2025版高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质学案含解析新人教A版必修3

PAGEPAGE123.1.3概率的基本性质学习目标1.了解互斥事务概率的加法公式.2.理解事务的关系与运算.3.会用对立事务的特征求概率．学问点一事务的关系与运算1．事务的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事务A与事务B，假如事务A发生，则事务B肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系A⊆B且B⊆AA＝B2.关于事务的运算定义表示法图示并事务若某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)交事务若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)学问点二互斥与对立互斥事务和对立事务的定义互斥事务定义若A∩B为不行能事务，则称事务A与事务B互斥符号A∩B＝∅图示留意事项例如，在掷骰子试验中，记C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，则C1与C2互斥对立事务定义若A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务符号A∩B＝∅，且A∪B＝Ω图示留意事项A的对立事务一般记作eq\x\to(A)学问点三概率的基本性质概率的几个基本性质1．概率的取值范围为[0,1]．2．必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0.3．概率的加法公式：假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特殊地，若A与B为对立事务，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.1．若两个事务是互斥事务，则这两个事务是对立事务．(×)2．若两个事务是对立事务，则这两个事务也是互斥事务．(√)3．若两个事务是对立事务，则这两个事务概率之和为1.(√)题型一事务关系的推断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．推断上面给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．解(1)是互斥事务，不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事务．(2)既是互斥事务，又是对立事务．理由是：从40张扑克牌中，随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事务不行能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事务，又是对立事务．(3)不是互斥事务，当然不行能是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事务可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事务，当然不行能是对立事务．反思感悟(1)要推断两个事务是不是互斥事务，只须要分别找出各个事务包含的全部结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事务的并事务是否为必定事务，从而可推断是否为对立事务．(2)考虑事务的结果间是否有交事务．可考虑利用Venn图分析，对于较难推断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事务中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球(2)一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是()A．至多有一次中靶 B．只有一次中靶C．两次都中靶 D．两次都不中靶答案(1)D(2)D解析(1)依据互斥事务与对立事务的定义推断．A中两事务不是互斥事务，事务“三个球都是红球”是两事务的交事务；B中两事务是对立事务；C中两事务能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事务；D中两事务是互斥而不对立事务．(2)A，B，C中的事务均能与事务“至少有一次中靶”同时发生，故A，B，C错误，选D.题型二事务的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义很多事务．例如，事务C1＝{出现1点}，事务C2＝{出现2点}，事务C3＝{出现3点}，事务C4＝{出现4点}，事务C5＝{出现5点}，事务C6＝{出现6点}，事务D1＝{出现的点数不大于1}，事务D2＝{出现的点数大于3}，事务D3＝{出现的点数小于5}，事务E＝{出现的点数小于7}，事务F＝{出现的点数为偶数}，事务G＝{出现的点数为奇数}，请依据上述定义的事务，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事务；(2)利用和事务的定义，推断上述哪些事务是和事务．解(1)因为事务C1，C2，C3，C4发生，则事务D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事务E包含事务C1，C2，C3，C4，C5，C6；事务D2包含事务C4，C5，C6；事务F包含事务C2，C4，C6；事务G包含事务C1，C3，C5.且易知事务C1与事务D1相等，即C1＝D1.(2)因为事务D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思感悟事务间运算方法(1)利用事务间运算的定义．列出同一条件下的试验全部可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事务间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验全部可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事务B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事务C＝{3个球中至少有一个红球}，事务D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事务D与事务A，B是什么样的运算关系？(2)事务C与事务A的交事务是什么事务？解(1)对于事务D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事务C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.题型三用互斥、对立事务求概率例3某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．解设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事务分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事务的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.反思感悟互斥事务、对立事务概率的求解方法(1)互斥事务的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，经常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率是eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事务，所以“甲获胜”的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事务的并事务，所以P(甲不输)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事务，所以P(甲不输)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故甲不输的概率为eq\f(2,3).用方程的思想求概率典例袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12).(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率．解(1)从袋中任取一球，记事务“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＋PC＝\f(5,12)，,PC＋PD＝\f(5,12)，,PB＋PC＋PD＝\f(2,3)，))解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4)，故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).(2)事务“得到红球或绿球”可表示为事务A∪D，由(1)及互斥事务的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12)，故得到的不是红球或绿球的概率P＝1－P(A∪D)＝1－eq\f(7,12)＝eq\f(5,12).[素养评析](1)求概率可以考虑用对立事务、互斥事务的概率加法公式求解．假如有多个待求量，可以列方程组求解．(2)理解运算对策，选择运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养数学运算的详细体现．1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事务是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”答案C解析A中两个事务能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事务也可同时发生，故不互斥；D中两个事务是对立的，故选C.2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7答案C解析∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事务，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.3．在一次随机试验中，彼此互斥的事务A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事务，也是对立事务B．B＋C与D是互斥事务，也是对立事务C．A＋C与B＋D是互斥事务，但不是对立事务D．A与B＋C＋D是互斥事务，也是对立事务答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必定事务，故其事务的关系如图所示．由图可知，任何一个事务与其余3个事务的和事务必定是对立事务，任何两个事务的和事务与其余两个事务的和事务也是对立事务，故只有D中的说法正确．4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参与奥运会乒乓球女子单打竞赛，甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案eq\f(19,28)解析由于事务“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事务“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事务不行能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事务概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).5．由阅历得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0.10.150.30.310.10.04则至多2个人排队的概率为________．答案0.55解析P＝0.1＋0.15＋0.3＝0.55.1．互斥事务和对立事务都是针对两个事务而言的，它们两者之间既有区分又有联系．在一次试验中，两个互斥事务有可能都不发生，也可能有一个发生，但不行能两个都发生；而两个对立事务必有一个发生，但是不行能两个事务同时发生，也不行能两个事务都不发生．所以两个事务互斥，它们未必对立；反之两个事务对立，它们肯定互斥．2．互斥事务概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在详细的情景中推断各事务间是否互斥，只有互斥事务才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求困难事务的概率通常有两种方法(1)将所求事务转化成彼此互斥事务的并事务；(2)先求其对立事务的概率，再求所求事务的概率.一、选择题1．袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事务是()A．至少有一个白球与都是白球B．至少有一个白球与至少有一个红球C．恰有一个红球与一个白球一个黑球D．至少有一个红球与红、黑球各一个答案C解析干脆依据互斥事务和对立事务的概念推断即可．2．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是()A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥答案D解析由题意知事务A，B，C两两不行能同时发生，因此两两互斥．3．若A，B是互斥事务，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A．0.3B．0.7C．0.1D．1答案A解析∵A，B是互斥事务，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.4．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参与竞赛，则下列各对事务中是互斥事务的有()①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生．A．①③④B．②③④C．②③D．①④答案D解析①是互斥事务．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不行能同时发生；②不是互斥事务；③不是互斥事务；④是互斥事务．至少有一名男生与全是女生不行能同时发生．5．某学校高一年级派甲、乙两个班参与学校组织的拔河竞赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，则该年级在拔河竞赛中取得冠军的概率为()A.eq\f(7,12)B.eq\f(1,12)C.eq\f(5,12)D.eq\f(1,3)答案A解析“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事务，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事务的和事务，其概率为两个互斥事务的概率之和，即为eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12).6．假如事务A，B互斥，记eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分别为事务A，B的对立事务，那么()A．A∪B是必定事务B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必定事务C.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)肯定互斥D.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)不行能互斥答案B解析用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必定事务，故选B.7．下列四个命题：①对立事务肯定是互斥事务；②若A，B为两个事务，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事务A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事务A，B满意P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事务．其中错误命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析对立事务首先是互斥事务，故①正确；只有互斥事务的和事务的概率才适合概率的加法公式，故②不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事务的和事务，但和事务不肯定是必定事务，故③不正确；对立事务和的概率公式逆用不正确，比如在掷骰子试验中，设事务A＝{正面为奇数}，B＝{正面为1,2,3}，则P(A)＋P(B)＝1.而A，B不互斥，故④不正确．8．4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参与公益活动，则周六、周日都有同学参与公益活动的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8)D.eq\f(7,8)答案D解析由题意知4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参与公益活动，其中4位同学都选周六的概率为eq\f(1,16)，4位同学都选周日的概率为eq\f(1,16)，故周六、周日都有同学参与公益活动的概率P＝1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(14,16)＝eq\f(7,8)，故选D.9．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为eq\f(1,6).事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事务A＋eq\x\to(B)(eq\x\to(B)表示事务B的对立事务)发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析由题意知，eq\x\to(B)表示“大于或等于5的点数出现”，事务A与事务eq\x\to(B)互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,6)＋eq\f(2,6)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).二、填空题10．袋中有形态、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案eq\f(5,6)解析由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为eq\f(1,6)，故所求概率P＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).11．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，登记编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，登记编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是________．答案eq\f(5,6)解析设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意知，摸球试验共有36种不同的结果，满意a＝b的基本领件共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).12．在一次老师联欢会上，到会的女老师比男老师多12人，从这些老师中随机选择一人表演节目，若选中男老师的概率为eq\f(9,20)，则参与联欢会的老师共有________人．答案120解析可设参与联欢会的老师共有n人，由于从这些老师中选一人，“选中男老师”和“选中女老师”两个事务是对立事务，所以选中女老师的概率为1－eq\f(9,20)＝eq\f(11,20).再由题意，知eq\f(11,20)n－eq\f(9,20)n＝12，解得n＝120.三、解答题13．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成果在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．解记事务“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事务Ak之间彼此互斥．(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事务A，那么当A9，A10之一发生时，事务A发生，由互斥事务概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射