三角函数：三角函数的图像与性质专项训练（解析版）

三角函数：三角函数的图像与性质专项训练考点一考点一已知解析式求三角函数的性质1．（2025·山东日照·一模·多选）已知函数，则下列说法中正确的有（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上单调递增D．若，则的最小值为【答案】BCD【详解】A选项，时，，因为不是的对称轴，故A错误；B选项，时，，因为是的对称中心，故B正确；C选项，时，，因为在上单调递增，故C正确；D选项，因为，由得，所以的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为，因为，所以的最小值为.故选：BCD.2．（24-25高一上·广东深圳·期末·多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数在区间上是增函数C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到【答案】ACD【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确；对于B，当时，，易知在上不单调，所以函数在区间上不单调，即B错误；对于C，因为，因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确；对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确.故选：ACD3．（24-25高三下·河南·阶段练习·多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为2B．为图象的一条对称轴C．在区间上先单调递增后单调递减D．在区间上恰有8个零点【答案】BCD【详解】对于A，的最小正周期为，A错误；对于B，，则为图象的一条对称轴，B正确；对于C，当时，，函数在上递增，在上递减，因此在区间上先单调递增后单调递减，C正确；对于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整数值有8个，D正确.故选：BCD4．（24-25高三下·广东广州·开学考试·多选）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的最小正周期B．图象可由图象向左平移个单位得到C．与存在相同的零点D．与的图象存在相同的对称轴【答案】AB【详解】对于，的最小正周期为，的最小正周期为，所以与有相同的最小正周期，故正确；对于，图象向左平移个单位，可得，故正确；对于，令，，则，，所以的零点为，，，故错误；对于，的对称轴方程为，，所以，，所以，故错误.故选：.5．（2025·云南曲靖·一模·多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】ABD【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，，，由的单调性可知，在上单调递增，故B正确；对于C，将代入解析式得，所以不是的对称轴，故C错误；对于D，当时，，所以的图象关于对称，故D正确.故选：ABD.6．（24-25高三下·山西·开学考试·多选）已知函数，函数，则（

）A．与的对称中心相同B．与有相同的周期C．与在上有1个交点D．函数在（）的值域为【答案】CD【详解】对于A，令，得，令，得，的对称中心为，的对称中心为，故与的对称中心不相同，A错误；的最小正周期为，不是的周期，故与的周期不相同，B错误；画出与的图象可得两函数在有1个交点，C正确；，且，令，即，在内单调递减，故，D正确．故选：CD．7．（2025·山西·一模·多选）已知函数，则（

）A．为函数图象的对称轴B．为函数图象的对称中心C．函数在上单调递增D．函数在的值域为【答案】BCD【详解】对于A，当时，函数取不到最值，则不是函数图象的对称轴，故A错误；对于B，由题意得，即为函数图象的对称中心，故B正确；对于C，时，令，由正弦函数性质得在上单调递增，则函数在上单调递增，故C正确；对于D，当时，令，由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，则，即，则值域为，故D正确．故选：BCD

考点考点二先求解析式，进而求三角函数的性质1．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习·多选）已知函数，则（

）A．是奇函数B．的最小正周期为C．在上单调递增D．把图象上点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到的函数解析式为【答案】AD【详解】对于A，函数定义域为，有，所以是奇函数，A正确；对于B，，最小正周期为，故B错误；对于C，因则，故C错误；对于D，由C，图象上点的横坐标缩短为原来的倍对应解析式为：，再向左平移个单位长度得到的函数解析式为：可知D正确.故选：AD.2．（24-25高三上·浙江绍兴·期末·多选）已知函数的最大值为，则下列说法中，正确的是（

）A． B．函数的最小正周期为C．函数图象的一个对称中心为 D．函数在区间上单调递减【答案】AB【详解】，，其中，因为的最大值为2，所以，所以，得，因为，所以，所以A正确，所以，对于B，由于，所以的最小正周期为，所以B正确，对于C，令，则，当时，，所以图象的一个对称中心为，所以C错误，对于D，由，得，则，因为在上递减，所以在上单调递增，所以D错误.故选：AB3．（2025·四川南充·二模·多选）如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（

）A．B．在区间上单调递增C．将的图象向右平移个单位可以得到的图象D．方程在上有三个根【答案】AC【详解】观察图象，得的最小正周期，解得，由，得，而，解得，对于A，，A正确；对于B，当时，，当，即时，取得最大值，因此在区间上不单调，B错误；对于C，，C正确；对于D，当时，，由，得或，因此方程在上有2个根，D错误.故选：AC4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测·多选）已知函数，其中，且．若函数在区间内无零点，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于对称B．在上单调递增C．直线是的一条切线D．若在区间上的图象与直线有且只有三个交点，则实数m的取值范围为【答案】AC【详解】由且，都有同号可知，,又，由得，由知关于对称，故A正确．当时，，此时先增后减，故B错误．．令得或，其中，时在处得切线为，故C正确．由得．由正弦函数图象知道，得．故D错误．故选：AC．5．（2025·安徽·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C．函数的图象的一条对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】AD【详解】对于A，，函数的最小正周期，故A正确；对于B，因为，∴，而函数在上不单调，故在区间上不单调，故B错误；对于C，由（），得（），不可能取到，故C错误；对于D，由的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选：AD6．（2025·湖北武汉·二模·多选）函数，则下列关于的说法中正确的是（

）A．最小正周期是 B．最大值是2C．是区间上的减函数 D．图象关于点中心对称【答案】AC【详解】，则的最小正周期是，故选项A正确；由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误；时，，因为在上单调递减，故是区间上的减函数，故选项C正确；令，解得，故的图象的对称中心为，，令得，所以的图象不关于点中心对称，故选项D错误.故选：AC7．（24-25高三下·河北张家口·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在上的值域为C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称D．若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为【答案】BCD【详解】函数，对于A，函数的最小正周期为，A错误；对于B，当时，，，则，B正确；对于C，，是偶函数，C正确；对于D，当时，，函数在上递增，函数值从1增大到，在上递减，函数值从减小到，程在上恰好有一个根，即直线与函数在上的图象只有一个交点，，即，D正确.故选：BCD8．（2025·贵州毕节·一模·多选）已知函数，则（

）A．B．的图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是，D．当在上的最大值为1时，正实数的最小值为1【答案】AD【详解】因为，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，令，解得，所以的单调递增区间是，故C错误；对于D，当时，，因为在上的最大值为1，所以，解得，所以正实数的最小值为1，故D正确．故选：AD．9．（24-25高三下·江苏常州·开学考试·多选）记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（

）A．B．C．在区间上单调递减D．直线是曲线的切线【答案】ABD【详解】由，又，可得，又，则，所以.下面分类讨论.（1）若在上单调，则，即，令，则，在上单调，又因为,所以在上单调递减，所以，所以，此时，，此时，不符合题意.（2）在上不单调，即在上不单调.又，由于余弦函数在长度为一个周期的闭区间上的值域为，即函数在长度为的区间上值域为，其最大值与最小值的差为4，大于在上的最大值与最小值的差3，所以区间长度，所以，所以，.①若，即，则，此时由，所以，所以，且至少有一个式子取等号.解不等式组得，若，舍去；，解得，符合题意.②若，即时，，，所以，所以，，无解.综上可得，，即.对于A，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，当，则，且在上先递减后递增，故C错误；对于D，因为，所以，，可得是在处的切线，故D正确；故选：ABD10．（24-25高三下·江苏扬州·期末·多选）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．在区间上单调递增 D．当时，【答案】ABD【详解】，对于A选项，当时，，故的图象关于直线对称，故A正确；对于B选项，当时，，故的图象关于点对称，故B正确；对于C选项，时，，因为在上不单调，故在区间上不单调，故C错误；对于D选项，时，，故，故D正确.故选：ABD11．（24-25高三上·湖南娄底·期末·多选）已知函数，将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则关于函数，下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数图象关于点对称C．函数图象关于直线对称D．函数在区间上单调递减【答案】ABD【详解】因为将的图象向左平移个单位长度得到，对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，令，整理得，所以单调递减区间为，显然时，单调递减区间为，因为，故D正确.故选：ABD.12．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知函数的最小正周期为．(1)求和的对称中心；(2)求在上的最值并求相应的的值．【答案】(1)，(2)时，取得最小值；时，取得最大值3．【详解】（1）因为的最小正周期为，所以，则，所以，由得，，所以的对称中心．（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值3．13．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为．(1)求的值以及函数的单调减区间；(2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．【答案】(1)，(2)最小值为，对应的取值为【详解】（1）由题意得，，∴.由得，，∴函数的单调减区间为.（2）由（1）得，，∴，∴函数的最小值为，由得，，综上得，函数的最小值为，对应的取值为.14．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．(1)求函数的解析式；(2)当，方程有解，求实数的取值范围；(3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，所以，得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，因为，所以，故．（2），即有解，由，得，所以，所以，所以，即．（3），设，则，由“方程在区间上恰有三个实数根”，得“方程在区间上恰有三个实数根”，则的图象如下：即，由图得，，，即，综上．15．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数.(1)求函数的图象的对称中心；(2)求的单调递增区间；(3)若函数在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)，(3)【详解】（1）因为，令，，得，，所以的图象的对称中心为，.（2）令，，得，，所以，函数的单调递增区间为，.（3）当时，，令，，因为函数在上有且仅有两个零点，则必有函数在上有且仅有两个零点，即，即，所以，函数与直线有两个交点，如下图所示：由图可知，当时，即当时，函数与直线有两个交点，因此，实数的取值范围是.

考点考点三利用三角函数的性质求参数1．（24-25高三下·广东广州·开学考试）已知函数在上仅有一个极值点，且，则的值为（

）A．6 B． C． D．【答案】C【详解】当时，，因为函数在上仅有一个极值点，可得，所以．由于，故有两种情况：①的图象关于直线对称，可得，解得，又，所以；②的最小正周期满足，解得，由于，故不存在满足条件的．综上，．故选：C．2．（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可知，解得又，故的取值范围为故选:3．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）若函数在区间内有两个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设上有两个零点，所以，可得.故选：B4．（24-25高三上·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以时，则有，因为在区间内有最大值，但无最小值，结合函数图象，得，解得.故选：D.5．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由的定义域为，时，，结合正切函数的单调性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能为0或1，时，结合可知；时，，于是.故选：D6．（24-25高三上·内蒙古·期末）已知函数，若在区间上有极大值无极小值，则的取值范围是．【答案】【详解】，因为，则，又，由题意得解得．故答案为：.7．（24-25高三上·江西·期末）函数在上的值域是，则的取值范围是【答案】【详解】当时，，当时，，则，所以α的取值范围是故答案为：8．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是.【答案】【详解】因为，，函数在区间恰有三个极值点，两个零点，所以，解得.故答案为：9．（24-25高三上·河南周口·期末）若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为.【答案】【详解】由题可知，且，解得，又的图象在上单调，且，可得，解得，故的取值范围为.故答案为：10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知函数．若方程在区间内无解，则的取值范围是．【答案】【详解】因为，，令，解得，所以的零点分别为，，，，，，因为方程在区间内无解，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：

考点考点四定义法求三角函数性质1．（2025·福建福州·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．为奇函数 B．的一个周期是C．的一条对称轴为 D．的值域是【答案】BD【详解】对于A，函数的定义域关于数0对称，，且不恒为0，则为偶函数，不为奇函数，A错误；对于B，，的一个周期是，B正确；对于C，，的图象关于不对称，C错误；对于D，当时，，其中锐角由确定，而，则，因此，由选项A知，当时，，由选项B知，在定义域上，于是的值域是，D正确.故选：BD2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习·多选）已知函数，则（

）A．是非奇非偶函数B．直线不是图象的对称轴C．在区间上恰有8100个零点D．当时，方程在区间内最多有13个不等实根【答案】BCD【详解】对于A，由，所以是偶函数，错误；对于B，，当时，，当时，，故不恒成立，即的图象不关于直线对称，正确；对于C，当时，，故当时，是周期函数，其中一个周期为，只需考察在上的情况，当时，，当时，，画出在区间上的图象，如下图所示．由图可知，在上恰有2个零点，由周期性知在上有4050个零点，由为偶函数得，在上也有4050个零点，故在区间上有8100个零点，正确；对于D，作出函数在上的图象如下，令，，则方程可化为，当时，，不成立，当时，，等价于在时，直线与函数图象的交点，而的图象如下：由图可知，当，即时，，由可知在上有13个不等实根；当，即时，，由知在上有12个不等实根；当，即时，，由可知在上有6个不等实根；当，即时，无实根．综上，当时，方程在区间内最多有13个不等实根，正确．故选：BCD3．（2025·陕西安康·二模·多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．此函数的周期为 B．此函数图象关于直线对称C．此函数在区间上有6个零点 D．此函数在区间上单调递减【答案】BD【详解】对于A，，函数周期不为，A错误；对于B，，图象关于直线对称，B正确；对于C，，由，得或，又，则，函数在区间上有7个零点，C错误；对于D，，当时，，，，因此，函数在区间上单调递减，D正确.故选：BD4．（2025·广东深圳·一模·多选）已知函数，则（

）A．为周期函数B．存在，使得的图象关于对称C．在区间上单调递减D．的最大值为【答案】AC【详解】由于，故，所以为的周期，A正确；函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以为奇函数，假设图象关于对称，则函数为偶函数，所以，故，所以，又，所以为函数的对称轴，所以，但，，所以，