专题06 正余弦定理的应用十一种考法（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）-1

专题06正余弦定理的应用十一种考法一、方法讲解1.正弦定理的应用：=1\*GB3①边化角，角化边=2\*GB3②大边对大角大角对大边=3\*GB3③合分比：2.余弦定理的应用：（1）a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（2）内角和定理：3.面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）4.三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).5.三角形中的三角函数关系=1\*GB3①sin(A＋B)＝sinC；=2\*GB3②cos(A＋B)＝－cosC；=3\*GB3③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；=4\*GB3④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)6.三角形中的射影定理同理有：，．7.解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解注：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．二、重难点例题及变式类型一、正弦定理解三角形例．（1）在中，，，，则角的值为（）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】由正弦定理，可得，且，可知角的值为.故选：C（2）中，角A，B，C所对的边分别为已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，因为，则，由正弦定理，可得.故选：B【变式训练1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则.【答案】或【解析】在中，，则由正弦定理得，，得，因为，所以或，当时，，当时，故答案为：或【变式训练2】在中，角所对的边分别为，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以．故选：C.类型二、余弦定理解三角形例．（1）在中，角所对的边分别为.若，则（）A．2 B．4 C．16 D．【答案】B【解析】在中，，由余弦定理得，解得.故选：B.（2）的内角所对边分别为，若，则角的大小（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得，，因为，所以，由，所以，故选：D．【变式训练1】在中，如果，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，在中，由余弦定理得：.故选：A.【变式训练2】在中，角所对的边分别为，若，则（）A. B.2 C.1或2 D.2或【答案】C【解析】由余弦定理得，化简得，解出或2.故选：C.类型三、边角互化的应用例．（1）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（）A． B． C． D．6【答案】B【解析】在中，，所以，所以，由正弦定理以及比例的性质可得：.故选：B（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得,由于，所以，故，故选：C【变式训练1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B=.【答案】/【解析】因为，由正弦定理，即，又因为，可得，、所以，因为，可得，所以，即，又因为，所以.故答案为：.【变式训练2】在中，角所对的边分别为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由正弦定理，因为，展开化简，又.故选:B.类型四、三角形解的个数例．（1）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，所以三角形有2解，故A错误；对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误；对于C，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误；对于D，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确.故选：D.（2）在中，，，，若满足条件的有且仅有一个，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理，则，即，由题意仅有一值，故或，解得或.故选：A【变式训练1】在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵有两解，∴，∴，故选：D．【变式训练2】在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（）A．，，，有两解 B．，，，有一解C．，，，无解 D．，，，有一解【答案】C【解析】选项A：因为，故只有一解，故A错误；选项B：因，故有两解，故B错误；选项C：因，故有两解，故C错误；选项D：因，故无解，故D正确.故选：C类型五、判断三角形的形状例．（1）在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定【答案】B【解析】在中，已知由正弦定理得，所以即又，则，则，所以所以该三角形为等腰三角形.故选：B.（2）在中，若，则这个三角形是．【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形【解析】因为，所以，，，则，所以，，即，所以，，，即，整理可得，即或，因此，为等腰或直角三角形.故答案为：等腰或直角三角形.【变式训练1】已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解析】，即，故，，因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D【变式训练2】在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】因为所以，整理得，即的形状是等腰三角形.故选：B.类型六、三角形中的面积公式例．（1）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得，即，解得，所以三角形的面积为.故选：A（2）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为．【答案】/【解析】由，可得，解得，所以为等边三角形，故外接圆直径为所以．故答案为：【变式训练1】在中，分别是角所对的边，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，又由题知，所以，整理得到，，又由余弦定理，所以，所以，又，所以.故选：C.【变式训练2】记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，若的面积为，则c为______________．【答案】【解析】由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.故答案为：类型七、正、余弦定理的综合运用例．（1）在中,内角所对的边分别为，若，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.（2）在中，若，，，则，.【答案】【解析】由正弦定理，有，所以，由余弦定理，有，解得.故答案为：，.【变式训练1】在中，角所对的边分别为，已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理可得：，所以由余弦定理可得：，所以，再由正弦定理可得：.故选：D.【变式训练2】已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则__________．【答案】【解析】在中，，则，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.故答案为：类型八、正、余弦定理与三角函数性质的结合应用例．已知函数.（1）若，求的值.（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】（1）由可得：..（2）由余弦定理得：，整理可得：，，，又，，，，则，，即的取值范围为【变式训练1】已知，（1）若，求的值；（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；【答案】（1）（2）【解析】（1）函数,因为，所以，所以，.（2）由，而，可得，即，所以，因为，所以,则，故当时，取最大值，最大值为．类型九、三角形周长与面积问题例．已知，，分别是的内角，，的对边，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）10【解析】（1）在中，，由正弦定理得：，则，即，即，由正弦定理得，即；（2）由，得，则，得，由余弦定理得，即，整理得，即，解得，则，所以的周长为.【变式训练1】在中，角，，所对的边分别为，，，已知（1）求；（2）若，且的周长为，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得得，得由余弦定理得由正弦定理得所以，所以因为，所以.（2）因为，且的周长为，所以由余弦定理可得所以，解得，因此.【变式训练2】已知函数．在中，，且．(1)求的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）12【解析】（1）由函数，因为，可得，在中，因为，所以，又因为，所以，所以，解得，因为，所以.（2）由（1）知，因为的面积为，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周长为.类型十、解三角形在实际问题中的应用例．（1）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，故选：C（2）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【解析】依题意设炮弹第一次命中点为，则，，，，在中，即，解得，所以，又为锐角，解得（负值舍去），在中，所以，即炮台与弹着点的距离为公里.故选：D【变式训练1】岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为米．【答案】【解析】中，，，，中，，，，因为米，所以，解得：故答案为：【变式训练2】兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图所示，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，依题意，连接,不妨设小正方形方格边长为1，则由余弦定理，,因，故得故选：B.类型十一、与其他章节的融合例．在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，在中，由正弦定理得，所以，在中，，，则，所以，因为，所以，所以，所以的最小值为.故选：B.【变式训练1】在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）

，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：

为锐角

【变式训练2】已知平面向量，，设函数.（1）求的最大值；（2）在中，，D在BC边上，且，，求的周长.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）因为，，所以，所以的最大值为.（2）因为，所以，因，所以，所以，所以，因为，所以，由正弦定理，在中，，即，得，在中，，即，得，因为，所以，所以，即，由，且，，解得，所以三角形的周长为.三、能力测试练1．在△ABC中，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，即，解得.故选：A.2．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理角化边可知，，整理为，即，由于，所以.故选：B.3．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形【答案】B【解析】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形状为直角三角形.故选：B.4．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由正弦定理有，根据余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故选：D5．（多选）在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（）A．若则是等腰三角形B．若，则为锐角三角形C．若，则一定是等边三角形D．若，则一定是等腰三角形【答案】AC【解析】对于A，因为所以即，所以，结合，可得或（舍去），所以是等腰三角形，故A正确；对于B，由正弦定理可得，则，所以为锐角，但无法判断两角是否为锐角，故B错误；对于C，因为，所以，即，又因为，可得，即是等边三角形，故C正确；对于D，因为，所以，所以，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误.故选：AC.6.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（）A．若，，，则有两解B．若，，则的面积最大值为C．若，，，则外接圆半径为D．若，则一定是等腰三角形【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，所