《上、下半连续函数的性质与应用研究》5000字

上、下半连续函数的性质与应用研究目录TOC\o"1-2"\h\z\u摘要. 摘要：本文在写出连续函数的定义、性质与应用的基础上，对上、下半连续函数的定义、性质及其应用进行了进一步的总结，而后对比了连续函数与上、下半连续函数，写出了它们之间的区别与联系，最后研究了在拓扑空间上上、下半连续函数，并总结出了拓扑空间上上、下半连续函数的定义、性质及其应用.关键词：连续函数；上、下半连续函数；拓扑空间引言在进行数学学习的过程中，函数可以说是一个特别重要的知识点，它所涉及的范围非常广泛，函数的连续性在分析学中亦有着十分重要的理论意义和应用价值，而有一类函数虽然不连续，但是有着与连续函数相似的一些性质，便是上、下半连续函数．上、下半连续函数是连续函数的一个推广，研究上、下半连续函数，是上、下半连续函数在数学分析当中应用的奠基石．半连续函数理论可以帮助我们解决最优化问题、变分不等式问题、相补问题以及对策论问题等．至今已经有特别多的学者对上、下半连续函数进行了深刻的研究，包括理论意义、应用基础，得到了许多漂亮和有用的结果．文献[1-2]回顾了连续函数；文献[3-6][14]给出了上、下半连续函数相关的定义性质及证明过程；文献[7-13]研究了拓扑空间上的上、下半连续函数．本文在写出连续函数的定义、性质与应用的基础上，参照上面所述的文献，对上、下半连续函数的定义、性质及其应用进行了进一步的总结．而后对比了连续函数与上、下半连续函数，写出了它们之间的区别与联系，最后研究了在拓扑空间上上、下半连续函数，并总结出了拓扑空间上上、下半连续函数的定义、性质及其应用．1.连续函数1.1连续函数的定义上、下半连续函数是连续函数的一个推广，因此我们先简要叙述连续函数.给出点连续和区间上连续函数定义.定义1设函数在有定义．若则称在点连续．注称为的一个连续点，如果，则在处左连续．如果，则称在处右连续．例如，函数在点连续，．又如，函数，在点连续，因为．定义2为上的连续函数是指函数在区间上的每一点都连续．例如，函数，和都为上的连续函数．函数在每一点都连续，在左连续，在右连续，故在连续．1.2连续函数的性质本论文重点阐述上、下半连续函数，故而在这里仅给出连续函数与上、下半连续函数相关的几个性质.性质1[1]（局部有界性）若函数在点连续，则在某上有界．性质2[1]（局部保号性）若函数在点连续，且（或），则对（或），，对有（或）．性质3[1]（四则运算）若函数和在点连续，则，，（）在点也连续．1.3连续函数的应用例1判断函数的连续区间．解当时，，当时，，当时，，当时，无定义，故．由得在处不连续，在处无定义，从而也不连续，故在上连续.2.上、下半连续函数函数的种类多且杂，上、下半连续函数虽然并不连续,但它所具有的一些性质与连续函数相似，可以说是连续函数的一个推广．2.1上、下半连续函数的定义定义3若函数在区间上有定义，，若，，对（），有（），则在点上、下半连续．定义4若函数在区间上每一点处均上、下半连续，则称在上、下半连续，或称为上的上、下半连续函数．2.2上、下半连续函数的性质性质4如果函数在区间上、下半连续，则在上有上、下界．证用反证法．假设函数在区间上半连续，但无上界.即对任意自然数，总存在.则数列，即为有界数列，所以必存在收敛子列，设，因为（），故而.因为在区间上半连续，所以在上半连续.由定义，对给定的，时，对：（），恒有.又，故对上述总存在自然数，对，总有，从而，对，有，而，即，为常数，充分大时必有.矛盾,所以在上有上界．同理可证在区间下半连续的情形．性质5如果函数在区间上、下半连续，则存在，使得（）．证因为函数在区间上半连续，由性质1知在上有上界，从而有上确界．用反证法设，假设在上取不到上确界,即有，令，．对，在上半连续，所以有．由定义3,在上半连续，于是在上半连续.由性质4,在上有界，即对，有，则，．即不是数集的上确界.矛盾,所以必，使.亦可证明为下半连续的情况.性质6若函数在上、下半连续，则必在中某一小区间上有界．证下面只证为上半连续．由性质4，在有上界,故只需证明在中某一小区间有下界即可．用反证法．假设在函数在的任何小区间都无下界，则必有，取，使，因上半连续，由定义，必存在小区间，（），使，．取，使，则必存在小区间，（），使，．如此，得一闭区间列，（）．满足：．的长度为且对，有．由闭区间套定理，唯一一点，有．于是，与在上半连续矛盾，故结论成立．2.3上、下半连续函数的应用例2证明如果函数在闭区间上连续则在该区间上一定有界．证在上连续，则在上半连续，在上有上界，即常数，使得对恒有，在下半连续，在有下界，即常数，使得，有，即对满足，所以在上有界.例3设分别在上、下半连续，且，则对，（与无关），使对于，只要恒有.证由定义，对及，，当，，恒有，．由，从而，记，（），则闭区间被覆盖，根据有限覆盖定理，可被有限个子区间覆盖，设，对，当时，必同属于某一个，事实上，设，则，即，根据的性质可知．3.上、下半连续函数与连续函数的区别与联系3.1上、下半连续函数与连续函数的区别定理1两连续函数相加依旧为连续函数，但两个半连续函数相加结果不一定是半连续函数．反例：设;显然处处上半连续，而处处下半连续，但在处不是半连续.定理2设为上对来说的单调不增的上半连续函数列且有下界，则存在且在上半连续．证通过已知得存在．下面证明在上半连续．（反证法），设不是上半连续，则及收敛于的数列使.故当充分大时有.又由于（已知）,所以,即.这与上半连续矛盾，故在上半连续.同理可证下半连续．而这一性质连续函数并没有．例如:在上连续、单调有界，的极限函数为显然在上不是连续函数.3.2上、下半连续函数与连续函数的联系定理3函数在处连续充要条件是函数在处同时上、下半连续．证明若对，，当时，有，则称函数在点处上半连续.若对，，当时，有，则称函数在点处下半连续.取，，，当时，有．得证．定理4若函数在上、下半连续，则在上有上、下界证（反证法）设函数在上半连续但没有上界.由假设可知，，使.因为有界数列故必有收敛的子数列设，因,故，从而在点上半连续.由定义，对给定的必，当，有,又由于故对上述的，，当时，有，从而当时有,即.此情况不存在，故上半连续函数在有上界.同理可证函数在下半连续则有下界.定理5若函数在上半连续，则使.证（反证法）设（由上面结论可得）设在上取不到上确界，即对，有令，因为在上半连续，则对，，当时有，即，．由此可得为下半连续函数，故上半连续，因而在上有界，不妨设为的一个上界，则有，故．与矛盾，则结论成立．同理可证：下半连续函数在上必能取到下确界．4.拓扑空间上的上、下半连续函数4.1拓扑空间上、下半连续函数的概念设是定义在一个拓扑空间上的有限数值函数，说在是连续的，等价于下列每个条件成立：（=1\*romani）对于所有，存在的一个邻域，使得.（=2\*romanii）对于所有，存在的一个邻域，使得.当仅保留其中的一个条件时，就得到了半连续的概念．4.2拓扑空间上、下半连续函数的性质定理6（四则运算性质）设，是实值函数且定义在拓扑空间上，则（=1\*romani）若，都上（下）半连续，则上（下）半连续．（=2\*romanii）若上（下）半连续，则为下（上）半连续．（=3\*romaniii）若及且都上半连续（或及，且都下半连续），则它们的积为上半连续．（=4\*romaniv）若上（下）半连续，为下（上）半连续，则下（上）半连续．（=5\*romanv）若上（下）半连续，则为下（上）半连续．证（=1\*romani）和（=2\*romanii）可以由上、下半连续的定义直接得到；（=3\*romaniii）如果及且上半连续，那么，，取，的一个邻域，使得当时有，，则有，故在上上半连续.（=4\*romaniv）当上半连续，为下半连续时，有为上半连续，由（=3\*romaniii）知为上半连续，得为下半连续．（=5\*romanv）若上半连续，由定理6中的（=3\*romaniii）知，有，是开集，对于任何，当时，有，为开集，当时，有，也为开集，因此是下半连续函数．定理7（有界性）设是拓扑空间，如果为上（下）半连续函数，且是紧集，那么在上必有上（下）界，并且达到上（下）确界，即若在紧集上上（下）半连续，则（=1\*romani）在上有上（下）界，即，使，（或，使，）．（=2\*romanii）在上达到上（下）确界，即，使得（或，使得）．证设是一个拓扑空间，而，说在点的一个点是下半连续的，是指对，的一个邻域，使．当这个条件对于的所有点成立时，就说在内是下半连续的．定理8（保半连续性）设函数列在拓扑空间上上半连续，，且，则在上也上半连续．证，因为，所以，，当时有．将固定，因为在上上半连续，所以，的一个邻域，使得当时，有．又因为单调递减趋于，故有，从而当时有．于是在上上半连续．类似可证下半连续函数．定理9（一致连续函数的逐点逼近）设度量空间，是中的距离，是有上界的上半连续函数的充分必要条件为存在上一个递减的一致连续函数序列，使得．证应用定理3可知充分性，下面证明必要性．定义函数，，则都是上的有限函数并且由定义知，函数序列是单调递减的，由上确界的定义知，，使．（1）由函数的定义知．（2）当取时，有．（3）通过（1）和（3）且令，有，再互换x、y有，故有．因此是上一致连续函数．又由（2）式知，当时，否则当时，有，所以当时有，，则．与假设相矛盾．再由（1）式，其中第二个不等式是因为在点处上半连续，故有，所以有．再令，得，因此．4.3拓扑空间上、下半连续函数的应用例4在点处连续的充要条件是在处既上半连续，又下半连续.证明必要性．若不是的最小元，任取；若是的最小元，取，．由于在点处连续，故对，，使得，从而．即在处上半连续．同理可得在处下半连续．充分性因为在处既上半连续，又下半连续，故不是的最大元或最小元．，由邻域的定义知存在中开集，使得，不妨设为含的开区间，因为稠序，则，．取，则且，即．故在点处连续．例5设为拓扑空间，．证明若上（下）半连续并且，则在下（上）半连续．证明对于，．因在点是上半连续的，则使得，恒有（其中）．因为，进而，有．又具有任意性，故在下半连续．同理可证若下半连续并且，则在上半连续．例6设为拓扑空间，证明（=1\*romani）若均上（下）半连续并且，则在上是上半连续的．（=2\*romanii）若上半连续并且，下半连续并且，则在上为下半连续．（=3\*romaniii）若下半连续并且，上半连续并且，则在上为上半连续．证明（=1\*romani）因为，不失一般性设并且．对于，因均在上半连续，则，使得，有，并且，其中．从而．故在上是上半连续的．（=2\*romanii）由已知，有并且，其中，则．从而在是下半连续的．（=3\*romaniii），因为且，则．对于，由的下半连续性与的上半连续性,，使得，有并且，其中，则，有．即在是上半连续的．结束语本文由相关定义引理出发，从简述连续函数的定义、性质与应用开始，联系总结出上、下半连续函数的定义、相关性质，并给出了其中一些性质的应用．而后讨论了在拓扑空间上上、下半连续函数的相关定义、性质及其应用．当然，本文只是对上、下半连续函数的简单总结，而对于上、下半连续函数更深入的方面，还有待我们大家去挖掘钻研．参考文献[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2001：213-216.[2]钱吉林，郭金海，熊骏.数学分析解题精粹[M].西安：西安工业大学出版社，2019.3.[3]张为锋．半连续函数及其性质[J]．太原城市职业技术学院学报，2007(03):123．[4]张永锋.度量空间中的半连续函数[J].咸阳师范学院学报,2015,30(06):28-32．[5]全卫贞．半连续函数的应用[J]．科技经济市场,2007(12):152-153．[6]梁丽芝,冯翠莲.关于连续函数及半连续函数的性质及其若干问题[J].北京市经济管理干部学院学报,1999(02):25-28．[7]肖盖著，史树中，王耀东译．拓扑学教程[M]．北京：高等教育出版社，2009.7．[8]卢天秀，朱培勇．拓扑空间上半连续函数的等价条件[J]．西南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