重难点11 轻松搞定立体几何的轨迹问题 （三大题型）（解析版）

重难点专题11轻松搞定立体几何的轨迹问题【题型归纳目录】题型一：轨迹图形题型二：轨迹长度题型三：轨迹面积【典型例题】题型一：轨迹图形【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（

）

A．三角形（含内部） B．矩形（含内部）C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分【答案】A【解析】如下图所示：首先保持在线段上不动，假设与重合根据题意可知当点在侧棱上运动时，若点在点处时，为的中点，此时由可得满足，当点运动到图中位置时，易知，取，可得，取棱上的点，满足，根据三角形相似可得三点共线，当点在侧棱上从点运动到点时，点轨迹即为线段；再研究当点在线段上运动，当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，因此可得，当点是侧棱上运动时，在线段上运动时，点的轨迹为及其内部的所有点的集合；即可得的轨迹为三角形（含内部）.故选：A【变式1-1】（2024·高二·湖北黄冈·期末）如图所示，为正三角形，四边形为正方形，平面平面.为平面内的一动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（为正方形的中心）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．考点：轨迹方程．【例2】（2024·高一·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有是图中的()A． B．C． D．【答案】A【解析】如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证；所以P在FG上．故选A题型二：轨迹长度【例3】（2025·高二·重庆黔江·阶段练习）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接、、，如图所示：由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面，又且，于是为平行四边形，则，平面，平面，则平面，又，平面，因此平面平面，由与平面无公共点，平面，则平面，又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面，于是是点在底面内的轨迹，又正方体的棱长为，则，所以点的轨迹长度为.故选：B【变式3-1】（2025·高一·贵州黔西·期末）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中错误的是（

）A．平面截正方体所得截面为等腰梯形B．若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线C．若，则点Q的轨迹长度为D．三棱锥的外接球的半径为【答案】B【解析】对于A，取的中点为,连接,则，而，即四边形为平行四边形，故，所以，且，则四边形为平面截正方体的截面，为梯形，而，,即，即四边形为等腰梯形，A正确；对于B，连接交为Q，则，即，而，平面，平面，故∥平面，即当∥平面时，直线可能垂直于直线，B错误；对于C，因为平面，平面，故，由得，即点的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆，其轨迹长度为，C正确；对于D，三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为r，,故，则，故，因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上，则，即，故三棱锥的外接球的半径为，D正确，故选：B.【变式3-2】（2025·高二·四川乐山·期末）已知正方体棱长为1，点是正方体表面上一个动点，满足，则点的轨迹长度为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】由题意可知，动点的轨迹为过点与直线垂直的截面与正方体的表面的交线.如图所示：在正方体中，，又平面且，所以平面，因为平面，所以.又在正方体中，，又平面且，所以平面，因为平面，所以.又因为，由平面且，所以平面.于是点P的轨迹长度为不包含点的的周长，即周长等于.故选：D.【变式3-3】（多选题）（2025·高一·辽宁·期末）如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（

）A．该三棱台的体积为B．平面平面C．直线与平面所成角的正切值的最小值为D．若，则点的轨迹的长度为【答案】ABC【解析】选项A：将三棱台补形为棱长为6的正四面体SABC，如图1，依题意，是边长为6的正三角形，且，所以，即，解得，（另因为，是边长为6的正三角形，所以也是正三角形，边长，所以）.于是正三棱台的高，（另（棱长为a的正四面体的高为）），所以该三棱台的体积，故A选项正确；选项B：易知，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B选项正确；选项C：连接，，，在中，，因此在中，，有，所以，又平面，由平面得，又，平面，所以平面，故直线CP与平面所成的角为，在中，，而，所以当最大时，最小，由点P在平面及其边界上运动，知当点P与点A或点B重合时最大，此时，，所以直线CP与平面所成角的正切值的最小值为，故C选项正确；选项D：当时，可得，因此点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆与等腰梯形重合部分的两段弧和（如图2），连接，，由，，易得，因此，所以的长度，则点P的轨迹的长度为，故选项D错误．故选：ABC.题型三：轨迹面积【例4】（2025·高一·福建泉州·期中）已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为．【答案】/【解析】因为平面平面，所以点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，所以点的轨迹是三角形及其内部，所以的面积为.故答案为：．【变式4-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点M在棱上运动，点N在正方体的底面内运动，则的中点P的轨迹的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，则为直角三角形，在中，，为的中点，连接，则所以点在以D为球心,半径的球面上又因为点只能落在正方体上或其内部所以点的轨迹的面积等于该球面面积的故所求面积.故选：D.【变式4-2】（2025·高一·江苏常州·期末）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接相交于，取的中点，连接，由于平面，平面，故，又，故，平面，故平面，平面，故，由，，故，在中，，在中，，故，进而得，故，由于，故，又平面，故平面故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形；其中，故三角形面积为.故选：C.

【过关测试】1．（2025·高一·重庆·期末）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】分别取的中点，连接，故，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，故，因为平面，平面，所以平面，又点是棱的中点，所以，，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，故当在线段上运动时，满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥，其中两两垂直，且，故其外接球半径为，故较小部分的外接球的体积为.故选：A2．（多选题）（2025·高一·广东广州·阶段练习）已知正方体中，以下结论正确的有（

）A．点在直线上运动时，三棱锥的体积不变B．点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变C．点在直线上运动时，二面角的大小不变D．是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线【答案】ACD【解析】对于A，因为在正方体中，‖，平面，平面，所以‖平面，所以上的点到平面的距离相等，因为，为定值，所以点在直线上运动时，三棱锥的体积不变，所以A正确，对于B，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则，因为‖平面，所以点在直线上运动时，为定值，但在变化，所以变化即角变化，所以直线与平面所成的角变化，所以B错误，对于C，因为平面，所以二面角的大小等于平面与平面所成角的大小，所以二面角的大小不变，所以C正确，对于D，因为点是平面上到点和点的距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分线所在平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是过点的直线，所以D正确.故选：ACD3．（多选题）（2025·高一·山东聊城·期末）在长方体中，，点M，N分别在侧棱和底面ABCD上运动，且，则（

）A．直线BM与直线所成角的范围为B．存在直线MN，使MN∥平面C．设点P为线段MN的中点，则点P的轨迹与侧面的交线长度为D．设点P为线段MN的中点，则三棱锥的体积的最小值为【答案】BCD【解析】对于选项A：取，且，则线段，即，因为∥，且，可知直线BM与直线所成角为，若与重合，可知；若与重合，可知；所以直线BM与直线所成角的范围为，故A错误；对于选项B：分别取的中点为，则，可得符合题意，此时∥，因为∥，且，可知为平行四边形，则∥，可得∥，且平面，平面，可得∥平面，所以存在直线MN，使MN∥平面，故B正确；对于选项CD：因为平面，且平面，则，且，点P为线段MN的中点，则（点与点重合依然成立），可知点的轨迹为以为球心，半径为1的球的，则点P的轨迹与侧面的交线为以为球心，半径为1的圆的，所以交线长度为，故C正确；在中，，边上的高为，设点到平面的距离为，由三棱锥的体积可得，解得，由球的性质可知：点P到平面的距离最小值为，所以三棱锥的体积的最小值为，故D正确；故选：BCD.4．（多选题）（2025·高一·黑龙江黑河·期末）如图，在正三棱台中，，棱的中点分别为，点在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（

）A．平面B．正三棱台的体积为C．与平面所成角的正切值为D．动点形成的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对A，如图，延长正三棱台的侧棱，设其相交于点，连结,如下图所示，则有，直线必过点，且，，过点作，，则四边形和均是边长为2的菱形，因为，所以为正三角形，，在中，，即，解得：,所以，所以是边长为6的等边三角形，由正三棱台性质可得，所以,,所以，因为是边长为6的等边三角形，且是的中点，所以，，在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，解得：，满足，所以，由，，，平面，可得平面，又平面，所以，由，，，平面，可得平面，故A正确；对B，因为，所以三棱台的高，所以三棱台的体积，，故B正确；对C，与平面所成的角为，因为，所以，所以，故C错误；对D，因为点在平面内的轨迹为以为圆心的圆被四边形所截的弧和，设的长为，则，所以动点形成的轨迹长度为，故D正确.故选：ABD5．（多选题）（2025·高一·云南曲靖·期末）在棱长为2的正方体中，点是正方形内一动点（包括边界），则（

）A．平面B．若，则点的轨迹长度为C．若平面，则点的轨迹长度是D．当点在直线上运动时，的最小值是【答案】ABD【解析】对于A，连接，因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为，平面，所以平面，所以A正确，对于B，因为平面，平面，所以，因为，，所以，所以点在以为圆心，1为半径的弧上，如图在上，所以点的轨迹长度为，所以B正确；对于C，连接，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，同理可证∥平面，因为，平面，所以平面∥平面，所以当平面时，∥平面，因为平面平面，所以点的轨迹为，所以C错误；对于D，如图，将平面和平面展在同一个平面，则，当三点共线时取等号，因为，所以，即的最小值是，所以D正确，故选：ABD6．（多选题）（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（

）A．三棱锥的外接球表面积为B．动点F的轨迹的线段为C．三棱锥的体积为D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为【答案】AC【解析】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．由正方体的性质可得，且平面，平面，所以//平面，同理可得：//平面，且，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，其长度为，故B错误；对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为H到平面的距离，过点B作，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以，故C正确；对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上，因为截面平面，平面平面，所以，同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点，在四棱锥中，侧棱最长，且，设棱锥的高为h，因为，所以四边形为菱形，所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，则，，所以，解得.综上，可知长度的取值范围是，故D错误.故选：AC7．（多选题）（2025·高一·江苏盐城·期末）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（

）A．B．若点在线段上，则四面体的体积为定值C．若，则点轨迹的长度为D．若点在直线上，则的最小值为【答案】ABD【解析】连接，由菱形可得，再由直棱柱，可得底面，又因为底面，所以，而，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；取的中点为，连接，又由点为的中点，可得，而，所以，即四点共面，由平面，平面，所以平面，因为动点，所以动点到平面的距离不变，又因为三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确；动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，由直棱柱，易证明平面，而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，则由侧面正方形，可知，，可得，所以点的轨迹的圆弧长为，故C错误；利用直棱柱的所有棱长为，可计算得：再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图：先解三角形，由余弦定理得：，利用平方关系得：，所以，再由余弦定理得：，即，故的最小值为，故D正确；故选：ABD．8．（多选题）（2025·高一·吉林·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（

）A．若平面，则点P的轨迹长度为B．若平面，则三棱锥的体积为定值C．若，则点P的轨迹长度为D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是【答案】ABD【解析】对A选项，如图，分别取，的中点N，M，则易得，，，，，平面，平面从而易得平面平面，又P是正方形内的动点，且平面，∴P点的轨迹为线段，又，∴A选项正确；对B选项，由A选项分析可知P点的轨迹为线段，，∴三角形的面积为定值，又D到平面的距离也为定值，∴三棱锥的体积为定值，∴B选项正确；对C选项，如图，若，又，且平面，则，∴P点的轨迹是正方形内以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，∴P的轨迹长度为，∴C选项错误；对D选项，如图，若P是棱的中点，取的中点G，的中点H，则，∴G到E，F，P的距离相等，又平面，∴三棱锥的外接球的球心O在上，设，则，又，，设三棱锥的外接球的半径为R，则，∴在与中，根据勾股定理可得：，解得，∴，∴三棱锥的外接球的表面积是，∴D选项正确.故选：ABD.9．（多选题）（2025·高一·海南海口·期中）在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（

）A．该正四棱台的高为3B．该正四棱台的侧面面积是C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为D．动点P的轨迹长度是【答案】BCD【解析】对于A，取正方形的中心，正方形ABCD的中心O，连接，则平面，直角梯形中，过点作交于点M，则平面，，由，得，，则，，，又，由勾股定理得，A错误；对于B，过点作于点W，则，，正四棱台的侧面面积是，B正确；对于C，正四棱台的外接球球心Q是直线与线段的中垂面的交点，即直角梯形的斜腰的中垂线与直线的交点，连接，则，由于，故Q在落在的延长线上，设OQ=h，则，由勾股定理得，，即，解得，C项正确；对于D，显然，即点P的轨迹为以M为圆心、半径的圆在正方形ABCD内的部分，如图，作于T，作于K，则，则，又，由勾股定理得，由，得，则，所以动点P的轨迹长度是，D正确．故选：BCD10．（多选题）（2025·高一·陕西西安·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点为平面上一动点，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．当点在棱上，的最小值为C．当点在正方形内，若与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为D．当点在棱（不含顶点）上，平面截此正方体所得的截面为梯形【答案】ACD【解析】对于A：平面平面，则点到平面的距离为定值2，则，故A正确；对于B，当点在棱上时，将平面和平面展成同一平面，如图，则的最小值为，故B错误；对于C，如图，连接，因为点在正方形内，平面，所以即为与平面所成的角，若与平面所成的角为，则，所以，即点的轨迹是以为圆心、以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故C正确；对于D，如图，连接，当点在棱（不含顶点）上时，设，，过点作交于点，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，故，所以四点共面，所以四边形为平面截此正方体所得的截面，因为，，所以，，，所以，所以截面四边形为梯形，故D正确.故选：ACD.11．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（

）A．三棱锥的外接球表面积为B．动点的轨迹是一条线段C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．由正方体的性质可得，且平面，平面，所以∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，故B正确；对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为定值，同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确；对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．因为截面平面，平面平面，所以．同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点．在四棱锥中，侧棱最长，且．设棱锥的高为h，因为，所以四边形为菱形，所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，则，，所以，解得．综上，可知长度的取值范围是，故D正确．故选：ABD．12．（多选题）（2025·高一·江苏南京·期末）如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（

）

A．B．与平面所成角的正弦值为C．存在点使得⊥平面D．若平面，则点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对于A：连接，则，平面平面,所以，平面，所以平面，所以，故A选项正确；对于B：延长交于，易得在延长线上，，则，则，设到平面距离为d，则，则，则与平面所成角的正弦值为，故B选项正确；对于C；若平面，则，则在平面内射影垂直于，在平面内的射影为,在正方形内任意点时都不可能射影垂直，故C选项错误；对于D：如图所示，取的中点，的中点，连接，可得四边形是平行四边形，所以平面，在平面外，所以平面,同理可得，平面，因为平面，所以平面平面，因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上，所以点的轨迹长度，故D选项正确故选：ABD.13．（多选题）（2025·高一·广东广州·期末）如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（

）A．若点为的中点，则平面B．连接，则直线与平面成角正弦值为C．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为D．若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为【答案】ACD【解析】对于A，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形，，由点、分别为、的中点，得，平面，平面，因此平面，A正确；对于B，连接，则，由平面，平面，得，又平面，则平面，过作交于，连接，于是平面，是直线与平面所成的角，，，，B错误；对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧，连接，则的最小值为，C正确；对于D，延长与的延长线交于，由，得为平行四边形，，取中点，连接交于，连接，由，得四边形是平行四边形，，为的中点，由平面，平面，得，又，平面，则平面，而平面，则，同理，因此，而，平面，于是平面，又，则平面，又平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，而，所以点的轨迹长度为，D正确.故选：ACD14．（多选题）（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（

）A．平面B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是C．点到平面的距离为D．若平面，则点的轨迹长度为【答案】AD【解析】对于A，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，则，，，，，所以，，则平面，故A正确；对于B，作中点，的中点，的中点，连接，，，，，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故B错误；对于C，由A选项知，向量为平面的法向量，且，，所以到平面的距离为，故C错误；对于D，取BC中点R，CC1中点T，所以相交，所以平面平面，即平面平面，由B选项知，当动点在上运动时，平面，总是会有平面，所以若平面，则点的轨迹为，，故D正确；故选：AD15．（多选题）（2025·高一·安徽铜陵·期末）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（

）A．点四点共面B．几何体的外接球的体积为C．满足平面的点的轨迹长度为D．的最小值为【答案】BCD【解析】对于A：在正方体中，又平面，平面，所以平面，又平面，且，所以与为异面直线，所以点四点不共面，故A错误；对于B：取的中点，的中点，的中点，连接、、、，则几何体的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以，则外接球的体积，故B正确；对于C：取的中点，的中点，连接、、，则，平面，平面，所以平面，又且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，点为正方形内（包含边界）的动点，所以点在线段上，又，所以满足平面的点的轨迹长度为，故C正确；对于D：在正方体左边作一个相同的正方体，如下图所示：连接交平面于点，此时取得最小值，即的最小值为，故D正确.故选：BCD16．（多选题）（2025·高二·江西·期末）在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．若面，则Q的轨迹是一条线段B．三棱锥的体积为C．平面与的夹角的正弦值的取值范围为D．若，则Q的轨迹长度为【答案】ACD【解析】A：取E，F分别为棱，的中点，连接，由∥∥，且，知四边形是平行四边形，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，因为，平面，平面，所以平面平面，则Q的轨迹为线段，故A正确；B：，故B错误；C：因为平面，平面，所以.又，平面，平面，，所以平面.又平面，所以.同理可得，.又平面，平面，，所以平面，故平面与的夹角的正弦值等于与的夹角的余弦值，当Q在（或）上时，与的夹角的余弦值为，当Q位于上时，与的夹角的余弦值为，根据对称性，平面与的夹角的正弦值的取值范围为，故C正确；D：因为平面，平面，所以，则，解得，即Q得轨迹是以为圆心，半径为，圆心角为的圆弧，所以Q的轨迹长度为，故D正确.故选：ACD17．（多选题）（2025·高一·江苏南京·阶段练习）已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设E为空间内任一点，且A，B，C，D，E五点在同一个球面上，则（

）A．四面体的表面积为B．四面体的体积为C．当时，点E的轨迹长度为D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为【答案】AC【解析】对于A中，因为四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且，设为的中点，连接，则，所以，则四面体的表面积为，所以A正确；对于B中，将四面体放入长方体中，如图所示，设长方体的相邻的三条棱长分别为，则，解得，由，所以异面直线和的距离为，因为为的中点，在等腰和中，可得，又因为且平面，所以平面，所以四面体的体积为，所以B错误；对于C中，由四面体的外接球和补成的长方体的外接球为同一个球，设四面体的外接球的半径为，可得，所以，由，可得点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，则，解得，所以轨迹的长度为，所以C正确；对于D中，由题意得，所以，所以的外接圆的半径为，所以球心到所在平面的距离为，设三棱锥的高为，由三棱锥的体积为时，可得，解得，又由，所以点的轨迹为外接球上平行于平面且到平面的距离为的两个截面圆，其中一个圆为外接球的大圆，所以点的轨迹长度大于，因为点的轨迹为外接球上平行于平面两个截面圆，所以轨迹的长度大于，所以D错误.故选：AC.18．（多选题）（2025·高一·吉林·期中）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（

）A．若，则点P的轨迹长为B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等D．过点P可以作4条直线与，AC均成角【答案】AC【解析】对于选项A，建立如图所示空间直角坐标系，,，因为，所以，所以，即，又因为点P在正方形内部（含边界）运动，所以，所以点P的轨迹长为，故A正确；对于选项B，如图，连接，，由正方体的性质知，，所以四点共面，平面，故B不正确；对于选项C，如图，取的中点F，连接，设，连接，则几何体为斜三棱柱，从而，在三棱柱中，,其中,,∴,又，故C正确；对于选项D，通过平移直线可知，直线与，AC均成角，那么只要过点P作直线与平行即可满足与，AC均成角，这样的直线有无数条，故D不正确,故选：AC.19．（多选题）（2025·高一·浙江丽水·期中）已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（

）A．动点M在侧面内轨迹的长度是B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2C．直线与所成的角为，则的最小值是D．存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为【答案】ABC【解析】如图所示，取中点，连接，取中点，连接.在立方体中，因为，为中点，所以，所以，，，四点共面.又因为平面，且平面，所以，又因为，且平面,，所以平面，又因为平面,所以.因为，且，且均为锐角，所以，又因为平面，且平面，所以，又因为平面，且，所以平面,又因为平面，所以.又因为平面，且，所以平面.又因为，则平面，所以的轨迹为截面.对于A，因为平面，且平面平面，所以动点在平面内的轨迹长度为的长，且，故A正确；对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥.且.又因为，所以，，所以四棱锥的体积为，故B正确；对于C，因为，所以直线与直线所成角为，在直角三角形中，当时，，所以，故C正确；对于D，易知与或重合时，直线与平面所成角最大，且为或，因为，所以，所以不存在某个位置，使得直线与平面所成角为，故D错误.故选：ABC.20．（多选题）（2025·高一·山东滨州·期末）在棱长为2的正方体中，M，N，Q分别是，，的中点，P为四边形（含边界）内一动点，且．则下列结论正确的是（

）A．直线AM与直线是异面直线 B．三棱锥的体积为C．点P的轨迹长度为 D．直线平面【答案】BC【解析】作出示意图如图所示：因为M，N分别是，的中点，所以，所以四点，四点共面，所以直线AM与直线是共面直线，故A错误；，故B正确；由平面，又平面，所以，在中，由，所以，所以是以为圆心为半径的圆上的点，又，所以点P的轨迹长度为，故C正确；当在上时，平面即为平面，又平面，故D错误.故选：BC.21．（多选题）（2025·高一·重庆·期末）在棱长为的正方体中，已知分别为线段，的中点，点满足，，，则（

）A．当时，三棱锥的体积为B．当时，四棱锥外接球半径为C．周长的最小值为D．若，则点的轨迹长为【答案】ACD【解析】A选项，当时，，故，即，故点在线段上，连接，与相交于点，则为的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，所以三棱锥的体积，所以，又，所以，故三棱锥的体积为，A正确；B选项，当时，由A选项可知，，点为线段的中点，连接相交于点，则平面，设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线，其中，设，则，由勾股定理得，即，解得，B错误；C选项，点在矩形及其内部，取线段的中点，由对称性知，，，此时三点共线，又，，C正确；D选项，因为，又点在矩形及其内部，点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形，又平面，且，故，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆的一部分，如图，其中，，故，则，则，则轨迹长为，D正确.故选：ACD22．（多选题）（2025·高一·重庆·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（

）A．取得最小值B．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形C．四面体ABMD的外接球的表面积为5π时，D．若，则点O的轨迹长为【答案】ABD【解析】选项A中，将平面沿翻折到与平面为同一平面，则，当D，M，三点共线时，等号成立，故A正确；选项B中，设N是的中点，连接，NB，而正方体的棱长为2，且分别为的中点，所以，所以四边形是菱形，所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确；选项C中，当时，因为CM，AD，AB两两垂直，所以四面体的外接球的直径，则，此时外接球表面积，故C错误；选项D中，由，所以点O在的中垂面上，设的中点为H，则，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，则，所以点O在以H为圆心，的半圆上运动，点O的轨迹长为，故D正确．故选：ABD．23．（多选题）（2025·高一·吉林长春·期末）如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则（

）A． B．C．MC的长度为 D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为【答案】ACD【解析】如图，取中点，连接,依题意，,则有因平面,则平面.对于A，因为将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，故平面,因平面，故,即A正确；对于B，因,则由可知，,同理,因平面,故得，平面,同理可证平面,依题意，因M，B，D，E四点共面，故平面,故,故B错误；对于C，设连接，交于点，则,,,则，依题意，三点共线，可得,在中，由余弦定理，,故C正确；对于D，因点C与点A是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比，而点转动的半径为,点转动的半径为,故点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为，故D正确.故选：ACD.24．（多选题）（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点则下列说法正确的是（

）A．四点共面B．与所成角的余弦值为C．正三棱柱的外接球表面积为D．点在四边形内及其边界上运动，若平面，则动点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对于A，分别为的中点，则，所以，根据两平行可确定一个平面，则四点共面，A正确；对于B，连接，因为,则为与所成角，在中，,可知，B正确；对于C，正三棱柱中，在中，正弦定理可得三角形外接圆半径，设正三棱柱的外接球半径为,且球心到平面的距离为1，所以根据勾股定理可知，则球的表面积为，C错误；对于D，在正三棱柱中，取的中点，连接，可知，平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又因为是平面内两条相交直线，因此平面平面，点在四边形内及其边界上运动，若平面，则在平面内，动点的轨迹为，所以动点的轨迹长度为，D正确；故选：ABD.25．（多选题）（2025·高一·福建莆田·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点(包括边界)，且平面，则下列说法正确的是（

）A．记的中点为上存在一点，使得平面平面B．动点轨迹的长度为C．三棱锥体积的最小值为1D．的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，取中点，的中点，连接，则，正方体中易知，从而，又平面，而平面，所以平面，又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等，