天津市河西区2024-2025学年高二上学期期末考试 数学 含解析

河西区2024—2025学年度第一学期高二年级期末质量调查数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列中，，，，则等于（）A. B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】用递推公式，代入逐个计算即可.【详解】数列中，，，，则，则.故选：A.2.准线方程为的抛物线的标准方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解.【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为.因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为．故选：D.3.数列的一个通项公式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可.【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正，而分母可归纳为，分子可归纳为，故数列的一个通项公式是，故B正确.故选：B4.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由题意，，即可求出a的值.【详解】根据双曲线渐近线公式知道，，则.故选：C.5.如图给出一个“直角三角形数阵”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，则第8行第3列的数为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由第1列是首项为，公差为的等差数列，得到第8行第1列的数，再由第8行是以公比为的等比数列求解.【详解】解：因为第1列是首项为，公差为的等差数列，所以第8行第1列的数为，又第8行是首项为2，公比为等比数列，所以第8行第3列的数为，故选：C6.已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可.【详解】如图所示：，，由椭圆的定义得.①在中，.②由①②得，则，所以椭圆C的方程为.故选：B.7.若实数k满足，则曲线与曲线的（）A.离心率相等 B.虚半轴长相等C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求出基本量，再进行比较即可.【详解】因为，所以，，得到和都是双曲线，对于曲线，，，，此时其焦距为，离心率为，对于曲线，，，，此时其焦距为，离心率为，故两条曲线离心率不相等，虚半轴长不相等，实半轴长不相等，焦距相等，故D正确.故选：D8.设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（）A.12 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用过抛物线焦点的弦长公式求解；【详解】解：因为过抛物线C：的焦点，且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，所以，故选：A9.设数列的前n项和为，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将给定数列化简后，利用公式法求和即可.【详解】给定数列，且设该数列为，故，则，故D正确.故选：DⅡ卷注意事项：本卷共11题，共73分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10.已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________.【答案】或【解析】【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论．【详解】焦点在轴时，，，长轴长为,焦点在轴时，，，长轴长为,故答案为：或．11.已知数列满足，，则的前10项和等于______.【答案】【解析】【分析】根据数列满足，得到数列是等比数列求解.【详解】因数列满足，且，则，数列是以4为首项，以为公比的等比数列，则的前10项和等于，故答案为：.12.已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离.【详解】由题意得，，准线方程为：，设，，，因此，线段的中点到轴的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，将到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，考查分析运算能力，属于基础题.13.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为______.【答案】【解析】【分析】首先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，得出通项公式，进而得到数列的通项，然后利用裂项相消法求出前100项和.【详解】因为，，可得：解得,，所以因为，设数列的前100项和为,则：.故答案为：.14.设双曲线的半焦距为c，直线经过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】【分析】利用给定条件得到关于的方程，结合因式分解法得到它们的关系，再结合条件并利用双曲线中基本量的性质求解即可.【详解】因为直线经过，两点，所以设直线方程为，化简得，设原点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，因为原点到直线的距离为，所以，故，即，得到，解得或，因为，所以符合题意，此时，故.故答案为：215.在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解.【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值，所以数列递减数列，又，所以，解得，所以d的取值范围为.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6.（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可.（2）利用双曲线的性质求解目标元素即可.【小问1详解】因为双曲线的两个焦点在轴上，所以设双曲线方程为，因为双曲线的两个焦点分别为，，所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，故，由双曲线的定义得，解得，得到，故双曲线的标准方程为.【小问2详解】对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为,渐近线方程为，顶点为.17.解答下列各题（1）在等差数列中，，，求通项及数列的前项和；（2）在等比数列中，，，求通项及数列的前项和.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质建立方程，求出基本量，再求通项公式和前项和即可.（2）利用等比数列的性质建立方程，求出基本量，再求通项公式和前项和即可.【小问1详解】设首项为，公差为，因为，，所以，，解得，，故，.【小问2详解】设首项为，公比为，因为，，所以，，解得，，故，.18.已知等比数列的首项为，前n项和为，若，求公比.【答案】【解析】【分析】对公比分类讨论，再依据等比数列求和公式建立方程，求解参数即可.详解】当时，，与题意不符，故排除，当时，，因为，所以，解得，故公比为.19.已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（1）求的方程；（2）设过点的动直线与E相交于两点.当的面积最大时，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用给定条件结合椭圆基本量的性质求解出所有基本量，得到椭圆方程即可.（2）先对直线进行分类讨论，确定其斜率存在，再结合给定条件求出斜率范围，再依据题意将三角形面积表示为一元函数，利用换元法结合基本不等式求解最大面积，结合取等条件解出斜率值，检验后满足条件，得到直线方程即可.【小问1详解】设，因为直线的斜率为，所以，解得，而椭圆的离心率为，故，解得，则，故椭圆方程为.【小问2详解】当直线斜率不存在时，不符合题意，排除，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，，得到，因为直线与E相交于两点，所以，解得或，且设，由韦达定理得，由弦长公式得，，设点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，故，令，则，得到，当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)，此时，解得，满足或，此时得到直线方程为.【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定条件表示出三角形面积，然后利用换元法结合基本不等式找到最值，再利用取等条件得到直线斜率，进而得到所要求的直线方程即可．20.数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：