2022年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。2.把形状相似的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的相应角相等，相应边的长度成比例。知识点二：比例线段有关概念及性质1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:b=)2、比的前项，比的后项：两条线段的比a:b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。阐明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如5、比例内项：在比例(或a:b=c:d)中b、c叫做比例内项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例(或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么,这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。(注意：在求线段比时，1.基本性质：(两外项的积等于两内项积)2.反比性质：(把比的前项、后项互换)3.更比性质(互换比例的内项或外项):4.合比性质：5.等比性质：(分子分母分别相加，比值不变.)如),那么(3)可运用分式性质将连等式的每一种比的前项与后项同步乘以一种数，再运用等比性质也成立知识点三：黄金分割1)定义：在线段AB上，点C把线段AB提成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC²=AB×BC,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比2)黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点..(只规定记住).3)矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的相应线段成比.例.已知l₁//l₂//l₃, 可得2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例.行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即运用比例式证平行线)应成比例.5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另★三角形一边的平行线性质定理归纳：和推广：类似地还可以得到平行于三角形一边的直线截其她两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边相应成比例.三角形一边平行线鉴定定理如果一条直线截三角形的两边所得的相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.三角形一边的平行线鉴定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.两条直线被三条平行的直线所截，截得的相应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在始终线上所截得的线段相等，那么在另始终线上所截得的线段也相等.用符号语言表达：重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一种顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍知识点三：相似三角形1、相似三角形1)定义：如果两个三角形中，三角相应相等，三边相应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等);2)性质：两个相似三角形中，相应角相等、相应边成比例。3)相似比：两个相似三角形的相应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。相似比为k。斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).相似三角形的性质①相似三角形相应角相等、相应边成比例.②相似三角形相应高、相应角平分线、相应中线、周长的比都等于相似比(相应边的比).2、相似的应用：位似1)定义：如果两个多边形不仅相似，并且相应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，因此两个图形是位似图形，必然是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。②两个位似图形的位似中心只有一种。③两个位似图形也许位于位似中心的两侧，也也许位于位似中心的一侧。④位似比就是相似比。2)性质：①位似图形一方面是相似图形，因此它具有相似图形的一切性质。②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对相应点到位似中心的距离等于位似比(相似比)。③每对位似相应点与位似中心共线，不通过位似中心的相应线段平行。例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽。__G例2、已知△ABC中，AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD例4、矩形ABCD中，BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC,问图中与否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC中，在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证：DF·AC=BC·FE求证：(1)MA²=MD●ME;(2)三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8:已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：SQ//AB,RP//BC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠0的两边上的点，且AB//ED,BC//FE,求证：AF//CD例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于0,过0引BC的平行线交AB于F,(答案)例1分析：核心在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，运用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外，由BC//AD可得∠1=∠2,因此△AGD∽△EGC。再∠1=∠2(对顶角),由AB//DG可得∠4=∠G,因此△EGC∽△EAB。例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的措施。证明：∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC,则∠在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。因此∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边相应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。4(3)如图：∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。观测本题的图形，如果存在相似三角形只也许是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA解：设AB=a,则BE=EF=FC=3a,由勾股定理可求得AE=√2a,在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且因此例5分析：证明乘积式一般是将乘积式变形为比例式及DF:FE=BC:AC,再运用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DK//AB,交又∵AD=BE,∴DF:FE=BK:AD,而BK:AD=BC:AC例6证明：(1)∵∠BAC=90°,M是BC的中点，∴MA=MC,∠1=∠C,评注：命题1如图，如果∠1=∠2,那么△ABD∽△ACB,AB²=AD●AC。命题2如图，如果AB²=AD·AC,那么△ABD∽△ACB,∠1=∠2。例7分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。如何作?观测要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE:ED”的特性，作DG//BA交CF于G,得△AEF∽△与结论相比较，显然问题转化为证证明：过D点作DG//AB交FC于G则△AEF∽△DEG。(平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)∵D为BC(1)得：例8分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等措施来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不也许相似(一种在直角三角形中，另一种在斜三角形中),因此证明本题的核心是构造相似三证明：作FG⊥BD,垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF例9分析：要证明两线平行较多采用平行线的鉴定定理，但本例不具有这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。运用比例线段证明平行线最核心的一点就是要明确目的，选择合适的比例线段。要证明SQ//AB,只需证明AR:AS=BR:DS。但△ADS≌△CBQ,∴DS=BQ,则,∴SQ//AB,同理可证，R例10分析：要证明AF//CD,已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供运用，这就要进行对的的选择。其实要证明AF//CD,只要证明即可，因此只要找出与这四条线段有关的比例式再稍加解决即可成功。证明：∵AB//ED,BC//FE∴∴两式相乘可得：例11分析：要证明FC=FG,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG,一方面要找出与FC、FG有关的比例线段，图中与FC、FG有关的比例式较多，则应选择与FC、FG均有联系的比作为过渡，最后必须得到代表相似的线段或相等的线段),便可完毕。证明：∵FG//AC//BE,∴△ABE∽△AGF则有而FC//DE∴△AED∽△AFC即例12证明：∵CO平分∠C,∠2=∠3,又OF//BC,∴一、选择题1.(滨州)如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③;④AC其中单独可以鉴定△ABC∽△ACD的个数为()【核心词】三角形相似的鉴定.【答案】C2.(上海市)如图，已知AB//CD//EF,那么下列结论对的的是()【核心词】平行线分线段成比例【答案】A3.(成都)已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(A)1:2(B)1:4【核心词】【答案】B4.(安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线，则下面四个结论：(1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4.其中对的的有：【核心词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形A.1:4B.1:2C.2:1【核心词】6.(杭州市)如果一种直角三角形的两条边长分别是6和8,另一种与它相似的直角三角形边长分别是3A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个【核心词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.宁波市)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,M、N分别是边AB、AD的中点，连接A.△AOM和△AON都是等边三角形B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形nn【核心词】位似【答案】C8.(江苏省)如图，在5×5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一种矩形，那么,下面的平移措施中，对的的是()A.先向下平移3格，再向右平移1格B.先向下平移2格，再向右平移1格C.先向下平移2格，再向右平移2格D.先向下平移3格，再向右平移2格【核心词】平移【答案】D9.(义乌)在中华典型美文阅读中，小明同窗发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为A.12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm【核心词】黄金比【答案】A10.(娄底)小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目的点B时，要使眼睛0、准星A、目的B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A',若【核心词】相似三角形【答案】B【核心词】解直角三角形、相似【答案】B12.(甘肃白银)如图3,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子正好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为A.12mB.10m