数学知识点归纳

2012数学基础知识归纳目录:01、集合··········································-02-02、函数与导数····································-02-03、三角函数、三角恒等变换与解三角形···············-12-04、立体几何······································-15-05、直线与圆······································-16-06、圆锥曲线······································-18-07、平面向量······································-21-08、数列··········································-22-09、不等式········································-25-10、复数··········································-26-11、概率··········································-27-12、统计与统计案例································-27-13、算法初步······································-30-14、常用逻辑用语与推理证明························-32-15、二项式定理、排列组合···························-34-16、极坐标和参数方程（选修）························-38-2011年高考高中新课标数学基础知识归纳第一部分集合1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？…；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3．主要性质和运算律包含关系：等价关系：集合的运算律：A∩UA=φA∪UA=UUU=φUφ=UUU(UA)=AU(A∩B)=(UA)∪(UB)U(A∪B)=(UA)∩(UB)(4)元素与集合的关系：,.注意：讨论的时候不要遗忘了的情况.(5)集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空真子集有–2个.4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.5.集合个数问题（容斥原理）：例1.（2009陕西卷）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人。答案：8.解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组,设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则.,由公式易知36=26+15+13-6-4-故=8即同时参加数学和化学小组的有8人.6.从集合到集合的映射有个.第二部分函数与导数1．(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且仅有下一个，但中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”.(2)函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。例题：已知函数的定义域为，分别求函数和的定义域。解：由，由，（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。例题：设a>0且，试求函数的单调区间。解：函数的定义域为，令∴u在上是增函数，在上是减函数当0<a<1时，函数y是u的减函数，故函数在上是减函数，在上是增函数当a>1时，函数y是u的增函数，故函数在上是增函数，在上是减函数注意：外函数的定义域是内函数的值域。4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。（2009北京理）若函数则不等式的解集为____________.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.（1）由.（2）由.∴不等式的解集为，∴应填.5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；⑵是奇函数；⑶是偶函数；⑷奇函数在原点有定义，则；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；⑹若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；⑺．奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．⑻可导函数，如果为奇函数，那么它的导函数是偶函数，如果为偶函数，那么它的导函数是奇函数。6．函数的单调性⑴单调性的定义：在区间上是增（减）函数当时；例题：(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有(A)(B)(C)(C)(D)答案：C⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；注：证明单调性主要用定义法和导数法。设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.③复合函数法;④图像法。7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期①；②；③；④；⑤；⑶函数周期的判定：①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论）⑷与周期有关的结论：①或的周期为；②的图象关于点中心对称周期2；③的图象关于直线轴对称周期为2；④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期4；⑤如果，或，或,则的周期T=2a；8．基本初等函数的图像与性质⑴幂函数：（；⑵指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.（5）在R上是增函数（5）在R上是减函数指数运算法则①；②；③；④⑶对数函数y=logax的图象和性质；对数运算：⑷正弦函数:；⑸余弦函数：；⑹正切函数：；⑺二次函数：；(1)解析式：①一般式：；②顶点式：，为顶点；③零点式：。(2)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②二次函数的图象的对称轴方程是；顶点坐标是；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。(3)二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R⑻其它常用函数：①正比例函数：；②反比例函数：；特别的，函数；⑼形如的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线(由分母为零确定)、直线(由分子、分母中的系数确定)，双曲线的中心是点.9．几个常见的函数方程：(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，，f(0)=1.10．函数图象⑴图象作法：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法；熟悉常用函数图象：例：含的函数图像关于轴对称.例如：的图像的做法→→关于轴对称，例如.=2\*GB2⑵熟悉分式函数的图象：例：定义域，值域→值域前的系数之比.⑵图象变换：平移变换：ⅰ，———左“+”右“-”；ⅱ———上“+”下“-”；伸缩变换：ⅰ，（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；ⅱ，（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；对称变换：ⅰ；ⅱ；ⅲ；ⅳ；翻转变换：ⅰ———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；ⅱ———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明(一)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；(2)①函数与函数的图像关于直线（轴）对称.推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称.推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称.②函数与函数的图像关于直线（轴）对称.推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）.③函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.推广：函数与函数的图像关于点中心对称.④函数与函数的图像关于直线对称.推广：曲线关于直线的对称曲线是；曲线关于直线的对称曲线是.⑤曲线绕原点逆时针旋转，所得曲线是（逆时针横变再交换）.特别：绕原点逆时针旋转，得，若有反函数，则得.曲线绕原点顺时针旋转，所得曲线是（顺时针纵变再交换）.（二）（1）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；（2）两个函数的图象常见的对称性:①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称；②函数与函数的图象关于直线对称；③函数的图象关于直线对称的解析式为；④函数的图象关于点对称的解析式为；注意：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x,y)=0;③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；例题：(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0),所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.12．函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.零点定理：设函数在闭区间上连续，且f(a)·f(b)<0,.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.类似：如果存在(4)例题：(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.【解析】:设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是答案:【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.13．导数⑴①导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；物理意义：瞬时速度②函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是例题：（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为A．B．C．D．答案：A【解析】由已知，而，所以故选A注意：利用导数求切线：应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”为桥梁注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？对“二次抛物线”过抛物线上一点的切线抛物线上该点处的切线，但对“三次曲线”过其上一点的切线包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点.⑵常见函数的导数公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。⑶导数的四则运算法则：⑷（理科）复合函数的求导法则：设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.⑸导数的应用：①多项式函数的导数与函数的单调性：利用导数判断函数单调性：ⅰ在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为增函数.在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为减函数.为常数；②利用导数求极值：ⅰ求导数；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得极值。③.导数与极值、导数与最值：求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值.特别是给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑：函数在处有且“左正右负”在处取极大值；函数在处有且“左负右正”在处取极小值.注意：①在处有是函数在处取极值的必要非充分条件.单调性与最值（极值）的研究要注意列表！函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”；注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小值.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。解：由题意知方程有两个根则有故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。解：由题意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1．弧度制的定义：角度与弧度的换算公式：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.弧长公式：；扇形面积公式：。2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P,设则：3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”5．⑴对称轴：令，得对称中心：；⑵对称轴：令，得；对称中心：；⑶周期公式:①函数及的周期(A、ω、为常数，且A≠0).②函数的周期(A、ω、为常数，且A≠0).6．同角三角函数的基本关系：7．三角函数的单调区间及对称性：⑴的单调递增区间为,单调递减区间为，对称轴为,对称中心为.⑵的单调递增区间为,单调递减区间为，对称轴为,对称中心为.⑶的单调递增区间为，对称中心为.三角函数图象几何性质8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①；；②.（注意该公式的变形）③；④.⑤=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定,).9．二倍角公式：①.②（升幂公式）.③（降幂公式）.10．正、余弦定理：⑴正弦定理：（是外接圆直径 ）注：①；②；③。⑵余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosAcosA=b2=a2+c2﹣2accosBcosB=c2=a2+b2﹣2abcosCcosC=正余弦定理在实际中的应用求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计11.几个公式:⑴三角形面积公式：①（分别表示a、b、c边上的高）；②.=3\*GB3③⑵内切圆半径r=（特别地，）；外接圆直径2R=12．常见三角不等式:(1)若，则.(2)若，则.13.正弦、余弦的诱导公式：即:“奇变偶不变,符号看象限”.如,.14.万能公式:；；（正切倍角公式）.15.半角公式:.16.三角函数变换:①相位变换:的图象的图象；②周期变换:的图象的图象；③振幅变换:的图象的图象.17.在△ABC中，有①；②（注意是在中）.③在锐角三角形△ABC中，A+B>,sinA>cosB,sinB>cosA,第四部分立体几何1．三视图与直观图：=1\*GB2⑴画三视图要求：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等。=2\*GB2⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。例题.（2009辽宁卷理）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于×2×4×3＝4【答案】42．表（侧）面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：⑶台体：①表面积：S=S侧+S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=(S+)h；⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=.3．位置关系的证明（主要方法）：⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。⑸平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。．第五部分直线与圆1．直线方程⑴点斜式：；⑵斜截式：；⑶截距式：；⑷两点式：；⑸一般式：，（A，B不全为0）。注意：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.2．求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。或所表示的平面区域：设直线，则或所表示的平面区域是：若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.3．两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件有斜率且（验证）不可写成分式4．直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定值，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.5．几个公式⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；6．圆的方程：⑴标准方程：①；②。⑵一般方程：（注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；圆的方程的四种形式：（3）圆的参数方程:.（4）圆的直径式方程:(圆的直径的端点是、).7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。8．圆系：⑴过两个圆的交点的曲线系；注：当时表示两圆交线。⑵过一个圆和一条直线的交点的圆的方程。9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）①相切；②相交；③相离。⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。10．与圆有关的结论：(1)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为.(2)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为.(3)若P(,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线,切点分别为A、B，则直线AB的方程为.(4)若P(,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线,切点分别为A、B，则直线AB的方程为.圆的切线方程：(1)已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆，过圆上的点的切线方程为.第六部分圆锥曲线1．定义：⑴椭圆：；⑵双曲线：；⑶抛物线：2．结论⑴①椭圆焦半径：：（e为离心率）；（左“+”右“-”）；⑵弦长公式：；注：（Ⅰ）焦点弦长：椭圆：；抛物线：＝x1+x2+p=；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：；②抛物线：2p。⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；⑷椭圆中的结论：①内接矩形最大面积：2ab；②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则；③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．点是内心，交于点，则；④当点与椭圆短轴顶点重合时最大；椭圆的参数方程是.⑸椭圆的切线方程：①椭圆上一点处的切线方程是.②过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.③椭圆与直线相切的条件是.⑹双曲线中的结论：双曲线（a>0,b>0）的渐近线：由得；双曲线的渐近线方程为。②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；⑤双曲线,焦半径公式；双曲线，焦半径公式.⑥双曲线的切线方程：过双曲线上一点处的切线方程是.过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.双曲线与直线相切的条件是.⑦P是双曲线上一点,F、F是它的两个焦点,∠FPF=θ，则△PFF的面积=.⑺抛物线中的结论：抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>x1x2=；y1y2=－p2；抛物线焦半径：；<Ⅱ>；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；<Ⅴ>。②抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质：<Ⅰ>；<Ⅱ>恒过定点；<Ⅲ>中点轨迹方程：；<Ⅳ>，则轨迹方程为：；<Ⅴ>。③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则：<Ⅰ>当时，顶点到点A距离最小，最小值为；<Ⅱ>当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。④抛物线上的动点可设为P或.⑤(1)P(,)是抛物线上的一点,是它的焦点,则；(2)抛物线的焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角；(3)抛物线的通径长为.⑥抛物线的切线方程：(1)抛物线上一点处的切线方程是.（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.⑻“四线”一方程：对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.3．直线与圆锥曲线问题解法：⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑷待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。5、圆锥曲线的对称方程：曲线关于点成中心对称的曲线是.6、求弦长公式(，,)或“小小直角三角形”.第七部分平面向量几个概念：零向量、单位向量(与共线的单位向量是，特别：)、平行(共线)向量(无传递性，是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、1.平面上两点间的距离公式:，其中A，B.2.向量的平行与垂直：设=,=，且，则：两非零向量平行(共线)的充要条件.两个非零向量垂直的充要条件.特别：零向量和任何向量共线.是向量平行的充分不必要条件!3.a·b=|a||b|cos<a,b>=xx2+y1y2；注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的正射影。即：.；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的正射影；=2\*GB3②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的正射影|b|cos<a,b>的乘积。4.cos<a,b>=；5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线；6、线段的定比分点坐标公式设P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且，则，.特别：分点的位置与的对应关系.中点坐标公式，为的中点..为的重心；特别为的重心.为的垂心；所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心..第八部分数列1、等差、等比数列：等差数列等比数列定义通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中项公式A=推广：2=。推广：性质1若m+n=p+q则若m+n=p+q，则。2若成A.P（其中）则也为A.P。若成等比数列（其中），则成等比数列。3．成等差数列。成等比数列。4，5成等差数列,成等比数列,2、等差数列特有性质：①项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；；；②项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)；；；③若；若；若。3．数列通项的求法：注意：；.⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；aan=S1(n=1)Sn－Sn-1(n≥2)⑶公式法：累加法（；⑷叠乘法（型）；⑸构造法（型）；（6）迭代法；⑺间接法（例如：）；⑻作商法（型）⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。4．前项和的求法：⑴拆、并、裂项法；如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①，②，③，，④，⑤,⑥,⑦，⑧.⑵倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.⑶错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前和公式的推导方法之一）.5．等差数列前n项和最值的求法：⑴；⑵利用二次函数的图象与性质。6、等比数列的前项和公式的常见应用题：=1\*GB2⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：=2\*GB2⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：=.=3\*GB2⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.7.数列常见的几种形式：=1\*GB2⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.=2\*GB2⑵（P、r为常数）用①转化转化等差，等比：；②逐项选代；.③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；特征方程求解：.④（公式法），由确定.由选代法推导结果：第九部分不等式1．均值不等式：注意：①一正二定三相等；②变形：。2．极值定理：已知都是正数，则有：(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；(2)如果和是定值，那么当时积有最大值.3.解一元二次不等式:若,则对于解集不是全集或空集时,对应的解集为“大两边，小中间”.如:当,；.4.含有绝对值的不等式：当时，有：①；②或.5.分式不等式：（1）；（2）；（3）；（4）.6.指数不等式与对数不等式(1)当时,；.(2)当时,；3．不等式的性质：⑴；⑵；⑶；；⑷；；;⑸;⑹第十部分复数1．概念：⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0；⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；⑶复数的分类z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；例题1、（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为A．B．C．D．或答案：A【解析】由故选A例题2、已知z是纯虚数,是实数,那么z等于（A）2i(B)i(C)-i(D)-2i答案：D.解析:设纯虚数,代入由于其为实数，b=-2,故选D.⑷复数的相等：a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；例题：（2009安徽卷理）i是虚数单位，若，则乘积的值是（A）－15（B）－3（C）3（D）15[解析]，∴，选B。⑸复平面表示复数。2．复数的代数形式及其运算：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则：（1）z1±z2=(a+b)±(c+d)i；⑵z1.z2=(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；⑶=(z2≠0);3．几个重要的结论：；⑶；⑷⑸性质：T=4；；4．模的性质：⑴；⑵；⑶。5.实系数一元二次方程的解：①若,则;②若,则;③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.第十一部分概率1．事件的关系：⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或）；⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；=6\*GB2⑹对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：；⑶几何概型：；例：(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x,的值介于0到之间的概率为()A.B.C.D.【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.第十二部分统计与统计案例1．抽样方法：⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：①每个个体被抽到的概率为；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预先制定的规则抽取样本。⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等2．频率分布直方图：=1\*GB2⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商，(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。例题：(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品969810010210410696981001021041060.1500.1250.1000.0750.050克频率/组距例题图净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是().A.90B.75C.60D.45【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.茎叶图.=2\*GB2⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。例题：（2009安徽卷文）（本小题满分12分）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430AB973587363537148383569239124457750400113675424102567331422400430553444145（Ⅰ）完成所附的茎叶图（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。【解析】（1）茎叶图如图所示（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.3．总体特征数的估计：总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.⑴样本平均数；⑵样本方差；⑶样本标准差=⑷用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).公式如下：样本数据做如下变换，则，.4．相关系数（判定两个变量线性相关性）：注：⑴>0时，变量正相关；<0时，变量负相关；⑵当越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。5．回归直线方程，其中第十三部分算法初步程序框图1定义：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来表示算法的图形2框图的常用符号3.算法的基本逻辑结构—顺序结构、条件结构、循环结构。三输入、输出语句和赋值语句变量=变量=INPUT（“提示内容”）；INPUT语句。这个语句的一般格式是：其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。（二）、输出语句PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：PRINT（%io（2），变量1，变量2，。。。）PRINT（%io（2），变量1，变量2，。。。）;同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。输出语句的用途：(1)输出常量，变量的值和系统信息。(2)输出数值计算的结果。（三）、赋值语句用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。除了输入语句，赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：变量变量=表达式赋值语句中的“=”叫做赋值号。赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。IF条件语句1ELSE语句2ENDIF条件语句1ELSE语句2END④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。四条件语句和循环语句（一）、条件语句算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是：(IF-THEN-ELSE格式)IF条件语句END当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSEIF条件语句END在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：(即IF-THEN格式)计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。满足条件？循环体满足条件？循环体是否（二）、循环语句算法中的循环结构是由循环语句来实现的。WHILE语句的一般格式是：WHILEWHILE条件循环体END 框图格式满足条件？循环体满足条件？循环体是否⑵程序框图分类:①顺序结构：②条件结构：③循环结构：r=0?否求n除以i的余数输入n是n不是质素n是质数i=i+1否i=2in或r=0?是注：循环结构分为：Ⅰ．当型——先判断条件，再执行循环体；Ⅱ．直到型——先执行一次循环体，再判断条件。例题1：（2009浙江卷理）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是()A．B．C．D．答案：A【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的．例题2：上（右）图是一个算法的流程图，最后输出的.第十四部分常用逻辑用语与推理证明1．充要条件的判断：（1）定义法----正、反方向推理注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。解充要条件的问题时，对于一个给定的命题：（1）.若原命题正确，而逆命题不正确，则原命题的条件是结论的充分不必要条件；（2）.若原命题不正确，而逆命题正确，则原命题的条件是结论的必要不充分条件（3）.若原命题正确，而逆命题正确，则原命题的条件是结论的充要条件，此时原命题的结论也是条件的充要条件.（4）.若原命题不正确，而逆命题不正确，则原命题的条件是结论的既不充分又不必要条件从已知概念、命题出发，用箭头符号语言表示充分，必要，充要条件，可直观的表示出命题间的关系，作出判断，而在判断的时候，对于“”只要证明或说明；而对于“推不出”，只要举出一个反例即可，特别强调的是，对于条件的判断绝对不能随便的观察一下就下结论，必有详尽的步骤.例.至少有一个负的实根的充要条件是（）A.B.C.D.或解一：当时，原方程变形为一元一次方程，有一个负的实根当时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是即设两根，则有一负实数有两负实数综上，解二：排除法当时，原方程有一个负的实数，可以排除A、D当时，原方程有两个相等的负实数，可以排除B，所以选C2．逻辑联结词：⑴且(and)：命题形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命题形式pq；真真真真假⑶非（not）：命题形式p.真假假真假假真假真真假假假假真3．四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ4。四种命题：⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q； ⑷逆否命题：若q则p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。5.全称量词与存在量词⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称命题p：； 全称命题p的否定p：。⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；特称命题p：； 特称命题p的否定p：；6.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或第十四部分排列组合二项式定理一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重复元素的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·…m=mn..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：种）二、排列.1.⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.⑷排列数公式：注意：规定0!=1规定2.含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.三、组合.1.⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：⑶两个公式：①②①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式②常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：（利用）ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法（即用递推）如：.vi.构造二项式.如：证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法.②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n–m+1≥m,即m≤时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n=n！/m！；解法二：（比例分配法）.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（）注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有，当n–m+1≥m,即m≤时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图