2025年四年级数学奥数专题训练～高斯求和

2025年四年级数学奥数专题训练～高斯求和[同步巩固演练]1、数列4，7，10，…，295，298中，298是第几项？2、数列7，15，23，…，799中，799是第几项？3、从自然数4开始数，每后面一个数比前一个数大1，数到100时，一共数了多少个数？4、数列的公差是5，第50项是700，首项是多少？5、求数列1，3，5，7，…的第20项。6、求数列1，4，7，…的第21项。7、求数列3，10，17…的第15项。8、在数列7，10，13，16，…中，907是第几个数？第907个数是多少？9、求出下列各题的值：（1）从1到100的所有单数的和；（2）从1到100的所有双数的和；（3）从51到121的所有单数的和。10、求出0至100（包括0与100）内所有4的倍数所组成的和。11、自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列：1，4，7，10，13，…，求出这个数列前100项之和。12、自然数中所有三位数之和是多少？13、一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都上升4厘米，它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落脚点，那么它的第100个落脚点正好在树梢，这棵树高多少厘米？14、如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往一每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层是120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？第14题15、有12个同学聚会，如果见面时每个同学都和其余的人握手1次，那么一共握手多少次？16、按一定规律排列的算式：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…，那么第100个算式是什么？17、小刚练习口算，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和是1300，在验算时发现，他重复加了一个数，问这个数是多少？18、把1988表示成28个连续偶数之和，其中最大的偶数是多少？19、编号为1~9的九个盒中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一个盒子多同样粒米，如果1号盒子内放了11粒米，问后面的盒子比前一号的盒子多放几粒米？[能力拓展平台]1、七个人的年龄各不相同，和是99岁，其中最大的年龄是18岁，那么最小年龄至少是多少岁？2、在两位数10，11，…，98，99中，将每个被2除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变，问：经过这样改变之所，所有数的和是多少？3、有一列数1，1993，1992，1，1991，1990，1…，从第三个数起，每个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一数起到1993个数，这1993个数之和。4、有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？5、影剧院共有25排座位，第一排有20个座位，以后每排比前一排多2个座位，最后一排有75个座位，问：影剧院共有多少个座位？6、力学小学的礼堂里共有30排座位，从第一排开始，以后每排比前一排多2个座位，最后一排有75个座位，问：这个礼堂共有多少个座位？7、7条直线最多能把一个长方形分成多块？8、如图是一个五边形点阵，中心是一个点为第一层，第二层每边为两个点（五边形顶点处的一个点为相邻两边所公用），第三层每边3个点，第四层每边4个点……其余类推，如果这个五边形点阵共有30层，那么点阵中一共有多少个点？第8题9、两条直线相交可得1个交点，在同一平面上6条直线最多可得多少个交点？10、如图所示为切大饼的示意图，切一刀只有一种切法，切两刀有两种切法，切三刀有4种切法……问切十一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以下不能切在同一点上，如图所示）？第10题11、有11个连续单数的和是1911，这11个数中最小的是多少？12、下表中30个格子中各有1个数，除最上面一行和最左边一列的格子内已写上数外，其它格子的数等于同一行最左边一个数与同一列最上面一个数之和（例如a=16+19=35），求方格内30个数的和。101113151719121416a1813、盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出，变成3只球后放回盒子里；第2次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里；如此继续下去，最后第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，这时盒子里共有多少只球？14、在1~100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？15、已知一串数：1，2，2，2，3，3，3，3，3，…，试问：（1）10是这串数中的第几到几个数？（2）这串数中的第80个数是几？（3）这串数中前80个数的和是多少？16、下面方阵中所有数的和是多少。1900190119021903…19491901190219031904…19501902190319041905…19511903190419051906…1952：：：：：1948194919501951…19971949195019511952…199817、把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：①197排在第几行的第几个数？②第10行的第9个数是多少？１３５７91113151719212325272931333537394143454749……18、将自然数如下排列，12671516…358…49……11……在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？[全讲综合训练]1、求0至100内能够被5整除的数的和。2、50把锁钥搞乱了，为了使每锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？3、5个连续整数的和为225，求这5个数的第一个数为多少？4、小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看的页数相同，第25天看了97页刚好看完，问：这本书共有多少页？5、已知数列：2，5，3，3，7，2，5，3，3，7，2，5，3，3，7，…这个数列的第30项是哪个数字？到第25项止，这些数的和是多少？6、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？7、求一切除以4余1的两位数的和是多少？8、学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拨赛？9、时钟每个整点敲该钟点数，每半点敲一下，一昼夜共敲多少下？10、某小组有10个同学，放假时，握手告别，每两人都握一次，问共握了多少次手？11、体育课上，同学们玩丢石子的游戏，从A点出发，先走1米放1个石子，再走5米放3个石子，接着走9米放5个石子，再接着走13米放7个石子，…，照此规律，最后到B点时需要放15个石子，问从A到B共有多少米？12、体育课上，教师让全班45个同学站成一行，小王站在最后，老师让第一个人报1，从第二个人开始，每后一个人都比前一个报的数要多3，小王应报几？13、求自然数中所有三位数的和。14、从1开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列：1，4，7，10，13，16，…，求前100个数的和。15、求从1开始的连续100个单数的和。16、求数列2，4，6，8，10，…，200的和。17、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？18、一堆钢管，最下面一层放137根，每往上一层，钢管就少放一根，最上面一层放一根，这堆钢管多少根？19、梯子最高的一级宽31厘米，最低一级宽110厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，中间一级宽多少厘米？20、在4与40之间插入哪8个数以后，能使这10个数成为等差数列？21、三个数成等差数列，它们的和是21，积是91，这三个数是多少？22、已知等差数列第1项是15，第6项是35，求公差。23、有5个数组成等差数列，数列中第三个数是5，求这五个数的和。24、有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。25、王师傅3月1日开始用新机器织布，第一天织10米，以后每天都比前一天多织2米，则3月31日那天织了几米？3月份一共织了多少米？26、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？27、100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？28、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？29、在1~2000以内的所有自然数中，既不能被8整除，也不能被12整除的数的和是多少？30、小咪家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始挨着排下去。小咪将全胡同的门牌号进行口算求和，结果误把1看成了10，得到的错误结果为100，那么实际上全胡同共有多少家？第八讲高斯求和[同步巩固演练]1、99（290-4）÷3+1=992、100（799-7）÷8+1=1003、97（100-4）÷1+1=974、455700-（50-1）×5=4555、391+（20-1）×2=396、611+（21-1）×3=617、1013+（15-1）×7=1018、301，2725（907-7）÷3+1=301，7+（907-1）×3=27259、（1）2500（2）2550（3）3096（1）（1+99）×50÷2=2500（2）（2+100）×50÷2=2550（3）（51+121）×36÷2=309610、13004+8+12+…+96+98+100=（4+100）×25÷2=130011、14950第100项为1+（100-1）×3=298，和为（1+298）×100÷2=1495012、494550100+101+102+…+999=（100+999）×900÷2=49455013、406厘米10+（100-1）×4=406（厘米）14、7260支层数为（120-1）÷1+1=120（层），（1+120）×120÷2=7260（支）15、66次11+10+…+3+2+1=（1+11）×11÷2=66（次）16、103+596第一个加数为4+（100-1）×1=103，第二个加数为2+（100-1）×6=59617、251+2+3+…+50=1275，所以多加的数为1300-1275=2518、98（1）利用等差数列的知识求解，设最小的偶数为x，由于这28个连续偶数是公差为2的等差数列，所以最大的偶数，即第28个偶数为x+（28-1）×2=x+54根据题意，则有（x+x+54）×28÷2=1988（2x+54）×28÷2=19882×（x+27）×28÷2=1988x+27=1988÷28，即x+27=71得x=71-27，即x=44所以，最大的偶数是44+（28-1）×2=44+54=98（2）利用平均数的知识求解这28个偶数的平均数为1988÷28=71根据连续的偶数个偶数的特点可知，这28个连续偶数按着由小到大的顺序排列，第15个偶数为71+1=72。所以第28个偶数，即最大的偶数为72+（14-1）×2=72+26=9819、7粒设每个盒子比前面一个盒子多放x粒米，则这9个盒子放和米数依次为：11，11+x，11+2x，…，11+8x。根据题意，有：（11+11+8x）×9÷2=351（22+8x）×9÷2=3512×（11+4x）×9÷2=35111+4x=351÷9即11+4x=394x=39-11即4x=28得x=28÷4x=7所以，每个盒子都比前面一个盒子多放7粒米。[能力拓展平台]1、6岁要使最小年龄尽可能小，其余6人的年龄应尺可能大，又最大年龄是18岁，所以余下5个人的年龄应是17，16，15，14，13。因为18+17+16+15+14+13=（18+13）×6÷2=93，所以最小年龄为99-93=6（岁）2、4316.4原来的总和是：10+11+…98+99=（10+99）×90÷2=4905。被7除余2的两位数是16，23，30，…，93，共12个数，这些数按题中要求添加小数点后，都变为原数的，因此使总和减少了：（16+23+…+93）-（1.6+2.3+…+9.3）=(16+93)×12÷2-(1.6+9.3)×12÷2=588.6所以，经过改变之后，所有数的和是：4905-588.6=4316.43、1766241我们按下列步骤分析求解：（1）第1993年数是多少？我们先把这列数分组，从头开始每3个数一组，即（1，1993，1992），（1，1991，1990），（1，1989，1988），…。因为1993÷3=664余1，由此可知，由1992个数可分成644组，还剩下一个数，这个数是第655组的第一个数“1”，所以第1993个数是1。（2）第1992个数是多少？第1992个数是第664组数的第3个数，观察整个数列我们看到，每组中的第3个数从左至右依次是1992，1990，1988，…，是个逐次少2的等差数列，所以第1992个数是1992-（644-1）×2=666。（3）这1993个数的和是多少？这1993个数之和，即数列1，1993，1992；1，1991，1990；1，…，666，1的所有项之和，不难看出，在这个数列中有“1”（644+1）=655个，其余的数依次是1993，1992，1991，1990，…，666。这是（1993-665）=1328个连续的自然数，利用等差数列求和公式很容易求和。这1993个数的和为：1+1993+1992+1+1994+1990+1+…+666+1=1×665+（1993+666）×1328÷2=665+2659×664=665+1765576=17662414、不能因为1+2+3+…+10=55，55比44大所以不能。5、1100个最后一排有20+（25-1）×2=68（个），共有座位（20+68）×25÷2=1100（个）6、1380个第一排座位有75-（30-1）×2=17（个），共有座位（17+75）×30÷2=1380（个）7、29块1条直线分长方形为1+1=2（块）；2条直线分1+1+2=4（块）；3条直线分1+1+2+3=7（块）；7条直线分1+1+2+3+4+5+6+7=29（块）8、2176个第二层有（2-1）×5个点，第三层有（3-1）×5个点，依此类推，30层有（30-1）×5个点，（1+2+3+…+29）×5+1=2176（个）9、15二条直线一个交点，三条直线1+2=3个交点，四条直线1+2+3个交点，依次类推，六条直线有1+2+3+4+5=15（个）交点。10、56种一刀有1种切法，二刀有1+1种切法，三刀有1+1+2种切法，四刀有1+1+2+3种切法，依此类推，11刀有1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56（种）11、1711991÷11=181，181-5×2=17112、745（12+14+16+18）×6+（11+13+15+17+19）×5+10=74513、111只一只球变3只球，实际上多了2只球。因为第几次就拿出几个球，所以第1次多了2×1只球，第2次多了2×2只球，…第10次多了2×10只球，总共有1+2×1+2×2+2×3+…2×10=111（只）14、35411~100内所有数的和为5050；1~100内所有5的倍数的和为：（5+100）×20÷2=1050；1~100内所有9的倍数和为：（9+99）×11÷2=594；1~100内所45的倍数只有45、90，所其和为135。因此，1~100内所有不能被5或9整除的数的和为：5050-1050-594+135=3541。15、（1）82到100（2）9（3）4872500（1）“9”这组数的个数为1+（9-1）×2=17（个），这串数中前9组数的个数为（1+17）×9÷2=81（个），“10”这组数共有19个，所以10是这串数中第82个到81+19=100（个）（2）这串数中、前组数的个数为1+3+5+7+9+11+13+15+17=81（个），所以第80个数是9。（3）前80个数的和为：1+2×3+3×5+4×7+5×9+6×11+7×13+8×15+9×16=516。16、4872500第1行数的和为：（1900+1949）×50÷2=96225，以后每一行比第1行多50，即：96225，96225-50，96225+50×2，…，96225+50×49，求和为：（96225+96225+50×49）×50÷2=4872500。17、（1）第10行第18个数，（2）179（1）因为197是奇数中的第99个数，1+3+5+7+9+11+13+15+17=81，所以第99个数在第10行99-81=18（个）（2）第10行的第9个数是奇数中第90个数，它是179。18、24行40列不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原因顺时针转动450，就成为三角阵，（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n，即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2，用试值的方法，可以求出n=63。又因为1+2+3+…62=1953，即第62行中最大的数为1953，三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）。把三角阵中与左图比较，可以发现：①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列。②三角阵中第一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行。由此，我们可知，1993位于原图的24行40列。[全讲综合训练]1、10505+10+15+…95+100=10502、1225次49+48+47+46+…+3+2+1=1225（次）3、43225÷5=45,45-2=434、1525页（25+97）×25÷2=1525（页）5、7，10030÷5=6，所以第30项的数字是7。（2+5+3+3+7）×25÷5=1006、1254个最后一排有座位36+（22-1）×2=78（个），共有座位（36+78）×22÷2=1254（个）7、1210被4除余1的两位数有13，17，21，…，97共（97-13）÷4+1=22（个），和为（13+97）×22÷2=12108、13人用尝试法，11个人赛1+2+3+4+…+9+10=55（场）12个人赛55+11=66（场），13个人赛66+12=78（场）9、180下把整点敲的加上半点敲的（1+2+3+…+12）×12+1×24=180（下）10、45次9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）11、120米先求是第几次丢了15个石子：（15-1）÷2+1=8，从第7次丢石子到第8次，它们之间的距离是1+（8-1）×4=29（米），所以从A到B共有（1+29）×8÷2=120（米）12、1331+（45-1）×3=13313、494550100+101+102+…+999=（100+999）×900÷2=49455014、14950第100个数是1+