.线段垂直平分线上的点

2求IPA-PBI的最小值到线段两端距离相等

种I，平行四边形的性质+两

类将军过桥（2种）点之间残隹金短

型

16蚂蚁沿着长方体去面距行

种

【模型一专I页训练】

模蚂蚁沿着圆柱表面爬行

【咦型二专项训练】

型蚂诞蜂蜜回题【模型三专项训练】

蚂蚁爬楼梯同题【模型四专项训练】

【模型五专项训练】

妈蚁爬圆铤问题

题型01将军饮马

模型的概述：唐朝诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望燎火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含

着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营.

问如何行走才能使总的路程最短.

模型一.模型四的理论依据：两点之间线段最短.

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿

营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如右图，连接AB,与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.

【将军饮马之模型一专项训练】

1.（2021.海南海I1•统考一模）如图，在△48。中，AB=AC,分别以点A、4为圆心，以适当的长为半径作

弧，两弧分别交于E，尸，作直线E凡。为的中点，M为直线七厂上任意一点.若BC=4,△力BC面枳

为10,则8M+MD长度的最小值为（）

【答案】D

【分析】由基本作图得到得后产垂直平分AB,则M3=M4,所以8M+MO=MA+M。，连接M4、D4,如图，

利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD,再利用等腰三角形的性质得到AD1.BC,然后利用

三角形面积公式计算出AD即可.

【详解】解：由作法得F尸垂直平分A用

：.MB=MA,

：.BM+MD=MA+MD,

连接MA、DA,如图，

•：MA+MD>AD（当且仅当M点在4。上时取等号）,

J.MA+MD的最小值为AQ,

•：AB=AC,D点为BC的中点,

/.AD±BC,

yShABC=^BC-AD=W,

.•.4D=也=5,

长度的最小值为5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之

间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键.

2.（2023•山东枣庄•校考模拟预测）如图所示，正方形的面积为12,△48E是等边三角形，点E1在正

方形A8CD内，在对角线力C上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

AD

BC

A.4V3B.2V3C.V6D.V3

【答案】B

【分析】连接8。，PB,根据点8与。关于AC对称，得出P0=P8,从而得出PD+PE=PB+PEZBE,

即PO+PE最小值为值为BE的长，求出BE的长即可.

【详解】解：连接3D,PB,如图所示：

•・加边形力也。为正方形,

・••点B与D关于4c对称,

：.PD=PB,

:・PD+PE=PB+PE之BE,

・・・PD+PE最小值为BE的长,

•・•正方形4BCD的面积为12,

：,AB=712=2V3,

又是等边三角形，

：.BE=AB=2V3,

・•・PD+PE最小值为2次，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的

性质得出8E的长为PD+PE的最小值.

3.(2020•山东泰安・中考真题)如图，点A,8的坐标分别为4(2,0)万(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,

A.V2+1B.五+三C.2V24-1D.272

【答案】B

【分析】如图所示，取AB的中点N,连接ON,MN.根据三角形的三边关系可知OMVON+MN,则当

ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答.

【详解】解：如图所示，取AB的中点N,连接ON,MN,三角形的三边关系可知OMVON+MN,则当

ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，

•••4(2,0),8(0,2),

则AABO为等腰直角三角形，

.\AB=VO/12+OB2=2^2,N为AB的中点，

・・・0348=&,

又,；M为AC的中点，

，MN为△ABC的中位线，BC=1,

贝I」=：

.\OM=ON+MN=V2

2

AOM的最大值为企+，

【点睛】本题考杳了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共

线时，OM=ON+MN最大.

4.（2022•安徽蚌埠•统考一模）如图，中，AB1DC,AB=8,BC=6,F是△A3C内部的一个动

点，满足=则线段CP长的最小值为（）

B.2C.2V13-6D.2713-4

【答案】D

【分析】结合题意推导得乙4P8=90。，取AB的中点O,以点。为圆心，48为直径作圆，连接OP：根据

直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=\AB=4；根据圆的对称性，得点P在以A8为直径的。0

上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点。、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质

计算得OC,通过线段和差计算即可得到答案.

【详解】v/-ABC=90°,

Z.ABP+Z.PBC=90°,

vZ.PAB=乙PBC,

・••£BAP+乙ABP=90°,

.%Z.APB=90°,

取A3的中点0,以点。为圆心，为直径作圆，连接OP,

OP=0A=OB=-AB=4

2

.•.点。在以人8为直径的O0上，连接OC交。。于点P,

当点。、点巴点C三点共线时，PC最小

在RtaBCO中，

vZ.OBC=90°,BC=6,OB=4,

0C=y]BO2+BC2=V42+62=2V13,

APC=OC-OP=2713-4

二PC最小值为2g-4

故选：D.

【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟

练拿握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解.

5.(202()•广东深圳・南山实验教育美团南海中学校考一模)如图8。在4B的同侧，4。=2,BD=8,AB=8,

点M为A8的中点，若2CM。=12。。，则的最大值是.

【答案】14

【分析】如图，作点人关于CW的对称点/V,点8关于力M的对称点夕，证明△/VM9为等边三角形，即可

解决问题.

【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点4,点8关于OM的对称点夕.

•:4CMD=120°,

Z.AMC+Z.DMB=60°,

・•・LCMA'4-Z-DMB'=60°,

•••iA'MB'=60°,

•••MAf=MB',

.•・A4'M8'为等边三角形

•••CD<CA'+A!B'+B'D=CA+AM-^-BD=14,

•••CD的最大值为14,

故答案为14.

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学

会利用两点之间线段最短解决最值问题

模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B

点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B，，连接AB\与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为

线段AB，的长.

【将军饮马之模型一专项训练】

1.（2022.湖南湘潭•校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对■角线修建60米和80米两条道路（力。＜8。），

“、N分别是草地边BC、。。的中点，在线段8。上有一个流动饮水点P,若要使PM+PN的距离最短，则最

短距离是米.

B

【答案】50

【分析】作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交于〃，连接M7,当P点与尸重合时，MP+NP=MP'+NP'=

NQ的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC长，即可得出答案.

【详解】解：作M关于8D的对称点Q,连接NQ,交BD于PL连接MPM

当P点与P'重合时，MP+NP=MP'+NP'=NQ的值最小，

•••四边形力BCD是菱形，

AC1BD,乙QBP=4MBP,

即Q在48上，

VMQ1BD,

•••AQIMQ,

M为BC中点,

Q为力B中点，

•：N为CD中点,四边形ABCD是菱形，

ABQWCD,BQ=CN,

四边形BQNC是平行四边形，

:.NQ=BC,

设4。与80的交点为点0,

•.•四边形力BCD是菱形，

.'.ACA.BD,0。=二力（？=30米，08=230=40米,

BC=y/OB2+OC2=50米，

••.PM+PN的最小值是50米.

故答案为：50.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，

解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.

2(2021下•河南省直辖县级单位八年级统考期末)如图，在直角坐标系中，点4(2,2),C14,4)是第

一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2,且=在y轴上取一点。，连接4B,BC,AO,CD,

使得四边形48C。的周长最小，则这个周长的最小值为一.

【答案】4+2同

【分析】根据点的坐标和平行线的性质得到N/3AC=45。，从而得到N8=90。，得出AC=8C=2,作C关于)，

轴的对称点C,连接AC交)，轴于则此时，四边形相C。的周长最小，这个最小周长的值=A/3+4C+AC,

过根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：•・•点A(2,2),点8的纵坐标为2,

轴，

•••。。是笫一象限的角平分线

/.ZBAC=45°,

VC4=CB,

NAC8=NBAC=45。，

/.ZB=90°,

VC(4,4)

：.B(4,2),

・・・/W=3C=2,

作C（4,4）关于y轴的对称点。（-4,4）,

连接AC交），轴于

则此时，四边形A8C。的周长最小，且CD二C。，

则这个最小周长的值:A8+8C+AC,

VC（-4,4）,4（2,2）

:、AC=V62+22=2V10,

:.四边形ABCD的最小周长值=AB+BC+ACf=4+2x/10,

故答案为：4+2同

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称

解决最短问题.

3.（2022下•广东湛江•八年级统考期末）如图，正方形/WCO的边长为4,点M在DC上，且。M=l,N是

AC上一动点，则ON+MN的最小值为（）

A.4B.4V2C.ZV5D.5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点8与。关于一直线AC对称，连接BM交ACJ-M,M即为所求在RtABCM

中利用勾股定理即可求出4M的长即可.

【详解】•・•四边形A4c。是正方形，

••・点8与。关于直线AC对称，

:.DN=BN,

连接B。，BM交AC于V,连接0M,

・••当B、N、M共线时，DN+MN有最小值,则8M的长即为。W+MN的最小值，

・・/C是线段5。的垂直平分线，

又「CO=4,DM=l

：,CM=CD-DM=4-\=3,

在RtABCM中，BM=y/CM2+BC2=V324-42=5

故DN+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最能路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线AC的对称点，由轴对称

及正方形的性质判断出。的对称点是点B是解答此题的关键.

4.(2022・湖北黄石・统考中考真题)如图，等边△/18C中，48=10,点七为高力。上的一动点，以8E为边作

等近△BEF,连接。户，CF,则.产R+FO的最小值为.

【答案】30。/30度5V3

【分析】①△力BC与ABE尸为等边三角形，得到B4=BC,BE=BF,Z.ABE=^CBF,从而证△BAE三4

8CF(S4S),最后得到答案.

②过点。作定直线。r的对称点G,连CG,证出AOCG为等边三角形，CF为OG的中垂线，得到FO=FG,

FB+FD=FB+FG>BG,再证△BCG为直角三角形，利用勾股定理求出8G=56，即可得到答案.

【详解】解：①•••△48C为等边三角形，

=BC,AD1BC,

：.Z-BAE=-^BAC=30°,

2

•・ZBE尸是等边三角形，

•：LEBF=匕ABC=60°,BE=BF,

：.LABE=4ABe-乙EBC=60°-Z-EBC,

乙C3F=乙EB卜'-乙EBC=6U"-LEBC,

：.LABE=乙CBF,

在和△BCF中

（BA=BC

\^ABE=乙CBF

IBE=BF

J.LBAE三/（SHS）,

得，BAE=Z-BCF=30°：

故答案为：30°.

②（将军饮马问题）

过点。作定直线C尸的对称点G,连CG,

•••△OCG为等边三角形，C/为DG的中垂线，FD=FG,

：.FB+FD=FB+FG,

连接BG,

:・FB+FD=FB+FG>BG,

又DG=DC=^BC,

・•・ABCG为直角三角形，

VFC=10,CG=5,

；・BG=5V3,

・・・F8+F。的最小值为5次.

故答案为：56.

A

G

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及

性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性.

5.（2022上•福建莆田•八年级莆田二中校考期末）如图，在中，^ACB=90°,AC=BC,点C在直

线MN上/8CN=30°,点P为MN上一动点，连接AP,BP.当AP+BP的值最小时，/C8P的度数为度.

【答案】15

【分析】如图，作8关于MN的对称点。，连接4P+BP的值最小，则MN交40于P,由轴对

称易证=/COP,结合=30。证得△©<?£）是等边三角形，可得力C=C£）,结合已知根据等腰三角

形性质可求出乙CDP,即可解决问题.

【详解】如图，作8关于MN的对称点。，连接AD,BD,CD,

•••4P+8P的值最小，

则MN交4。于尸，由轴对称可知：

CB=CD,PB=PD,

•••Z.CBD=乙CDB,乙PBD=乙PDB,

:.Z.CBP=乙CDP,

vZ.BCN=30°,

:.乙BCD=2乙BCN=60°,

•••△8C0是等边三角形，

.•AC=BC,

•••AC=CD,

•••Z.CAD=Z.CDA,

vZ.ACB=90°,乙BCD=60°,

•••£CAD=Z,CDA=1(180°-Z.ACB-乙BCD)=15°,

•••Z.CBP=Z-CDP=15°,

故答案为：15.

【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握

相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键.

6.(2020・全国•九年级专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于4(1,0)、8(4,0),与y轴交于点C(0,3),

点。为。C的中点，点仄尸分别为乃轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接DE、EF、CF,求四边形CDE尸周

长最小时点E、F的坐标.

【答案】当四边形CDEF周长最小时，点£的坐标《,0),点F的坐标为(J,：).

【分析】作点。关于轴的乂寸称点D',作点C关于抛物线对称轴的对称点L,连接C，。，交对称轴于点F,交

》轴于点£求出直线的解析为、二卷》一会进一步可得出结论.

【详解】如图，作点。关于工轴的对称点。'，作点。关于抛物线对称轴的对称点U,连接交对称轴于点

F,交工轴于点E.由对称知C'F=CF,D'E=DE,

V

此时四边形COE尸的周长为CO+DE+EF+CF=CD+D'E+EF+C'F=CD+CD'.

二此时四边形CDEF的周长最小，最小值为CD+CD'.

•••4(1,0),8(4,0),

•••抛物线对称轴为直线x=去

C<5,3).

••・。为。。的中点，••・0(0W).

设直线OD'的解析式为y=kx+b.

5k+b=3\k=—

{公工:解得欠一叱

二直线C。的解析为、=Q—右

令厂0,贝1反=京.•.点E的坐标为住,0).

令x=|,则y=n.••点F的坐标为(I，》

.・•当四边形CDEF周长最小时，点E的坐标0,0)，点F的坐标为G3).

【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的

结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键.

7.(2015・贵州贵阳・统考中考真题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=I2,将矩形纸片折叠，使点

C落在AD边上的点M处，折痕为PE,此时PD=3.

（2）在AB边上有一个动点E且不与点A,B重合.当AF等于多少时，^MEF的周长最小？

（3）若点G,Q是AB边上的两个动点，且不与点A,B重合，GQ=2.当四边形MEQG的周长最小时，

求最小周长值.（计算结果保留根号）

【答案】（1）5；（2）与（3）7+5幻.

【分析】（1）由折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3,CD=MH=4,ZH=ZD=90°,利用勾股定理可计算

出MP的长：

（2）如图1,作点M关于AB的对称点M：连接M，E交AB于点F,利用两点之间线段最短可得点F即为

所求，过点E作EN_LAD,垂足为N,贝ijAM二AD-MP-PD=4,所以AM=AM，=4,再证明ME=MP=5,利

用勾股定理计算出MN=3,NMZ=11,得出△AFM's^NEM，，利用相似比即可计算出AF；

（3）如图2,由（2）知点M，是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2,连接M，R交AB于点G,

再过点E作EQ〃RG,交AB于点Q,易得QE=GR,而GM=GM1于是MG+QE=M，R,利用两点之间线段

最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在RtAMRN中，利用勾股定理计算出MfR

得出，从而得到四边形MEQG的最小周长值.

【详解】解：（1）•・•四边形ABCD为矩形，

/.CD=AB=4,ZD=90°,

•・•矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE,

・・・PD=PH=3,CD=MH=4,ZH=ZD=90°,

AMP=V32+42=5；

（2）如图I,作点M关于AB的对称点MS连接MT交AB于点F,则点F即为所求，过点E作EN1AD,

垂足为N,

VAM=AD-MP-PD=!2-5-3=4,

・・・AM=AM'=4,

•・•矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE,

，NCEP=NMEP,而NCEP二NMPE,

，NMEP=NMPE,

AME=MP=5,在RtAENM中，MN=VME2-EN2=y/52-42=3,

VAFX/ME,

•••△AFM's^NEM',

.AM

••条即务筝

AM

解得AF=||,

即AF三时，△MEF的周长最小;

（3）如图2,由（2）知点M，是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2,连接MR交AB于点G,

再过点E作EQ〃RG,交AB于点Q,

VER=GQ,ER〃GQ,

・•・四边形ERGQ是平行四边形,

，QE=GR,

VGM=GM\

・・・MG+QE=GM，+GR=M，R,此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小,

在RtAM'RN中，NR=4-2=2,M^Vll2+22=5V5,

VME=5,GQ=2,

・•・四边形MEQG的最小周长值是7+5V5.

H

考点：1.几何变换综合题；2.动点型；3.最值问题；4.翻折变换（折叠问题）；5.综合题；6.压轴题.

8.12022.山东烟台.统考一模）问题提出：在一平宜河岸/同侧有A,B两个村庄，A,8至心的距离分别是4km

和3km,AB=akm（a>1）,现计划在河岸/上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.如何铺设使得管

道长度较短？

方案设计:某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为由,

且di=PB+8H(km)(其中BP_U于点。)；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为d?，且d?=

P力+PB(km)(其中点H与点A关于/对称，A8与/交于点P).

⑴在方案一中，心=km(用含。的式子表示)；

(2)在方案二中，组长小宇为了计算为的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，

d2=km(用含。的式子表示).

(3)①当a=4时,比较大小：岂d2(填或"V")；

②当。=7时，比较大小：由d2(填“>”、"=”或"V")；

(4)请你参考方框中的方法指导，就。(当a>1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，

应选择方案还是方案二？

方法指导

当不易直接比较两个正数机与〃的大小时，可以对它们的平方进行比较：

Vm2-n2=(m+n)(m-n),m+n>0,

(m2-与(m-n)的符号相同.

当戊2一九2>。时，m_n>o,即m>71；

当加2一九2=0时，w_n=o,即h1二n；

当m2一九2<0时，m-n<Qf即m<7l；

【答案】⑴a+3

(2)Va2+48

(3)®<：®>

(4)见解析

【分析】(1)由题意可以得知管道长度为d尸P5+84(5?),根据于点尸得出尸5=3,故可以得出出

的值为。+3.

(2)由条件根据勾股定理可以求IHK8的值，由轴对称可以求H4K的值，在心AKBA由勾股定理可以求

出的值不诟就是管道长度.

(3)①把4=4代入d尸a+3和dz川a?十48就可以比较其大小;

②把a=7代入力=〃+3和4=伞阡丽就可以比较其大小；

（4）分类进行讨论当力＞力，d产"2,4〈力时就可以分别求出。的范围，从而确定选择方案.

【详解】（1）解：•・•如图1,由题意得:d产PB+BA=a+3；

(2)因为5K2=/-1,

A'^=BK2+A'K2=a2-1+72=«2+48,

所以42=夜2+48,

故答案为：Va24-48；

(3)①当。=4时，di=7,4=8,d/d2；

②当a=7时，4=10,d?=回,th>d2X

故答案为：V，>;

(4)dr-d22=(〃+3)2-(Va2+48)2=6a-39.

①当6小39>0,即时，力2以2>(),

•••力"2>0，

:.d]>d2；

②当6〃-39=0,即〃二£时，42-心2=0,

••d]-d2=0.

；"尸d2；

2

③当6a-39V0,即“V4时,dr-d2＜0,

工办公＜0，

:.d/Vd2

综上可知：当时，选方案二；

当。当时，选方案一或方案二；

当葭时，选方案一.

【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，勾股定理的运用，数的大小的

比较方法的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类

讨论的数学思想方法.

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为

防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查

才能最快完成任务并求最短距离.

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N,使得APMN周长最小.

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P，P“，连接PP”,与两直线的交点即为所求点

M、N,最短距离为线段的长.

【将军饮马之模型三专项训练】

1.(2020.全国•九年级专题练习)如图，在四边形4?。。中，ZF=ZD=90°,E,尸分别是。。上的点,

连接4E,AF,EF.

(1)如图①，AB=AD,£BAD=120°,Z.EAF=60°.求证：EF=BE+DF；

图③

(2)如图②，乙BAD=120°,当周长最小时，求+的度数;

(3)如图③，若四边形力BCD为正方形，点E、尸分别在边8C、CD上，R^EAF=45°,若BE=3,DF=2,

请求出线段"的长度.

【答案】(1)见解析；(2)Z.AEF+LAFE=120°；(3)EF=5.

［分析】（1）延长F0至I］点G,使DG=BE,连接力G,首先证明^ABEADG,则有力E=AG,Z-BAE=^DAG,

然后利用角度之间的关系得出/ENF=乙FAG=60°,进而可证明△EAF6GAF,则EF=FG=DG+DF,

则结论可证；

（2）分别作点A关于BC和CO的对称点4,A〃，连接44〃，交BC于点E,交CD于点人根据轴对称的性质

有#E=AE,A"F=AF,当点A、E、F、有在同一条直线上时,AA〃即为△AEF周长的最小值,然后利用

Z-AEF+Z-AFE=/.EA'A+Z.EAA'+Z,FAD+2力〃求解即可；

（3）旋转△力"至44”的位置，首先证明△PAF=△E",则有EF=",最后利用”=PF=PD+DF=

8E+0F求解即可.

【详解】（1）证明：如解图①，延长尸。到点G,使0G=8E,连接力G,

G

在A/18E和△/1DG中，

(AB=ADf

4BE=乙ADG,

(BE=DG,

.-.AABEADG(SAS).

:.AE=AG,乙BAE=乙DAG,

v/.BAD=120°,LEAF=60°,

•••/.BAE+LFAD=/-DAG+Z-FAD=60°.

Z.EAF=Z.FAG=60°,

在AEAr和△GA/中，

(AE=AG,

\z.EAF=/-GAF,

(AF=AF,

.-.AEAF=△GAF(SAS).

:.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF；

(2)解：如解图，分别作点A关于BC和CO的对称点A,8"，连接A4”,交BC于点E,交CO于点F.

由对称的性质可得4E=AE，AnF=AF,

.•.此时4力E尸的周长为AE+EF+AF=A'E+EF+A'F=A4〃.

・•・当点4、E、F、4〃在同•条直线上时,AA〃即为周长的最小值.

•••Z.DAB=12UZ

A/.AA'E+Z-A"=180°-120°=60°.

•••z.EA'A=Z.EAA'.Z-FAD=44〃，/.EA'A+Z.EAA'=Z-AEF,AFAD+Z.A"=ZZ1FF,

:.Z.AEF+/-AFE=Z.EArA+Z,EAA'+4FAD+44〃=2（44力'£+4力〃）=2X60°=120°；

（3）解：如解图，旋转△ABE至NADP的位置,

AZ.PAE=Z,DAE+/.PAD=Z.DAE+乙EAB=90°,

AP=AE,Z.PAF=/.PAE-Z-EAF=90°-45°=45°=Z.EAF.

在AP力尸和i中，

（AP=AE,

4P4F=/.EAF,

IAF=AF,

PAF三△EAF（SAS）.

EF=FP.

EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的

关键.

2.（2019下•河南南阳•七年级统考期末）（1）【问题解决】已知点P在乙4。8内，过点P分别作关于。/1、。8的

对称点Pi、P2.

①如图I,若乙AOB=25。，请直接写出NP10P2=；

②如图2,连接HP?分别交。力、0B于C、0,若乙。P。=98°,求乙/1。8的度数；

③在②的条件下，若乙CPD=a度（90<aV180）,请直接写出41。8=度（用含a的代数式表示）.

（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3,在ZL4BC

中，Z.BAC=30。，点P是zL48c内部一定点，AP=8,点E、尸分别在边48、力C上，请你在图3中画出使dP"

周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出ZJPEF周长的最小值.

【答案】（I）【问题解决】①50°；②NA08=41°；③4力。8=90°-：由（2）【拓展延伸】如图，见解析；

4PE/周长最小值为8.

【分析】（1）①连接OP,由点P关于直线OA的对称点Pi，点P关于直线OB的对称点P2,可得NP04=

乙匕。力，乙POB=Z.P2OBt再由/匕。。2=4P04+Z-P^A+^POB+Z,P2OB=2（APOA+^POB）=2Z.AOB,

即可求得NAOB的度数；②由乙CPD=98。，根据三角形的内角和定理可得41+△2=82。；由轴对称的性

质得，乙P]=乙3,乙P2=乙4,再由三角形外角的性质可得乙2=乙01+△3=243,Z.1=+乙4=244,

所以43+乙4二/乙1+42）=41°,即可求得乙MPN=139°；由轴对称的性质可得4PM0=Z.PNO=90°,

由四边形的内角和为360。即可求得440B=41°：③类比②的方法即可解答；（2）作点P关于边AB的对

称点Pi，再作点P关于边AC的对称点P2,连结匕P2,分别交AB、AC于点E、F,此时4PEF的周长最

小，最小为RP2的长，由①的方法求得NP[AP2=60。，P[A=P2A,再由“有一个角是60。的等腰三角形是等边

三角形”即可判定^RAP?是等边三角形，根据等边三角形的性质可得匕P2=AP=8,由此即可得/PE尸周长最

小值为8.

【详解】（1）①连接OP,

p.\

o

图1P?

•••点p关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2,

Z.POA=z.P1OA,Z.POB=Z-P2OB,

：,z.P1OP2=/.POA+^OA+Z.POB+Z.P2OB=2(4P04+4POB)=2Z.AOB=50°,

故答案为50。；

②如图2,

•:乙CPD=98°,

・"1+42=82°,

乙

由轴对称的性质得，P]=43,zP2=44,

Vz2=々P]4-z.3=2z3,zl=zP2+44=2/4,

/.z3+z4=1(zl+z2)=41o,

工乙MPN=Z3+Z-CPD+Z4=98°+41°=139°,

由轴对称的性质得，乙PMO=乙PNO=90。，

：.LAOB=360°-Z,PMO-Z.PN0-乙MPN=41°；

③"OB=90°-1a.

如图2,

■:乙CPD=a,

Azi+Z2=180°-a,

由轴对称的性质得，乙Pi=43,zP2=Z4,

Vz2=乙Pi+43=243,zl=LP2+z4=244,

・•・z3+z4=1(zl+z2)=i(1800-a),

:,乙MPN=Z3+乙CPD4-Z4="180°-a)+a=90°+1a，

由轴对称的性质得，Z-PMO=^-PNO=90°,

：.LAOB=360°-Z-PMO-"NO-乙MPN=360。-90。-90°-(90。+|a)=90°-|a；

故答案为NAOB=90。-ga；

(2)如图所示，4PEF的周长最小，周长最小值为8.

①画点P关于边AB的对称点尸1，

②画点P关于边AC的对称点尸2，

③连结Pi。2，分别交AB、AC于点E、F,

此时4PEF的周长最小，周长最小值为8.

【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路径问题，熟练线段垂直平分线的性质是解决本题的关键，解题时

注意数形结合思想的应用.

3.（2021上•江苏南京•九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，NBCZ）=50。，ZB=ZD=90°,在

BC、CO上分别取一点“、N,使AAMN的周长最小，则NM4N=。.

A

----------------------------------------Q

【答案】80

【分析】作点A关于AC、CD的对称点A/、4,根据釉对称确定最短路线问题，连接4、A2分别交BC、

DC于点M、M利用三角形的内角和定理列式求出NA/+/A2,再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得

NMAN.

【详解】如图，作点A关于8C、C。的对称点A/、A2,连接A/、A2分别交AC、DC于点、M、N,连接AM、

AN,则此时△AMN的周长最小，

VZ5CD=50°,ZB=ZD=90°,

•••NBAO=36(T-90°-90°-50°=130°,

AZ4/+Z^2=180°-130°=50’，

•・•点A关于8C、CO的对称点为4八A2,

：.NA=NA2,MA=MAh

/.ZA2=ZNAD,NA/=NM4B,

・・・NNAQ+NMA3=NA/+N42=5O°，

:・/MAN=NBAD-JNAD\/MAB)

=130°-50°

=80。,

故答案为：80.

【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是

解决本题的关键.

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位

置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P，Q\连接P，Q二与两直线的交点即为所

求点M、N,最短距离为线段（PQ+P'Q'）的长.

【将军饮马之模型四专项训练】

I.（2021.全国.九年级专题练习）如图，点4（小3）、B（b,I）都在双曲线）=：上，点C、。分别是x,y

轴上的动点，则四边形A8C。的局长最小值为

【详解】思路引领：先把人点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出〃与力的值，确定出A与8坐

标，再作A点关于），轴的对称点P,4点关于x轴的对称点Q,根据对称的性质得到。点坐标为（-1,3）,

。点坐标为（3,-1）,0Q分别交x轴、y轴于。点、。点，根据两点之间线段最短，此时四边形布8Q的

周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得.

答案详解：分别把点力（小3）、8（〃，1）代入双曲线y=%导：。=1,b=3,

则点A的坐标为（1,3）、4点坐标为（3,1）,

如图，作A点关于y轴的对称点P，3点关于x轴的对称点Q,

则点P坐标为（-I,3）,Q点坐标为（3,-1）,

连接尸Q分别交x轴、丁轴于。点、。点，此时四边形44co的周长最小，

四边形A8C。周长=Q4+OC+a+A8

=DP+DC+CQ+AB

=PQ+AB

二《（一1-3产+（3+1尸+J（1-3》+（3-

=472+2V2

=6&,

故答案为：6企.

2.（2023下•陕西西安・七年级高新一中校考阶段练习）如图，正方形718。。中，点G是边上一定点，点E、

尸、〃分别是边A。、AB.CD上的动点,若CG=；8c=1,贝ij四边形EFG”的周长最小时GW=____

4

【答案】372

【分析】如图，作点G关于CD的充称点Gi，作点Gi关于AD的对称点G2,作点G关于48的对称点G3,连接G2G3

交48「点尸，交力。丁点E,连接EG】，交CD『点"，连接，G、FG,四边形EFGH的周长最小，求出此时GF即

可.

【详解】解：如图，作点G关于C0的对称点Gi，作点Gi关于AD的对称点G2,作点G关于45的对称点G3,

连接G2G3交力8于点匕交力。于点E,连接EG】，交CD于点H,连接HG、FG,四边形EFGH的周长最小，

由对■称的性质知，GH=GiH,

：.HG+EH=GXH+EH>EG^当E、H、G1三点共线时"G+EH=EGi值最小；

同理可得：GH+EH+EF+FG>G2G3,当G2、E、F、G3四点点共线时G，+EH+E尸+FG=G2G3值最

小；

-：CG=\BC=1,正方形48C0是正方形；

4

:.BC=CD=4,AD||BC,乙BCD=90°

由对称的性质知，CGi=CG=1,BG3=8G=3,G1G3=2BC=8,GXG2=2CD=8,/-G3GXG2=90°,

/.ZG3=ZG2=45°,

*：FG=FG3,

•••△FGG3是等腰直角三角形，

：,BF=BG=^GG3=3.

：.CF=\/BF2+BG2=办+32=3>/2

故答案为：3A/2.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用

作轴对称图形解决最值问题是解题关键.

3.12023上•黑龙江大庆•九年级校考期中)如图，以矩形CMBC的顶点。为原点，。4所在的直线为x轴，OC所

在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知。4=3,OC=2,点E是AB的中点，在。4上取一点D,将^BDA

沿BO翻折，使点4落在BC边上的点尸处.

(1)直接写出点E、F的坐标:

(2)连接E尸交3D于点G,求1的面积.

(3)在％轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直

线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由.

【答案】⑴E(3,1)：F(1,2)

(2)A8GE的面积为彳

(3)在=轴、y轴上存在点M、M使得四边形M/V”七.的周长最小；

四边形MNFE的周长最小为5+代；直线MN的函数解析式：y=--X+-

44

【分析】(I)根据04=3,0C=2,点E是力8的中点，即可得到点E的坐标；利用折叠性质可得8F=8/1=2,

CF=1,即可得到点尸的坐标；

(2)利用折叠性质可以得到48=AD=BF=DF=2,DF||BE,从而得到^DFG-△BEG,-=—=

EGBE1

利用比例性质可以得到箓=利用同高可以得到要吐=7,根据，BEF=1即可求出AUG，•的面积：

(3)如图，作点E关于％轴的对称点为E',点尸关于y