2023年江苏省常州市成考专升本高等数学二自考模拟考试(含答案带解析)

2023年江苏省常州市成考专升本高等数学

二自考模拟考试（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

2x-lx<0

设函数x=0，WJlim/（x）«

II

1,W+3x>0（）o

A.0B.1C.2D.4

若=J+,则/,《2.1）—.

3函数：y=|x|+l在x=0处［］

A.无定义B.不连续C.连续但是不可导D.可导

4.设z=e",则dz=（）。

A.烧也

B.（皿+必把。

Qxdy+ydx

D«+y短

方曹P+ZrJjr-2=。在［-3,2］内

A.有1个实根B.有2个实根

5.C.至少有I个实根D.无实根

6.

下列各极限中，正确的是

C.lim(l-Fax)

..J?cosx.、

Llim8---1---+--7p--()

7A.oB.lC.|D.-l

8.

设函数z=3",贝嚷等于

A./R3"ln3

C.xy3*9*D.y3"ln3

9.

下列命题肯定正确的是

A.若存在Jimg(”)不存在，则lim［/(z)+g(%)］必不存在

—为LX。L*o

B.若与lim与n)都不存在，则lim［f(z)+g(力)［必不存在

C.若lim/(z)存在，limg(z)不存在，则・gG)］必不存在

LX。A*。

D.若不存在，则lim=|/(z)|必不存在

LX。厂为

10.

设/(x)=--x3—彳，则J是/(1)在1—2,2］上的

V=1

A.极小值点，但不是最小值点

B.极小值点，也是最小值点

C.极大值点，但不是最大值点

D.极大值点，也是最大值点

过点(1,3)且切线斜率为」的曲线方程是

11.&()O

A.y=2«

Qy-2y/x+1

D"=GI

12.设100件产品中有次品4件，从中任取5件的不可能事件是

()O

A.“5件都是正品”B."5件都是次品”C.“至少有1件是次品”D.“至少有1

件是正品”

13微分方程y"+U=siu的特解形式可设为V

若/(x)的一个原函数为arctanx,则下列等式正确的是

A.jarctanxdx=/(x)+CB.jf(x)dx=arctanx+C

C.jarctanxdr=f(x)D.J/(x)dx=arctaiu

■JLI•

根据/（X）的导函数尸（幻的图像，判定下列结论正确的是

A.在内，f（x）是单调增加的

B.在（7,0）内，/（幻是单调增加的

C.〃-1）为极大值

D./（一1）为极小值

sin/dz=

20.[]A.2xcosx4

B.x2cosx4

C.2xsinx4

D.x2sinx4

2|设函数z=cos("y2),则蠹^等于()

A.-2ycos(x+y2)

B.-2ysin(x+y2)

C.2ycos(x+y2)

D.2ysin(x+y2)

定积分Jr2Inxdj=

22.Ji

设「厂’+3,则〈等于《

A.—3xB.-3xD.-3x'+3

23.

24.

过曲线尸x+hu上Mo点的切线平行直线y=2x+3,则切点Mo的坐标是

()O

A.(LD

B(e，e)

C(1，e+1)

D(e，e+2)

25.对于函数z=xy,原点(0,0)[]

A.不是函数的驻点B.是驻点不是极值点C.是驻点也是极值点D.无法

判定是否为极值点

/-1

A.0

B2//(x)da

c//⑴山

27善加等于(，

A.xlnx+C

B.-xlnx+C

1In

Cr.i

D.i

已知/■<*)的一个BR加数为/e*.WjJ/<2x>dx

A.4xVyB."B+cc.-cD.

284

AA4d”+C

B."C

2

r.xc^C

—e2,+C

D.4

ff|lnx|dx

29.•

J:Inxdx+J*Inxdr

A.A.«

J:Inxdx-J*Inxdx

-|iInxdx+J*Inxdx

C.c

-|；Inxdx-J*Inxdr

D.«

30设/(x)在［-1,1］上连续，则J：/(-x)dx=

A.A.O

B"：…

C-J.：/(X)dr

D，：…

二、填空题（30题）

31.

函数y=3/+6x+5的单调减少区间是

32.

%则2--------•

33.若r（Xo）=l,f（Xo）=O,则“上”1°一工

34.设y=in(x+cosx),则y

35.

曲线＞=x3-3x2-5x+6的凸区间为

36.

下列关于二次枳分交换积分次序错误的是

/(1,y)dy=jdyj1/(x,>)clr4-J,dy(/(x.j)cLr

B.Jd/jJ(z,y)dy=(力。(3出

fir一V/

cJM,./(了")力=Jdyj^/(x,>)dx

D.L&f.焉八"~)dy=，户/禽人力山业

37____

xx^O

设/G)=•则

38.x<0

39

40.吧sin(x-l)

41.

若y(x)=sin(x24-x+l),Uyf(x)=

®/(x)=x2»g(x)=cosr.WJ—/(g(x))=

42.也

函数x・2(x-#-，-V的骏育坐卜为

1,J♦

44函数/（1）=二在了=0处的二阶导数/'（0）=_____-

计算lim（，....—）.

4s—式-1x-1

设/（,）=随（言）.

>V/♦

47.

设z=arcsin（xy）,贝ij=_____________.

oxdy

48.

若JfOdx=a*+log/+C,则/（x）=.

49JJD（"加•

50.

若/《力的一个原函数是e-Q•则］=

A.e。B.-2c&*CC.-ye-x,D.一"+C

51.

设函数Z=e2-y，则全微分dz=.

52.

/J)=J-)-3«r)其中仅上)可导,则)

A・°B.6人)C./CT。)

53若「｛?&=：,则a=-------

54.

lim吗不)=

Ix-1

A.1B.OC.21)1

sec25xdj'=__________,

55.」

56.

已知f(x)WO,且f(x)在［a,b］上连续，则由曲线y=/(x)x=a，4b及x轴围成的平面

图形的面积A=.

57.曲线y=x3+3x2+l的拐点坐标为

32x

58.设y=x+e,贝ljy⑸=o

已知Jf(x)dx=(1+x2)arctanx+C.则f\x)=

59.

f(x+Ax)/CQ_

设/(x)=ln4»则lim

60.z△x

三、计算题（30题）

求极限limI一r'ln/1+力

61.

什算『2djdy.其中。是由J和力-1所图成的区域.

62.4丫

求极限［看九

63.

直线y==1及y输围成的区域.

64.1

求曲线厂'=°'在点（1,一2・1）处的切线方程和法平面方程.

65.13x+2y+l-。

，业dy,其中D为及三+9=9所圉成的环形区域.

67.

计算定枳分［inQ+Ddi.

68.

69.

设x三），其中八…）为可微函数，求会”.

70.,加ay

s

7i求微分方程JV.V*=1—X的通机

^>0.

求「/《)

设人工）1&.

1Vo.

72.

73.求函数z=x2+y2+2y的极值.

74.若已知V”"百siaZx•求尸’

75.设,=，（*）由方程Z=■（*＞）所确定,求务L

76.求极限忏等

已知曲线》,鼠求：

＜1＞曲线在点（1・1）处的切城方程与法线方程,

77.（2＞曲线上鼻一点处的切岐与直找）=4•一1平行？

r。求微分方程学+*=J的通解.

78.&]

79.求极限而:广，与.

S设八/）是连续函数,且「"⑺山=1,求/⑺.

80.J。

“》0・

1+4/求定根分广JG）dr

设曲数/（X）

x<0.

81.I+1

设/⑺

82.

83求徵分方程2/+5/-5/-lr-1的通解.

84.求解微分方程ilnxdy+（y—lnj）（Lr」50满足条件y（e）1的特解.

求处孱

」

85.-1

求不定积分［71__L.

86.J7x(4-x)

计算二次积分「dyj：竿dz

87.

88问:百业

a(t-sin/)«.

已知参数方程.求S色工

必

89.tf()-cos/),di

90.求函数/（*）=--[•的单调区间、极值、凹凸区间和拐点•

四、综合题（10题）

求由曲线丁nI+4与y=5•尸所围成的平面图形的面积.

91.

求函数y=少6荷一一的单调区间和极值.

92.

求函数y=（/-DU—2"出的单调区间及极值.

93.

证明：方程〔生山=古在（0.1）内恰有一实根.

94.

证明:方程/一•一]-J—也=0在区间（0.1＞内有唯一的实根・

95.1+，'

96历明，当i＞i时.屈＞方；；—•

97.

设函数F（X）=与三/W（彳＞0）.其中/（外住区间1.+8）上连续./（工）在

Q,+8）内存在且大于零•求证:FQ）在（a.+8）内单调递增.

98.求由曲线炉=（1一1）'和直线*=2所围成的图形绕」轴旋转所得旋转体体积.

99.

设/《外在区间［a.瓦）上可导，且/Q）=｛加=0・证明：至少存在一点WWQ,6）.使得

几）+3£/«）=0.

100求函数/（,，二•'在定义域内的最大值和最小色.

五、解答题（10题）

101.（本题满分8分）

已知函数/（X）连续n1—COSJ,求J/（N）d；T的值，

设函数¥=杂,求y'.

102.1+"

103.①求曲线y二ex及直线x=l,x=0,y=0所围成的图形D的面积S：

②求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx.

计算「一｝—dr.

104,"g

105.

在曲线＞上某点A处作一切线，使之与曲线以及4轴

所围图形的面积为工，试求：

12

（1）切点A的坐标.

（2）过切点A的切线方程.

（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积匕.

106.求函数y-x3-3x2-l的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间和拐点。

107.

甲乙两人独立地向同一目标射击.甲乙两人击中目标的概率分别为0.8与0,两人各射击

一次，求至少有一人击中目标的概率.

108.求由曲线y=2—x2,）,=2x—1及xNO围成的平面图形的面积S以

及此平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.

计算卜『

109.（4-/

110.求曲线/=2x+L1二-2一|所因成的X域的面机％及此平

面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体枳匕.

六、单选题(0题)

设函数/(x)=i-4，在尸2处连续,则k

111.la尸2

・1

A.A,

1

C,^2

1

D.272

参考答案

l.D

因为x=lw(0,+8)，所以lim/(x)=lim(x?+3)=4,故选D.

2.1/2

3.C

“。个埃4曲内*41，・人0孑以一,-.启凭及・'-。时~-LLm(|J|*H-I.M/(J)<

t-。约《早上彳从京畲身~£哀北什"。./‘<0)-|«n

<0)-l«n/《。+仪一/ffl•l：m1-Lm¥■】♦•十

a—•dra—・a

4.B

设i4=xj,则z二e"

/_dz加

4二瓦^=e&y=ye^

,dz

=e-x=jcev

所以dz=^-dx+^dy=dx+^e^dy=ex>(ydx+xdy).选B.

dxdy

5.C

6.D

7.A

8.D

9.A

10.B

11.C

12.B

不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件。由于只有4件次

品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以选B。

13y.=Acosz+为待定常数)y'=Acosz+/轴皿(人•8为待定常数)

［解析］根据不定积分的定义，可知B正确.

14.B

15.f(2x)

16.C

17.C

答应选c.

分析本题主要考查复合函数导数的概念及巳知导函数求原函数的方法.本题的关昧是正

•理解/'(In*)的含义.

由于f'(In幻是表示黯洋，而不是里喈之,于是有r(lnx)=繁昌=1♦跖

设”=11>%,则*=6・，则

=(1+/)d%即幽％)=(1f)dx,

去分得«工)二名+式",所以选(：.

由于这种试题的概念性较强，也具有一定的代表性，希柒考生能熟练掌握,特留类似题目，以

更考生练习.

(1)设r(C08«)=COI2x,ffl/(x)=.(答案:"!■-—%+C)

(2)设=*1口*+3,则/(*)■•(答案：-竽+全+c)

18.B

因为f(x)=l/x,f*(x)=-l/x2o

19.D

［解析］x轴上方的/Q)>0,x轴下方的/Q)vO,即当xv-1时，/q)vO：当

Q-1时fq)>0,根据极值的第一充分条件，可知/(-I)为极小值，所以选D.

2

Wfsin^d/=sinCz2)2•(/)'=2xsinx4.

20.C7,

21.A

2-+12d+1

22.

23.A

解li指导本题考左的知识点是取本初等函数的求导计利用期函数求导公式，并注意南

数的导数为零•即可得到正嘴的选项.

24.A

本题将四个选项代入等式，只有选项A的坐标使等式成立.

事实上y'=］+,=2得人=1,所以y二l

25.B

因z=◎,于烂=君=工；椁=°，吟=0,得驻点(0,0);又*=。，鲁•==

dxdydidydi'oxdyOy

0,从而B2AC=1>0,故点(0,0)不是极值K

26.C本题考查的知识点是定积分的换元积分法.

«jy(M)<k.

如果审题不认真，很容易选A或B.由十函数?(x)的奇偶性不知道，所

以选A或B都是错误的.

27.C本题考查的知识点是不定积分的概念和换元积分的方法.

对F不定枳分的根分公式如学生应愎更深一度次地理解为箕结构式是

JsOdO—inOC.式中的方块-b既可以是史收*,也可以是♦的哂数式.例如/b回小回二

•in,[cmInxdFnxc»inInx♦C.只要符介上述tfi梅衣的函数或变外♦均石上面的根分

公K成。.H；他的枳分公式也守完今类似的靖构式如果将上述式「口内的函数的总分写出束,

则幺：卜<>•(『)d(/)=2卜rg(x')dx及/COM(In«)d(Inx)«/：co»(In*)dx,如果在试总中将

等式右边部分拿出来，这就需要用凑微分法(或换元积分法)将被积表达

式写成能利用公式的不定积分的结构式，从而得到所需的结果或答

案.考生如能这样深层次理解基本积分公式，则无论是解题能力还是计

算能力与水平都会有一个较大层次的提高.

基于上面对积分结构式的理解，本题亦为：

巳M//1口乂。・0°*。・画，)d,等于()・

由『J,)&=j/(liii)d(hn.UNCJuhiI.KUJY/(lni)dizhi•

hii-e*•.即国*CJL・.

■

28.B

根据原函数的定义可得J/(x)dx=x2e^C.

所以J/(2x)dx=1J/(2x)d(2x)=1(2x)2c2,+C=2x2c21+C.

29.C

-Inx

由|In+e

Inx

IvxWe

所以Jf|lnr|dx=-Jtlnxdx+£Inxdx.

30.D

因为/(x)在11,1]I.连续，其奇偶性不知道,揖除A与B,乂

1

J：/(-x)dr"彳-J*/(r)(-dr)=J(/(x)dx.故选D.

31.(-oo,-l)

函数的定义域为(f,+8).

令yz=6x+6=6(x+1)=0

解得驻点：x=-l

在区间(一，-1)内，/<0,y单调减少；在区间(-1.+8)内，/>0,y单调增加.

32.1/2

33.-1

...r1\f(”。-十)一/(工。)/(一+。一八工。).]

£

—J="-lim--------------j-----------=-lim---------------2------=—f(x0)=-1

h

34.

【答案】应填上史」.

“CMX

用复合函数求导公式计算.

>,=[ln(x+cosx)]*-----------(1-sinx)

«+cosX

35.(-oo,1)

36.D

37.0

38.3-e,

39-枭…1)十「

40.应填2.

【解析】利用重要极限1求解.

lim.1而.丁■(*+0=2

4](2^+l)cos<x2+x+l)(2N+1)COS(/+R+1)

42.

43.

(1.-i)

442In'2(In2-1)21n'2(ln2-l)

2

解明272

45.x-\x-1xfx+12

46.

l+2/百

一二y

以7I-X2>2

；；d2z=a>>i

23f=

47V(1-x/)IrW解析：力次—为"2y22y2)3

axliuz+-r—0rhUlHr—

48.x\naxlna

49.2/3x3/2+2x,/2—In|x|+C

[<Zr-1)(1+1)&-卜*+-14-xi-J,1)<Lr■-yjl-«r+2—-InIx|+C.

50.B

51.

2e2fd

52.B

53.利用反常积分计算，冉确定a值。

•・।••

因为|---zdx=arctanx

J・1+4•

W.IT

=——arctana=-7",

24

即arctana=；*，则有o=1.

54.D

55.1/5tan5x+C

Isec5xd.r=gsec25xd5xMT5j-|Aec-ucZu=-^-towu+C=-J-/Zz〃5x+C・

J°0J55

J：|/(x)|心

［解析］注意到f(x)WO,则有A=R/(x)|dx

56.

57.(-l,3)

58,-25e2x

-2x

zarctanx+----r

1+x2

I解析I因为/(x)=2xarclanx+1

_2x

所以/V)=2arctanx+----,

59.1+x

60.

0

［解析］因为lim二是函数/3）在x点的导数解析式，而函数

〃x)=ln4是常数，常数的导数为0,故填0.

61.

该即属于“8—8”型，我们用倒代换工=7让其产生分母，然后通分计算

之.

lim/一/叫1+:)=lim「^—p-ln(14-r)'

=limj(i+n

…r

1---1—

=lim---.全'

,—o2t

—11ni--------~■■«-

；-02z(l4-/)2,

该愿属于“8-8”型，我们用倒代换工=-J-让其产生分母，然后通分计算

之.

lim/一/叫1+:)=lim「^—p-ln(14-r)'

=limj(i+n

…r

1---1—

=lim---.全'

,—o2t

=lim---------=—

；-02z(l4-/)2,

汗Ldy1号心心dx

=J-.y1)d>

=Jcosydy-Jyco»ydy

=sin_y!|>d(si”)

=sinl-sinl-cosy|=1-cosl.

62.

(号Ldy=J：亨切d/

=J—y)d>

=Jcos.ydv-[yco»ydy

—Jyd(siny)

——dz

x—sin-r

COJW

=lim=lim

r-°。+3>r(1-co«-r)

/1T37.y/1T37.全

=lim-2=2.

63.6+3-t•0

64.

枳分区域D如图所示,由于被枳函数八..WNeT,因为此该二重枳分适用

于化为“先对工枳分,后对>积分”的二次积分进行计算.

，o&ya1.

乂区域D可表示为:！。4/&山

于是・I]c,dxdy=|dyjc」(tr

-*1：

1

2

T(1-c，h

枳分区域D如图所示,由于被枳函数八.・山工//・因为此该二重枳分适用

于化为“先对x枳分•后对>积分”的二次积分进行计算.

，0&y&1.

乂区域D可表示为:，。4z&y，

于是・『C，irdy=Idjfc*'dr

65.

曲线方程可化为

在(I.2,1)点处曲线切线的方向向愦为

I=1)・/(1),/⑴)-H•—

因此,曲线在点(1・一2・1)处的切线方程为

工-1=2L±1.

1_22'

7

法平面方程为

(工一1》—3(_y+2)+2(£—1)=0,

即

21—3y+4N12=0.

曲线方程可化为

x=X.

3x4-1

＜厂--

MHJ4・

在(1.-2.1)点处曲线切线的方向向量为

s»{/(D.ykl),/(1))-J1•--1-•2

因此,曲线在点(1•一2・1)处的切线方程为

/..]y.一+・2・zI-I..

1_22

7

法平面方程为

3

(jr—1)--y(>r+2)4-2(s—1)=0.

21—3y+4之-12=0.

67.

画出区域D如图所示.由积分区域的对称性及被积

函数关于I轴和y轴都是偶函数.故有

其中Di为区域D在第一象限的部分•即

Di=Il&L+y'&g,，)。.3》。).

利用极坐标变换可表示为&r<3•故

||j^didy—「则(rcos^)1•rdr

画出区域D如图所示.由枳分区域的对称性及被枳

函数关于，轴和y轴都是偶函数.故有

r'd/dy=»4jjJ/d/d.y・

f叫

其中D,为区域D在第一象限的部分♦即

D；=((.r,y)I

利用极坐标变换•他可&示为。《&&，43,故

(rcosff)2•rdr

=|^cos:0d^|*r*dr

-201L±_普?此

=20•+；sin20]|

因此，(i"d"dy=dgr'clrdy■20x.

原式=Jln(x-+-l)dx=x•ln(x4-1)|-Jj•—-^—^cLr

=In2—[(1----二)<Lr

Jo1

=In2—(x-ln(1+1))

e

68.=In2-(1-In2)=2ln2-1.

原式=JJn(X+1)dj-=x•ln(j-41〉L-Jx•彳[

=ln2-f(1----1)dx

Jo1+1

=In2—(x-ln(14-x))|

=In2-(1-In2)=2ln2-1.

,j------1-I__9写“T>

用(m)=如(】+母)

69.

,1—13，一2,“7,

叩（币）=如（1+中）

at生・也十生,效

a7dudxdvdx

+/.（r）v

门・/・'4）+/广子）・

生•也+生.史

dudydvdy

/.卜”，引.「+/.厂，4）.（一力

广，・/・《小，・手）一,仪小，子）.

70.

生=生.更+生,大

dudxdvdJ

尸，+

=/.rq)./.'，q)/

二1・/・(厂子)+，｛「子)・

w=生•围+生・冬

dydudydvdy

/W)・L，+/W).「热

L，亨一,/•(「•».

所给方程是可分离变最方程，先将方程分离变量•得

2

yd.y=1-----x---c.tr,

JT

两边积分

可得

4-y=-4-r24-In|x|+InICL

乙乙

即=In|Cr|<

£t

从而可得/+，=ln(Cr)2

为原方程的通解,其中C为不等于零的任意常数.

所给方程是可分离变收方程•先将方程分离变量•得

2

yd,y=-1---X---c.tr.

两边积分

可得

4->:-4-x2+In|x|+In|C|»

即y(x2+V)=In'O|•

从而可得+y2=ln(C>y

为原方程的通解•其中C为不等于零的任意常数.

晚式=【：忌如+£母7公

=ln(14-eJ)I+，..i^r

IiJ«14-4I'

=In2ln(14-r')4-P.—yd.r

—In2—ln(1-Fc1)4-5arctanZi

Zo

•=•ln2—ln(1+c:)+-y.

72.o

隙式=f,备&+「

―In2-ln(14-c1)+|'—ycl.r

Jo】+4x*

=ln2—ln(14-e1)4-^arctan2x|T

-In2-ln(i+cT)+F

o

73.

1^=2x=^=0.

由人得驻点(0,-13

更=2产230,

dy

因为4=学=2.8=作=0/=2=2,

dxI《，・i)dxay•<e,-i)dy(0.-1)

所以8：-4C=-4<0,且4=2>0,从而可知£(0「l)=-l为极小值.

由y""=e'sin2j•,得

y[N'=(?’5访2”+2e'cos2z=e'(sin2«r+2cos2z),

y*'H=eJ(sin2x+2cos2x)+eJ(2COS2JT—4sin2x)

74.=e'(4cos2.r—3sin2j).

l>

由y*=e'sin21r■得

V=c1sin2x-I-2eJcos2x=er(sin2x-F2COS2JT),

rJ

=e(sjn2j-4-2cos2x)+e(2cos2x—4sin2x)

=ey(4cos2x-3sin2x).

75.解法1将等式两边对x求导，得

ex-e>'y,=cos(xy)(y+xy,),

所以

、，二dy二⑺

dxe'+xcosCxy)

为「求学:，应先将x=0代入原方程解出相应的y值.然后代人学即可.

OXIt»0nr

由于*=0代入原方程得

c-e*=sin(0•y)=0,UPy=0,

则.。里i««0

v«0

解法2等式两边求做分.科

d(c'-ex)=d[sin(xy)].

即e'd%-c'dy=cos(xy)d(Ny)=co»(xy)(ydx+xdy),

d/e*-ycos(xy)

解得

d*e'+xco8(xy),

所以¥14|..o=i.

■•0

.nr

lim—=lim—=lim胆・iim—=1X1=1.

76.jajrJ>*■••COMJT

51nx

lim—=lim型=lim^•lim—=IX1=1.

.7jrj*i->oxCOSJT

77.

（1）根据导致的几何意义•曲线y=在点《1.1）处切线的斜率为

”L「2.

曲线y=>在点（1・1）处法线的斜率为

所以切线方程为y-1=2（x-l）.

即

2J*-y-1=0.

则法线方程为y-l=-1（J--1）.

即

•r+2y-3-Oi

（2）设所求的点为曲线y-/在点（人.”）处切线的斜率为

yI=2x|=2x（>.

I#w#0I

切线与直线y=4,-1平行时•它们的斜率相等•即2］。=.1•所以4=2.此时y,=4•故在

点MJ2.4）处的切线与直线y=4.r-1平行.

（1）根据导数的几何意义•曲线y=/在点《1.1）处切线的斜率为

y=2.

Z-I

曲线y=/在点（1・1）处法线的斜率为

所以切线方程为y-I=2（x-l）,

即

2x->-1=0.

则法线方程为=一/（工一1）.

即

x4-2>-3«*0）

（2）设所求的点为,曲线y・/在点《〃,”）处切线的斜率为

yI=21j=2x0.

|一“I■一■■

切线与直线y=0-1平行时•它们的斜率相等•即2A=,1•所以A=2.此时M=4.故在

点MN2.4）处的切线与直线y=41—1平行.

由题意•知。（］）=},QJ>=J・

工该微分方程的通解丫—+C

78.

由明意•知PG)==c.

；・efw,=e4

/.该微分方程的通解N+('.

!呷lnx(j--1)

+Irw

lim1f

#-ijr1tTln-r

!呷I+In/+1

79.

1)

+Inr

lim<7?：

1txlnj,

切I4-lnx^I-7,

等式两边对7求导得

/(x1-1)-3/=1.即/(/-1)

令z=2.得/(7)

80.

等式两边对7求导得

f(j*-1)・3*:=1•即/《『-1)

令1=2,得/(7)=-L.

81.

if7/(x)dj：=f/(x)dx+，/(N)d«r

JTJTJO

・0CT1

=ln(1+eT)+■.-dx

-iJo1+4x2

-In2-ln(l+e*)+p^Lpd(2x)

=ln2—ln(1-4-e1)+《arctanZr|

2Io

=In2-ln(l4-e')4-

o

「/(x)(Lr=/(z)dz+J/(x)dj：

07

x—L_

=ln(14-e)+Jo1+4x2dj

ln2-!n(14-eLj,d(2x)

ln2—ln(1-4-e1)4--arctan2x

ln2-ln(l4-e')-i-f.

o

令I1=".则&=€1〃・当・£[0,2]时€[―1・1].于是

原式一]/(x-1)Ar

=Jf(u)du

—J0/(u)du4-J/(u)du

=r旺7dx+f业

J-i14-eJo14-jr

82.=ln(14-e).

令iI=".则clr「d”.当《r€[0.2]时.“£[1.1].于是

原式=//(I-DL

=Jf(.u)