不定积分∫dx.√2+sin(19x+18)+cos(19x+18)的计算方法

不定积分eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(19x+18)+cos(19x+18)))的两种计算方法主要内容：本题通过三角函数恒等变形和三角函数换元法两种方法，介绍计算定积分eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(19x+18)+cos(19x+18)))的方法和步骤,并可以观察出，同一个不定积分结果的表达式可以不唯一。※.三角函数恒等变形法I=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(19x+18)+cos(19x+18)))，根据公式sin(x+eq\f(π,4))=sinxcoseq\f(π,4)+cosxsineq\f(π,4)变形为：I=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+\r(2)[sin(19x+18)sin\f(π,4)+cos(19x+18)cos\f(π,4)]))=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+\r(2)sin(19x+18+\f(π,4)))),以下提取公因数系数，=eq\f(1,\r(2))eq\i(,,\f(dx,1+sin(19x+18+\f(π,4))))，以下根据sin2x+cosx2=1变形为，=eq\f(\r(2),2)eq\i(,,\f(dx,[sin\f(1,2)(19x+18+\f(π,4))+cos\f(1,2)(19x+18+\f(π,4))]2)),=eq\f(\r(2),2)eq\i(,,\f(dx,{\r(2)sin[\f(1,2)(19x+18+\f(π,4))+\f(π,4)]}2)),=eq\f(\r(2),4)eq\i(,,\f(dx,sin2[\f(1,2)(19x+18)+\f(3π,8)])),以下根据公式cscx=eq\f(1,sinx)变形为，=eq\f(\r(2),4)eq\i(,,csc2[\f(1,2)(19x+18)+\f(3π,8)])dx，以下对微分微元dx进行变形，=eq\f(\r(2),38)eq\i(,,csc2[\f(1,2)(19x+18)+\f(3π,8)])d[\f(1,2)(19x+18)+\f(3π,8)]，以下有积分公式∫csc2xdx=-cotx+C变形得，I=-eq\f(\r(2),38)cot[eq\f(1,2)(19x+18)+eq\f(3π,8)]+C。※.三角函数换元法设taneq\f(19x+18,2)=t，则x=eq\f(2arctant-18,19)，同时由三角万能公式有：sin(19x+18)=eq\f(2t,1+t2)，cos(19x+18)=eq\f(1-t2,1+t2),代入所求不定积分，则：I=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(19x+18)+cos(19x+18)))，=eq\i(,,\f(deq\f(2arctant-18,19),\r(2)+eq\f(2t,1+t2)+eq\f(1-t2,1+t2))),=eq\f(2,19)eq\i(,,\f(dt,\r(2)(1+t2)+2t+1-t2)),以下对分母进行关于t的二次函数变形为，I=eq\f(2,19)eq\i(,,\f(dt,(\r(2)-1)(t+\r(2)+1)2))=eq\f(2(\r(2)+1),19)eq\i(,,\f(dt,(t+\r(2)+1)2))，以下根据不定积分公式eq\i(,,\f(1,x2)dx)=-eq\f(1,x)+C计算得，I=-eq\f(2(\r(2)+1),19)*eq\f(1,t+eq\r(2)+1)+C,代入t=taneq\f(19x+18,2)，即