工科数学分析 下册（第2版）课件：重积分

重积分

第一节二重积分的概念与性质工科数学分析二重积分的概念与性质问题的提出二重积分的概念二重积分的存在性及几何意义二重积分的性质小结重积分引言在初等数学中，我们只会求规则体的体积，如正方体、长方体、球体、圆柱体、锥体等。清壽山石印章徐三庚刻

QingDynasty,AChineseHand-CarvedShoushanStoneSeal

Dimension:2.11"x0.84";56.61而对于一般曲顶柱体、曲底柱体的体积却没有办法，而规则体的体积公式大多数是由几何方法得来的，那么有没有一种方法可以计算一般曲顶、曲底柱体的体积，从而给出计算体积的一个统一方法？二重积分的学习就是为了解决这个问题。从物理学的角度出发，我们常常需要对待解问题做一些简化，如可以把一个薄板简化为一个二维区域，但如果薄板各处密度不同，如何计算薄板的质量？有时需要把一处浅水区域简化成平面区域，但由于水里矿物质等物质分布不均导致海水密度不同，已知密度函数如何求海水质量？所有这些问题在我们学习完二重积分就能解决了。正如我们在学习定积分概念时所强调的那样，积分实质上是对连续函数求和，是离散函数求和的极限。回忆一下我们使用定积分求曲边梯形面积的步骤，首先对积分区域划分，然后在每个小区间上任取一函数值与区间长度相乘，近似这一小段的面积，接着对这些小面积求和，最后使划分逐渐加密，对上一步得到的和式取极限，极限值就是定积分值。总而言之四步骤：分割、近似、求和、取极限。接下来我们所学的各类积分的定义都遵从这四步骤。不同之处在于积分区域不同，导致积分元不同，所以各类积分不同之处在于积分元，能区别开积分元，就能区别出各类积分，这一点需要大家在接下来的学习中慢慢体会。柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积方法：分割、近似、求和、取极限步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为１、２、三、二重积分的存在性及几何意义二重积分存在的充分条件二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）四、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质8性质8’解解解解二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）五、小结二重积分的存在性作业P109-110

2，3，5第二节二重积分的计算工科数学分析直角坐标系中二重积分的计算

极坐标系中二重积分的计算

二重积分的换元法利用定义（和式的极限）计算困难二重积分转化成两个定积分---累次积分二重积分的计算法（1）利用直角坐标系计算二重积分小结如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得ab

累次积分如果积分区域为：［Y－型］

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解积分区域如图解积分区域如图解原式解解解解曲面围成的立体如图.双曲抛物面(马鞍面)O二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］二重积分的计算法（2）利用极坐标系计算二重积分小结一、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图极坐标系下区域的面积极坐标系中面积元素区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图解解解

解解解双纽线Lemniscate●二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结二重积分的计算法（3）二重积分的换元法小结

一、二重积分的换元法例1解例2解

二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．作业P116-118

1(2)，(3)，(5);

2；

4;

7；

9(1);

10(1)

第三节三重积分工科数学分析三重积分三重积分的定义利用直角坐标系计算三重积分小结一、三重积分的定义由于探讨引力、多体力学等问题，法国数学家拉格朗日、拉普拉斯和勒让德等人开始了关于三重积分的研究。三重积分的定义可以形象地用求一个土豆的质量来理解，土豆的形状很不规则，即使其密度是常数，它的体积也很难求得。如果把土豆切成很小的、规则的土豆丁，而每个土豆丁的质量可以求出来，然后把所有的土豆丁相加，就得到了整个土豆的质量的一个近似值，显然土豆切得越细，则这样求出的土豆的质量就越接近于土豆质量的真实值，数学上这可以通过取极限的过程达到。这里，土豆丁的体积就是三重积分的微元，求和的极限就是三重积分，密度函数就是被积函数。三重积分的定义三重积分的存在性与二重积分的存在性是一样的；性质也相类似。1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分---投影法二、利用直角坐标系计算三重积分如图，得注意解故

：解如图，解2.计算三重积分的截面法原式解原式解如图,三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分小结一、利用柱面坐标计算三重积分规定：柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．如图，柱面坐标系中的体积元素为柱坐标系中三重积分的计算实质上是一个方向采用直角坐标系，另外两个方向采用极坐标系。在投影法中，投影区域上的二重积分采用极坐标系计算；在截面法中，截面上的二重积分采用极坐标计算。投影区域或截面为圆域或扇形最好。解知交线为解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图，

原式本题也可使用截面法求解。二、利用球面坐标计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系为如图，规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．如图，球面坐标系中的体积元素为解2

采用柱面坐标(投影法)本题也可使用截面法求解。解补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解

是关于的奇函数,同理×φ

不容易求出采用何种坐标系计算三重积分？在计算三重积分的时候，第一步骤就是选择合适的坐标系，注意到不同坐标系下积分计算的难易程度是有区别的。常见的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。从换元的角度来说，后两个坐标系分别对应的是柱坐标变换和球坐标变换。积分变换做换元首要考虑的就是积分区域的性状，当然还要照顾被积函数的形式。1、直角坐标系：如果积分区域是长方体、四面体或一般的任意形体时，采用直角坐标系进行积分计算；2、柱面坐标系：如果积分区域是柱形体域、锥形体域或抛物体域时，采用柱面坐标系进行积分计算；3、球面坐标系：如果积分区域是球形体域或球形体域的一部分时，采用球面坐标系进行积分计算。球面坐标系下的积分计算有一定的适用范围，即积分区域要和球体相关，其次积分区域与z

轴正向的夹角，也就是φ

要容易求出才行。补充：两个有趣的立体维维安尼体牟合方盖1、维维安尼（Viviani）曲线与维维安尼体,p131维维安尼（Viviani）曲线与维维安尼体2、牟合方盖:两个直交圆柱面所围成的立体，我国古代

数学家刘徽把这个立体称为牟合方盖(Steinmetzsolid).(p.139,习题8−4，题目1（8）的几何体−两个直交圆柱面x2

+y2

=R2和x2+z2=R2所围成的立体)牟合方盖（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标三、小结作业P127-129

1(1),(2);2(2),(4);

3(1),(2);4(2);

5(1);

6(1).

第四节重积分的应用工科数学分析重积分的应用问题的提出曲面的面积平面薄片的质心（形心）平面薄片的转动惯量引力小结一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为二、曲面的面积卫星１．设曲面的方程为：如图，?曲面S的面积元素曲面面积公式为：周口店猿人洞“鱼鳞”保护棚３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得分析：Viviani曲线含在圆柱面内的部分球体解面积xyzoa2a解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为三、平面薄片的质心当薄片是均匀的，质心称为形心.由元素法由元素法旋轮线（一拱）旋轮线（Cycloid）也叫摆线。一个半径为a

的圆在x轴上滚动时，圆上一个点的轨迹就是旋轮线。brachistochrone解旋轮线（一拱）四、平面薄片的转动惯量转动惯量是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度。一质量为m的质点，到直线或点的距离为d,则I=m

d

2

为质点对直线或点的转动惯量.

质点系对于原点的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量薄片对于原点的转动惯量

对于

轴的转动惯量

对于

轴的转动惯量对于

轴的转动惯量对于原点的转动惯量解解五、引力物体对质点的引力为引力常数平面薄片对质点的引力为引力常数薄片对

轴上单位质点的引力解由积分区域的对称性知所求引力为几何应用：曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结作业P139-141

1(1),(2),(4);

2;3;

4(1);8(1),(2);

9(2);

13;16

第五节重积分的换元法及

含参变量的积分工科数学分析重积分的换元法及含参变量的积分重积分的换元法含参变量的积分的连续性含参变量的积分的微分莱布尼茨公式小结0、重积分的换元法

注意：基本要求:变换后定限简便，求积容易．(A).二重积分换元法（1）的面积元素

（2）的面积元素（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素(B).三重积分换元法柱面坐标球面坐标（3）广义球面坐标的体积元素一、含参变量积分的连续性设函数是在矩形是变量在上的一个一元连续函数,上的连续函数.在上任意确定的一个值,于是从而积分存在,这个积分的值依赖于取定的值.当的值改变时,一般来说这个积分的值也跟着改变.这个积分确定一个定义在上的的函数,

我们把它记作即这里变量在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量.uniformlycontinuous一致连续的函数必连续，连续的未必一致连续。图像区别:

闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的；在开区间连续的未必一致连续，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况，连续的却有可能出现，比如在（0，1）上连续的函数y=1/x。一致连续，就是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变也很小，从而要求函数的导数值不能太大——当然只要有界即可。函数f(x)在[a,b]上一致连续的充分必要条件是在[a,b]上连续。函数f(x)在[a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)上连续

且f(b-)存在。定理1

如果函数在矩形确定的函数在上也连续.

上连续，那么由积分证设和是上的两点，则就有于是由（1）式有由于在闭区域上连续，从而一致连续.因此对于任意取定的,存在,使得对于内的任意两点及,只要它们之间的距离小于,即因为点与的距离等于,所以当

时,就有所以在上连续.定理得证注====即当f(x,y)在区域R上连续时，求极限与求积分可以交换次序.注

既然函数在上连续,那么它在上的积分存在,这个积分可以写为右端积分式函数先对后对的二次积分.定理2

如果函数在矩形上连续,则公式（2）也可写成即定理刻画了积分次序交换性.

我们在实际中还会遇到对于参变量的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量的函数.这样,积分也是参变量的函数.下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质.证设和是上的两点，则则由积分（3）确定的函数在上也连续.定理3

如果函数在矩形上连续,又函数与在区间上连续，并且当时，上式右端最后一个积分的积分限不变，根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.其中是在矩形上的最大值.根据与在上连续的假定，由以上两式可见，当时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当时，所以函数在上连续.定理得证又下面考虑由积分(*)确定的函数的微分问题.二、含参变量的函数的微分矩形上连续,那么由积分(*)确定的函数在上可微分,并且定理4

如果函数及其偏导数都在即求导与积分可交换次序.证因为为了求，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及的连续性，我们有

小于某个正数.因此其中，可小于任意给定的正数，只要这就是说综上所述有令取上式的极限，即得公式（5）.##三、莱布尼茨公式则由积分(3)确定的函数在上可微，并且定理5

如果函数及其偏导数都在矩形上连续，又函数与在区间上可微，并且证由(4)式有当时，上式右端的第一个积分的积分限

不变，则由定理4对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得其中在与之间.当时,类似地可证,当时,因此，令，取(8)式的极限便得公式(7).##

公式(7)称为莱布尼茨公式.于是应用莱布尼茨公式，得例1设求解例2

求解

这里函数在矩形上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有例3

计算定积分

考虑含参变量的积分所确定的函数显然，根据公式(5)得解把被积函数分解为部分分式,得到于是上式在上对积分,得到即从而1、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用.作业P148-149

1;

2;

4(1);

5(1);

6(1).第八章重积分

习题课工科数学分析重积分习题课主要内容典型例题定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分