重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角（四大题型）（原卷版）

重难点专题12利用几何法求异面直线所成的角【题型归纳目录】题型一：利用中位线平移题型二：利用四边形平移题型三：补体法题型四：平移两次【方法技巧与总结】异面直线所成的角①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．②范围：=3\*GB3③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．【典型例题】题型一：利用中位线平移【例1】（2025·高二·山东济宁·期中）在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D． 【变式1-2】（2025·高二·河北·学业考试）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2025·高一·四川成都·期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．题型二：利用四边形平移【例2】（2025·四川·模拟预测）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2025·高一·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（

）A．120° B．90° C．60° D．30°【变式2-2】（2025·高一·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（

）

A．1 B． C． D．【变式2-3】（2025·高一·福建福州·期末）已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（

）A． B． C． D．题型三：补体法【例3】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式3-1】在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2025·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2025·高三·安徽·阶段练习）在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为.题型四：平移两次【例4】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（

）

A． B． C． D．【变式4-1】（2025·高一·安徽黄山·期末）中，，.为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2025·高一·河南新乡·期末）在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为．【变式4-3】（2025·高一·福建三明·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．

【过关测试】1．（2025·高一·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（

）A． B． C． D．2．（2025·高一·全国·课后作业）已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，则直线与直线BD所成的角的大小为（

）A． B． C． D．3．（2025·高一·河北唐山·期末）在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．（2025·高一·安徽亳州·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．（2025·高一·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．7．（2025·高一·陕西商洛·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．（2025·高一·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（

）A． B． C． D．9．（2025·高一·四川成都·期末）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．10．（2025·高一·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．11．（2025·高一·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（

）A． B． C． D．12．（2025·高一·天津·期末）在直三棱柱中，为侧棱的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．13．（多选题）（2025·高一·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（

）A．平面B．平面C．异面直线与所成角为D．平面截正方体所得截面的面积为1814．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（

）A．平面 B．平面C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于15．（多选题）（2025·高一·贵州六盘水·期末）如图在正方体中，分别是的中点，则下列选项正确的是（

）A．平面 B．平面C．四点共面 D．与所成的角为16．（多选题）（2025·高一·贵州铜仁·期末）如图是一个棱长为2的正方体的展开图.若将它还原为正方体，则下列结论正确的是（

）A．平面与平面平行B．线段和线段所在的直线是异面直线且所成角为C．点到平面的距离为D．线段与平面所成角的余弦值为17．（2025·高一·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为.18．（2025·高一·青海西宁·期末）在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为.19．（2025·高一·全国·课后作业）如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是，与的夹角为．20．（2025·高一·福建厦门·期末）在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，则直线与所成角的大小为.21．（2025·高一·河北邢台·期末）在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为．22．（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）正四棱锥的所有棱长均为4，M为棱PC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值为．23．（2025·高一·甘肃白银·期末）如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，是棱AB的中点，设平面，经过直线，且平面，平面，若平面，则异面直线与所成角的余弦值为.24．（2025·高二·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的正弦值．25．（2025·高二·上海·课堂例题）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，．

(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成角的大小．26．（2025·高一·四川绵阳·期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点．(1)求证：平面；(2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值．27．（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知长方体中，，．

(1)求证：与是异面直线；(2)求异面直线与所成角的余弦值．28．（2025·高一·浙江·期中）如图，为正方体的棱的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值．29．（2025·高一·重庆·期中）在长方体中，，是的中点.(1)证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.30．（2025·高一·上海·期末）已知长方体中，分别是和的中点.(1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由）(2)若，，，求异面直线与所成角的大小.31