天津市宁河区芦台第一中学2025届高三下学期第一次模拟训练（3月）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天津市宁河区芦台第一中学2025届高三下学期第一次模拟训练（3月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U=x1<x<A．4,5 B．2,3,42．已知m, l是两条不同的直线，α， β是两个不同的平面．则A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条 D．既不充分也不必要条件3．下列四个函数中，既是偶函数又在区间0,π2A．y=xsinC．y=tanx4．已知a=log0.53,A．a<c<C．a<b<5．下列说法不正确的是（

）A．对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为y=0.3x−m，若样本点的中心为B．若随机变量X服从正态分布N3, σC．若线性相关系数r越接近1，则两个变量的线性相关程度越高D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为146．已知数列an的前n项和为Sn，若a1=2A．16 B．32 C．54 D．1627．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，A．24π B．28π C．32π8．已知ω>0，φ<π2，若x=π6和x=7πA．y=B．y=gxC．y=gxD．y=g9．已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0，b>A．3 B．2 C．5 D．6二、填空题10．已知i是虚数单位，复数7+i311．在2x3+1x12．已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，PF13．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为；（2）设事件M为“甲所取的2个球为同色球”，N事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件M发生的条件下，求事件N发生的概率PNM14．已知向量AB,AC,AD满足AC=AB+AD,AB=15．已知函数fx=log2x,0三、解答题16．在△ABC中，角A, (1)求角B的大小；(2)设a=（i）求边c的值；（ii）求cos217．如图，已知在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，A(1)证明：PA//(2)求点F到平面BD(3)求平面BDE与平面18．已知椭圆E:x2a2(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，19．已知数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且(1)求数列an和b(2)cn=4bn(3)x表示不超过x的最大整数，T4n表示数列−1n2⋅b20．已知函数f((1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为(2)当a=1时，f(x1)=(3)若0<a≤1，对任意x1，x2∈答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《天津市宁河区芦台第一中学2025届高三下学期第一次模拟训练（3月）数学试题》参考答案题号123456789答案DBAADCDBD1．D【分析】由并集和补集的定义求解即可.【详解】因为U=故∁UA=4,5，所以∁故选：D.2．B【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，结合必要不充分的定义即可判断.【详解】若l⊥α, m//反之，若α⊥β，不一定有如图，α⊥β，l⊥

所以α⊥β是故选：B.3．A【分析】逐个函数分析，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论．【详解】对于A，由y=f(所以y=又f′(x)=所以y=xsin对于B，y=f(所以y=对于C，y=f(所以y=对于D，y=f(所以y=cosx2为偶函数，又所以y=cosx故选：A.4．A【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，判断各数的范围，即可判断出答案.【详解】由题意得y=log0.5x在(0y=2x故a=故a<故选：A5．D【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用百分位数的定义即可判断选项D.【详解】对A：样本点的中心为x,y，所以x=因为x,y满足线性回归方程，所以2.8=对B：若随机变量X服从正态分布X3,σ则PX>4对C：若线性相关系数r越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；对于D，因为10×60%=6故选：D.6．C【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得a4【详解】当n≥2,n∈N∗当n=1时，所以数列an则a4故选：C.7．D【分析】利用外接球定义求得三棱锥F−【详解】因为△ADE设AE的中点为G，过G作平面ABCD的垂线与O为三棱锥F−ADE三棱锥F−AD故选：D8．B【分析】利用余弦型函数的基本性质求出ω、φ的值，可得出函数fx的解析式，利用三角函数图象平移变换可得出函数g【详解】由题意可知，函数fx的最小正周期为T=2所以，fx由题意可得fπ6=cosπ所以，φ+π6=0将y=fx的图象向左平移π则gx所以，函数y=gx是偶函数，该函数的图象关于点−且函数y=gx故选：B.9．D【分析】利用已知条件求出A点坐标，求出点F1−c,0到渐近线y=−bax的距离d，结合S△【详解】由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为y=ba过点F2且与渐近线y=b联立y=ba点F1−c,0因为S△BOF1=3所以ba·a2c+a故选：D10．−【解析】利用复数的除法运算求解.【详解】因为7+所以其虚部为-1，故答案为：−11．60【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于4，计算展开式中含有x4【详解】由题意得：Tr+1只需18−72所以T5故答案为：60.12．4【分析】首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以PF的中点为圆心，P【详解】抛物线y2=4x的焦点由题意得PF=6

则xp代入横坐标可得yp=±所以PF的中点坐标为(3,PF所以以PF的中点为圆心，PF长度为直径的圆的方程为(x圆心到x轴距离为5，所以与x截得的弦长为29故答案为：4.13．37；2【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；（2）利用条件概公式求解即可.【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”所以P(（2）P(MN故答案为：37；214．7325【分析】由AC=AB+AD得ABCD是平行四边形，把DE,BF用AB【详解】因为AC=A由题意DEDE即−154=DEDEABAP又E,P,D共线，所以P在线段DE上，因此0x2令f(x)0≤x<23时，f′(x)所以f(所以x2+y故答案为：732；5

15．1【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可求解.【详解】因为当x∈0,2时，当x∈2,+∞

所以fx=log所以若fa+1则a+1≥故答案为：116．(1)π(2)（i）3；（ii）−【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，再利用和差公式及三角形内角和定理即可求解.（2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）利用正弦定理可求出sinC，由余弦定理可得cos【详解】（1）△ABC由正弦定理得2sin所以2sin即2sin所以2sin因为A∈0,π，又B∈0,（2）（i）由余弦定理b2=a2+即c−3c（ii）由正弦定理得sinC所以cos2因为a=2,所以cosC所以sin2所以cos(17．(1)证明见解析(2)2(3)23【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；（3）利用空间向量计算面面夹角即可.【详解】（1）以点D为坐标原点，DA,D建立如图所示的空间直角坐标系，则A2DB=2,2,则m⋅DB=0m⋅DE又PA=2,0,−2，可得PA（2）因为PA//平面BDE，所以点F到平面B易知AB=0,2,0（3）易知BC=−2,则n⋅BC=0n⋅设平面BDE与平面PB则cos故平面BDE与平面PB18．(1)x(2)k【分析】（1）依题意可得b=12（2）首先表示出直线方程，设Bx1,y1、Cx2,y2，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线【详解】（1）解：依题意可得b=1，2c所以a=2，所以椭圆方程为（2）解：依题意过点P−2,1的直线为y−1=由y−1=kx所以Δ=16k所以x1+x直线AB的方程为y−1=y直线AC的方程为y−1=y所以M====2所以x1即x即−即8整理得8−k19．(1)an=(2)S(3)35【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式；（2）设An=c2+c4（3）求出T4n=4n【详解】（1）设等比数列an的公比为q>0，等差数列b因为a1则2q4=8q所以an=2（2）因为cn=4设An4A两式相减得−=8所以An当n为奇数时，cn设B==1S2（3）由题意可知：T4其中b4所以T4集合n λ≤则Dn所以当n=1时，D2>D计算可得D1=32，D2=2因为集合有4个元素，3532【点睛】结论点睛：常见的裂项相消法求和类型：分式型：1nn+k=指数型：2n2n根式型：1n对数型：logman+120．(1)a(2)证明见解析；(3)(−∞,0]【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列出相应方程，求得a,（2）a=1时求导数，判断f(x)的单调性，不妨设0<x1<1<x2，则要证明x1+x2（3）利用导数判断函数单调性，从而将f(x1)−f(x2)【详解】（1）∵f∵曲线y=f(x)所以f′(1)=1−a（2）当a=1时，f(x当0<x<1时，f′(x)<0，f(由于f(x1)=f则要证明x1+x2>2当x>1时，f(x由于f(x1令g(则g(当x∈(0,1)时，g即g(x)=即x∈(0,1)时，f(x故原命题成立，即x1（3）因为0<a≤1，所以f′(x)=x不妨设x1<x2∈1,2]，则f(所