2024-2025学年河南省漯河市郾城区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省漯河市郾城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的。1．（3分）下列图案中，不符合中心对称图形特征的图案是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．在三角形外任取一点，是这个三角形的内心 B．任意一个三角形的内角和是180° C．一名篮球运动员在罚球线上投篮，未投进 D．掷一枚硬币，反面朝上3．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC：BC=1：3，则sinBA．32 B．33 C．125．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（）A．2cm B．1cm C．3cm D．23cm6．（3分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点P为AB边上一个动点，在下列条件中，不能使△ABC与△APD相似的是（）A．APAB=12 B．∠APD＝∠ACB C．7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为（）A．40° B．60° C．50° D．80°8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③2a+b＝0；④ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3；⑤4a﹣2b+c＞0．正确的是（）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤9．（3分）如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是（）A．（1，0） B．（﹣5，﹣1） C．（1，0）或（﹣5，﹣2） D．（1，0）或（﹣5，﹣1）10．（3分）如图，⊙O的直径AB＝12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点．设AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）已知ab=23，则12．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移m个单位后经过点（2，1），则m的值为．13．（3分）如图，过反比例函数y=kx(x＞0)图象上的点A作x轴的垂线AB，垂足为B，点C，D分别为AO，AB的中点，四边形COBD的面积为3，则k14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若∠BPC＝60°，CD＝2，则线段PB的长为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（其中t＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的取值范围是．三、解答题（本题共8小题，满分75分）16．（10分）根据要求解答：（1）解方程：x2﹣5x+4＝0．（2）计算：sin17．（9分）已知抛物线y＝（x﹣1）（x﹣5）．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）填空：①点A（m，5）和B（n，5）在抛物线上，则线段AB的长为；②当0≤x≤6时，则y的取值范围是．18．（9分）如图，双曲线y1=kx与直线y2=32x交于A，B两点．点A（2，a（1）填空：①k＝，a＝，b＝；②当y1＞y2时，x的取值范围是；（3）若△ABC的面积为12，求此时C点的坐标．19．（9分）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“〇”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投护，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜．（1）第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为；（2）第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率．20．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝43，求图中阴影部分的面积．21．（9分）随着我国月球探测计划的逐步实施，月球车模型受到广大天文爱好者青睐．某玩具店购进一批月球车模型，每套进价为20元，按每套25元销售，每月可售出210套．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经调查发现，每套模型的售价每提高1元，每月就会少卖出10套．（1）求每月模型的销售量y（套）与每套售价x（元）之间的函数关系式．（2）当每套模型的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？22．（10分）某校数学活动小组要测量校园内一棵树的高度，小王同学带领小组成员进行此项实践活动，活动过程如下：【自制工具】如图①，自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角.【实地测量】如图②，小王同学站在离树一定距离的平地上，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点，测量后得出仰角α＝30°．小王继续往前走，如图③，从水平地面的E点向前走4米到达点F，测量后得出仰角β＝45°，眼睛到地面的距离AE＝1.53m.【问题解决】计算树的高度BG．（结果精确到0.1m．参考数据：2≈1.414，如果你是这个活动小组的一员，请你根据【问题解决】的要求，写出解答过程．23．（10分）如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE折叠△ABE，点B落在点F处．求tan∠CEF的值．（1）如图2，当点F恰好落在正方形的对角线AC上时，则tan∠CEF的值为（直接写出结果，不必写出解答过程）；（2）如图3，当点E运动到边BC的中点时，求tan∠CEF的值．（3）请在备用图上利用尺规找到BC的三等分点（保留作图痕迹，不写作法），当点E运动到边BC的三等分点时，直接写出tan∠CEF的值．

2024-2025学年河南省漯河市郾城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ABACADCACA一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的。1．（3分）下列图案中，不符合中心对称图形特征的图案是（）A． B． C． D．【解答】解：A．此图不是中心对称图形，故该选项符合题意；B．此图是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．此图是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．此图是中心对称图形，故该选项不符合题意，故选：A．2．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．在三角形外任取一点，是这个三角形的内心 B．任意一个三角形的内角和是180° C．一名篮球运动员在罚球线上投篮，未投进 D．掷一枚硬币，反面朝上【解答】解：A、是不可能事件，因为三角形的内心为内切圆的圆心，则在三角形内部，故不符合题意；B、是必然事件，正确，符合题意；C、是随机事件，故不符合题意；D、是随机事件，故不符合题意，故选：B．3．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根【解答】解：依题意，因为一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0，所以Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC：BC=1：3，则sinBA．32 B．33 C．12【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC：BC=1：3∴设AC=x，BC=3∴AB=A∴sinB=AC即sinB的值为12故选：C．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（）A．2cm B．1cm C．3cm D．23cm【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，∴AC=12AB，则AB＝2AC＝2又由旋转的性质知，AC′＝AC=12AB，B′C′⊥∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′＝BB′．根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．故选：A．6．（3分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点P为AB边上一个动点，在下列条件中，不能使△ABC与△APD相似的是（）A．APAB=12 B．∠APD＝∠ACB C．【解答】解：A、∵点D是AC的中点，∴APAB∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ABC；B、∵∠APD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△APD∽△ACB；C、∵APAC=ADAB，∠∴△APD∽△ACB；D、DPBC故选：D．7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为（）A．40° B．60° C．50° D．80°【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCE＝∠A＝50°．故选C．8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③2a+b＝0；④ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3；⑤4a﹣2b+c＞0．正确的是（）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤【解答】解：①由条件可知Δ＝b2﹣4ac＞0，所以①正确；②图象开口向下，得a＜0，b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方，得c＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x=−b∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以③正确；④∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，故④正确；⑤由④知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故⑤错误．故选：A．9．（3分）如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是（）A．（1，0） B．（﹣5，﹣1） C．（1，0）或（﹣5，﹣2） D．（1，0）或（﹣5，﹣1）【解答】解：∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），∴E（﹣1，0）、G（0，﹣1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），I：当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），2=3k+b−1=b解得：k=1∴此函数的解析式为y＝x﹣1，与EC的交点坐标是（1，0）；II：当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点，设AE所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），3k+b=2−k+b=0解得k=1故此一次函数的解析式为y=12x+同理，设CG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），5k+b=0b=−1解得k=1故此直线的解析式为y=15x联立①②得y=1解得x=−5y=−2故AE与CG的交点坐标是（﹣5，﹣2）．综上所述：位似中心的坐标是：（1，0）或（﹣5，﹣2）．故选：C．10．（3分）如图，⊙O的直径AB＝12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点．设AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：作DF⊥BN交BC于F；∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，∴AB⊥AM，AB⊥BN．又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，∵BC＝y，∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；∵DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，整理为y=36∴y与x的函数关系式是y=36y是x的反比例函数．故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）已知ab=23，则b−ab【解答】解：∵ab∴设a＝2t，b＝3t，∴b−ab故答案为：1312．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移m个单位后经过点（2，1），则m的值为4．【解答】解：根据平移法则可得y＝x2﹣2x﹣3+m，由条件可知4﹣4﹣3+m＝1，解得：m＝4，故答案为：4．13．（3分）如图，过反比例函数y=kx(x＞0)图象上的点A作x轴的垂线AB，垂足为B，点C，D分别为AO，AB的中点，四边形COBD的面积为3，则k【解答】解：∵点C，D分别为AO，AB的中点，∴CD是△AOB的中位线，∴CD∥OB，CD=1∴△ACD∽△AOB，∴S△ACD∵四边形COBD的面积为3，设S△ACD＝x，则S△AOB＝4x，∴S△AOB﹣S△ACD＝4x﹣x＝3x＝3，∴x＝1，∴S△AOB＝4，∴12由题意知：k＞0，∴k＝8；故答案为：8．14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若∠BPC＝60°，CD＝2，则线段PB的长为2．【解答】解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，∴PB⊥AB，PB＝PC，∴∠ABP＝90°，∵∠BPC＝60°，∴△PBC是等边三角形，∴∠PBC＝60°，∴∠ABC＝∠ABP＝∠PBC＝90°﹣60°＝30°，∵CD⊥AB于点E，CD＝2，∴∠BEC＝90°，CE＝DE=12∴PB＝BC＝2CE＝CD＝2，故答案为：2．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（其中t＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的取值范围是4≤t≤6．【解答】解：连接AP，作射线AD．由题意得，AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴AP=1t要最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，∴P在AD延长线上，∵A（0，1），D（4，4），∴AD=16+∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6，∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝5﹣1＝4，故t的取值范围为：4≤t≤6．故答案为：4≤t≤6．三、解答题（本题共8小题，满分75分）16．（10分）根据要求解答：（1）解方程：x2﹣5x+4＝0．（2）计算：sin【解答】解：（1）x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝4；（2）si=(=1=1=117．（9分）已知抛物线y＝（x﹣1）（x﹣5）．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）填空：①点A（m，5）和B（n，5）在抛物线上，则线段AB的长为6；②当0≤x≤6时，则y的取值范围是﹣4≤y≤5．【解答】解：（1）y＝（x﹣1）（x﹣5），整理得y＝x2﹣6x+5，即y＝x2﹣6x+9﹣9+5，∴y＝（x﹣3）2﹣4，则该抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）；（2）①令y＝x2﹣6x+5＝5，则x2﹣6x＝0，解得：x1＝0，x2＝6，即线段AB的长为：6﹣0＝6；②由条件可知：该抛物线有最小值﹣4，当x＝0时，y＝（0﹣1）×（0﹣5）＝5，当x＝6时，y＝（6﹣1）×（6﹣5）＝5，∴0≤x≤6时，y的取值范围是﹣4≤y≤5．18．（9分）如图，双曲线y1=kx与直线y2=32x交于A，B两点．点A（2，a（1）填空：①k＝6，a＝3，b＝﹣2；②当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2；（3）若△ABC的面积为12，求此时C点的坐标．【解答】解：（1）①由条件可知a=32×2=3∴b＝﹣2；∴A（2，3），将点A（2，3）代入反比例函数y1=k解得：k＝6；故答案为：6，3，﹣2；②由①知A（2，3），B（﹣2，3），观察图象，可得当x＜﹣2或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数值，即使得y1＞y2的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2；故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2；（2）由条件可知S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝12，∴12∴OC＝4，当点C为x轴正半轴上的一点时，此时C点的坐标为（4，0）；当点C为x轴负半轴上的一点时，此时C点的坐标为（﹣4，0）；综上，△ABC的面积为12时，C点的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．19．（9分）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“〇”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投护，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜．（1）第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为15（2）第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率．【解答】解：（1）由题意可得：嘉嘉获胜的概率为15故答案为：15（2）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中掷完两次棋子后嘉嘉获胜的结果有（A，D），（C，D），（D，C），（B，A），共4种，∴嘉嘉获胜的概率为41220．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝43，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切，理由：连接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，连接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半径，∴直线BD与⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AB＝43，∴sin∠AEB＝sin60°=AB∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD=3OB＝43∴图中阴影部分的面积＝S△OBD﹣S扇形BOE=12×4×421．（9分）随着我国月球探测计划的逐步实施，月球车模型受到广大天文爱好者青睐．某玩具店购进一批月球车模型，每套进价为20元，按每套25元销售，每月可售出210套．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经调查发现，每套模型的售价每提高1元，每月就会少卖出10套．（1）求每月模型的销售量y（套）与每套售价x（元）之间的函数关系式．（2）当每套模型的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）根据题意，基础销售量为210件，提价销售减少量为10（x﹣25），根据题意，得：y＝210﹣10（x﹣25）＝﹣10x+460．（2）根据题意，得w＝（x﹣20）（﹣10x+460）＝﹣10x2+660x﹣9200＝﹣10（x﹣33）2+1690．∵﹣10＜0，∴当x＜33时，w随x的增大而增大．∵x≤32，∴当x＝32时，w取得最大值，为﹣10×（32﹣33）2+1690＝1680．答：当每套模型的售价定为32元时，每月的销售利润最大，最大利润为1680元．22．（10分）某校数学活动小组要测量校园内一棵树的高度，小王同学带领小组成员进行此项实践活动，活动过程如下：【自制工具】如图①，自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角.【实地测量】如图②，小王同学站在离树一定距离的平地上，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点，测量后得出仰角α＝30°．小王继续往前走，如图③，从水平地面的E点向前走4米到达点F，测量后得出仰角β＝45°，眼睛到地面的距离AE＝1.53m.【问题解决】计算树的高度BG．（结果精确到0.1m．参考数据：2≈1.414，如果你是这个活动小组的一员，请你根据【问题解决】的要求，写出解答过程．【解答】解：∵AE⊥EG，BG⊥EG，AC⊥BG，∴∠AEG＝∠CGE＝∠ACG＝90°，∴四边形AEGC是矩形，∴CG＝AE＝1.53m，在Rt△ACB中，BC＝AC•tanα＝（4+CD）•tan30°，在Rt△BCD中，BC＝CD•tanβ＝CD•tan45°＝CD，∴BC＝（4+BC）•tan30°，即33（4+BC）＝BC解得BC＝23+2∴BG＝BC+CG＝2