2024高考数学二轮复习分层特训卷热点问题专练十直线与圆文

PAGEPAGE4热点(十)直线与圆1．(点与圆的位置关系)已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是()A．相切B．相离C．内含D．相交答案：D解析：由已知得a2＋b2>r2，所以圆心到直线ax＋by＝r2的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<r，故直线ax＋by＝r2与C的位置关系是相交，故选D.2．(圆的切线)过点(3,1)的圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0答案：B解析：由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)×(3－1)＋y×(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故选B.3．(中点弦)若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x＋2y－3＝0C．2x－y－1＝0D．x－2y＋1＝0答案：C解析：圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，又因为点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦AB的中点，圆心与点P确定的直线的斜率为eq\f(1－0,1－3)＝－eq\f(1,2)，所以弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.4．(圆的切线)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－eq\f(\r(3),4)B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2)D．y＝－eq\f(1,4)答案：B解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).故选B.5．(点到直线的距离公式)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．2答案：A解析：由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|1×a＋4－1|,\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq\f(4,3).故选A.6．(最值问题)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3B.eq\f(\r(21),2)C．2eq\r(2)D．2答案：D解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径r＝1.由圆的性质，知S四边形PACB＝2S△PBC.∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1，则eq\f(1,2)rdmin＝1(d是切线长)，∴dmin＝2.∵圆心到直线的距离就是PC的最小值，∴|PC|min＝eq\f(5,\r(1＋k2))＝eq\r(d\o\al(2,min)＋1)＝eq\r(5).∵k>0，∴k＝2.故选D.7．[2024·郑州一中高三测试](直线与圆相切)已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是()A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．±eq\r(2)D．－2答案：B解析：依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有eq\f(|a|,\r(2))＝1，|a|＝eq\r(2).又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－eq\r(2)，故选B.8．(对称问题)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5)B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5)D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)答案：D解析：点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线肯定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得圆心到直线的距离d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4)，故选D.9．[2024·河南郑州模拟](相交弦长)在圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．4eq\r(6)B．8eq\r(6)C．12eq\r(6)D．16eq\r(6)答案：B解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝16，∴圆心M(1,4)，半径r＝4，如图所示，明显E在圆的内部，设过E点的弦长为l，则l＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(16－d2)(d表示弦心距)．由图可知0≤d≤|ME|＝eq\r(10)，∴当d＝0时，lmax＝2×4＝8＝|AC|(此时AC为圆的直径)；当d＝eq\r(10)时，lmin＝2eq\r(16－10)＝2eq\r(6)＝|BD|(此时AC⊥BD)．∴S四边形ABCD＝eq\f(1,2)|AC||BD|＝eq\f(1,2)×8×2eq\r(6)＝8eq\r(6)，故B正确．10．(点的存在性问题)已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满意条件的点C的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：圆心O到已知直线的距离d＝eq\f(|－15|,\r(32＋42))＝3，因此|AB|＝2eq\r(52－32)＝8，设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)，因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．故选C.11．(圆的公切线)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为()A．1B．3C.eq\f(1,9)D.eq\f(4,9)答案：A解析：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则eq\r(a2＋2b2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋4b2,9)))＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(a2,b2)＋\f(4b2,a2)))≥eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(a2,b2)·\f(4b2,a2))))＝1，当且仅当eq\f(a2,b2)＝eq\f(4b2,a2)，即a＝±eq\r(2)b时取等号，故选A.12．(点的存在性问题)已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线l：3x＋2y－4＝0上，若在圆C上总存在两个不同的点A，B，使eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))，则x0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(24,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,13)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(13,24)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(13,12)))答案：A解析：如图，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))，∴OP与AB相互垂直平分，∴圆心到直线AB的距离为eq\f(1,2)eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))<1，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)<4.①又3x0＋2y0－4＝0，∴y0＝2－eq\f(3,2)x0，代入①得xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)x0))2<4，解得0<x0<eq\f(24,13)，∴实数x0的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(24,13))).故选A.13．(弦长公式)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．答案：2eq\r(2)解析：由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).设截得的弦长为l，则由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＋(eq\r(2))2＝22，得l＝2eq\r(2).14．(点的存在性问题)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．答案：[1,5]解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，MA＝eq\f(MB,sin∠BAM)＝eq\f(2,sin30°)＝4.设A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．15．(距离最值问题)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．答案：3eq\r(5)－5解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标得(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝eq\r(4＋22＋2＋12)＝3eq\r(5).所以|PQ|的最小值是3eq\r(5)－5.16．(参数范围问题)设集合A＝(x，y)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤x－22＋y2≤m2，x，y∈R))，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2＋\r(2)))解析：∵A∩B≠∅，∴A≠∅，∴m2≥eq\f(m,2)，∴≥eq\f(1,2)或m≤0.明显B≠∅.要