浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

2024-2025学年第一学期期末考试试卷九年级数学考生须知：1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．参考公式：抛物线的顶点坐标是．试卷Ⅰ（选择题，共30分）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1.下列选项中的运动，属于旋转变换的是（）A.升国旗的过程 B.摩天轮的转动C.汽车刹车时的滑动 D.电梯的运行2.已知，则等于（）A. B. C. D.3.在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（）A. B. C. D.4.已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（）A.3 B.4 C.5 D.65.在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（）A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位6.如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（）A. B. C. D.7.如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（）A. B. C. D.2：18.如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（）A.， B.， C.， D.，9.已知抛物线，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是（）A.0个 B.2个 C.3个 D.4个10.等腰，，，，则（）A.3 B. C. D.4试卷Ⅱ（非选择题，共90分）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）11.抛物线的对称轴是_____．12.已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________．13.如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则______．14.如图①是小聪帮妈妈做一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是______cm．15.如图（1），已知扇形，作如下操作：步骤1：以，为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2．直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，（如图②）经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是______．16.已知抛物线，回答下列问题：（1）无论取何值，抛物线恒过定点______和______；（2）当且抛物线顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是______．三、解答题（本大题有8小题，第17、18小题每小题6分，第19、20每小题8分，第21、22每小题10分，第23、24每小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.已知二次函数的图象经过点和点．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数图象与轴，轴交点坐标．18.2024山下湖・世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．（1）若随机抽取一张，求抽到卡片概率；（2）若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率．19.如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．（1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的；（2）图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的．20.如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，．（1）求的值；（2）求长．21.每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．（1）求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）；（2）现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度．22.如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和．（1）证明：；（2）若，，求的长．23.已知二次函数（，，是常数，且）．（1）若，函数图象过点．①用含的代数式表达；②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．（2）若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．24.如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点．（1）若，求的度数；（2）求证：；（3）若，，，求的长．

2024-2025学年第一学期期末考试试卷九年级数学考生须知：1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．参考公式：抛物线的顶点坐标是．试卷Ⅰ（选择题，共30分）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1.下列选项中的运动，属于旋转变换的是（）A.升国旗的过程 B.摩天轮的转动C.汽车刹车时的滑动 D.电梯的运行【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键．根据旋转的定义逐项判断即可．【详解】解：A．升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；B．摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意；C．汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题故选：B

．2.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质设，代入计算即可得到答案．【详解】解：，设，，故选：A．3.在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式计算即可．【详解】解：根据题意得任意摸出一球是红球的概率是，故选：C．4.已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．【详解】解：设半径为r，根据题意得，故选：D．【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内．5.在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（）A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案．【详解】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，抛物线向上平移3个单位得到，平移方式是向上平移3个单位，故选：C．6.如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，得到，得出，即可得到答案．【详解】如图，连接，是的中点，，，，故选：A．7.如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（）A. B. C. D.2：1【答案】B【解析】【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：与是位似图形，，与的位似比是．与的相似比为，与的面积比为，故选：B．8.如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质得到，得出，根据三角形内角和定理求出，根据弧长公式，扇形面积公式求出点运动路径长度及边扫过的面积即可．【详解】解：直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，，，，，点运动路径长度为，边扫过的面积为，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．9.已知抛物线，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是（）A.0个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，确定抛物线的开口向上，顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得到顶点坐标为，即可得到答案．【详解】解：抛物线，抛物线的开口向上，顶点坐标为，抛物线的顶点在轴下方，到的距离等于，在轴的上方到的距离等于的点有个，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是个，故选：C．10.等腰，，，，则（）A.3 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键.将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论.【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，或（不符合题意，舍去），故选：B.试卷Ⅱ（非选择题，共90分）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）11.抛物线的对称轴是_____．【答案】直线【解析】【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．【详解】解：，抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，故答案为：直线．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．12.已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________．【答案】4【解析】【分析】根据比例中项的概念，可得，可得，即可得到的值，注意线段的长为正数．【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，且，，∴，∴，解得，又∵线段的长度是正数，∴．故答案为：【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．13.如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．【详解】解：根据题意，，，∴，故答案为：．14.如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是______cm．【答案】【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点，根据题意得，，，，，，锅盖最低点到的距离是，故答案为：．15.如图（1），已知扇形，作如下操作：步骤1：以，为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2．直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，（如图②）经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了扇形面积计算，线段垂直平分线的定义和尺规作图，勾股定理，根据题意可得直线l垂直平分，则，，由勾股定理得到，再由扇形面积计算公式得到，则．【详解】解：由作图方法可知，直线l垂直平分，∴，，由作图方法可知，∴，设，∵扇形面积为，∴，∴，故答案为：．16.已知抛物线，回答下列问题：（1）无论取何值，抛物线恒过定点______和______；（2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是______．【答案】①.②.③.或【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点；（2）根据题意得到对称轴为直线【详解】解：（1）根据题意，，令，则或，当时，，当时，，无论取何值，抛物线恒过定点，，故答案为：，；(2)由题意，先将抛物线化为顶点式：，顶点纵坐标为，展开．因为时，，，当且仅当时等号成立，，对于，有，当且仅当，即时等号成立．此时顶点纵坐标最大，抛物线为，其对称轴．当时，随的增大而增大．已知抛物线经过，且，因为关于对称轴的对称点为，所以或．故答案：或．三、解答题（本大题有8小题，第17、18小题每小题6分，第19、20每小题8分，第21、22每小题10分，第23、24每小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.已知二次函数的图象经过点和点．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数图象与轴，轴的交点坐标．【答案】（1）（2）和；【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标．本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【小问1详解】解：二次函数的图象经过点和点．∴，解得，∴．【小问2详解】解：由，当时，，∴抛物线与y轴的交点坐标为；当时，，解得，∴抛物线与x轴的交点坐标为和．18.2024山下湖・世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．（1）若随机抽取一张，求抽到卡片的概率；（2）若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可；（2）用画树状图的方法解答即可．本题考查了简单地概率公式，画树状图法其余概率，熟练掌握公式是解题的关键．【小问1详解】解：共有4种等可能的结果，A有1种，故抽到卡片的概率为．【小问2详解】解：根据题意，画树状图如下：由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种，∴恰好选中和同时被抽中的概率．19.如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．（1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的；（2）图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了基本作图，平行四边形判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积性质，熟练掌握作图是解题的关键．（1）图①中，利用同高的两个三角形的面积之比等于对应底的比，取画图即可；（2）利用平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，使得即可．本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理【小问1详解】解：如图，使得，连接.则面积为面积的；则点D即为所求．【小问2详解】解：如图，构造平行四边形，且，使得，设与交于点E．∵，∴，则面积为面积的；则点E即为所求．20.如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，．（1）求的值；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．（1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题；（2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题．【小问1详解】解：因为，所以．又因为，所以，故答案为：；【小问2详解】解：因，所以，因为，所以，又因为，所以．21.每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．（1）求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）；（2）现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度．【答案】（1）（2）米【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式．（2）根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，再计算的值，解答即可．本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【小问1详解】解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，．∴，，，，故抛物线的对称轴为，则，设抛物线的解析式为，把代入解析式，∴，解得，故抛物线的解析式为：．【小问2详解】解：根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，得，故．故立柱长度为米．22.如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和．（1）证明：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，相似