陕西省西安市高新第二高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

高一数学第一次月考试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等向量是（）A.与 B.与 C.与 D.与2.设，则（）A. B.C. D.P与Q的大小与a有关3.已知函数的定义域是，则的定义域为（）A. B. C. D.4.在中，角所对边分别为，且，（）A. B.或 C. D.或5.如图，已知中，为的中点，，若，则A. B. C. D.6.已知向量，，，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.7.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.对于任意向量，，，下列命题中正确的是（）A.若，则与中至少有一个为 B.向量与向量夹角的范围是C若，则 D.10.已知为斜三角形，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，则（）A. B.的最小值为2C.若，则 D.若，则11.在给出的下列命题中，正确的是（）A.设是同一平面上四个点，若，则点必共线B.若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C.已知平面向量满足则为等腰三角形D.已知平面向量满足，且，则是等边三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：__________.13.已知平面向量满足与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______.14.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是边的中点，且，则的面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设全集为，已知集合，（1）当时，求（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.16.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若的面积为，求．17.设两个向量满足，（1）求方向的单位向量；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．18.上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.（1）当米时，求分隔栏的长；（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.19已知向量，，函数，（1）若，，求的值；（2）在中，角，，对边分别是，，，且满足，当取最大值时，，面积为，求的值.

高一数学第一次月考试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（）A.与 B.与 C.与 D.与【答案】C【解析】【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以，，，，故ABD错误，C正确.故选：C.2.设，则（）A. B.C. D.P与Q的大小与a有关【答案】C【解析】【分析】根据作差法比较大小即可.【详解】因为所以.故选：C.3.已知函数的定义域是，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可.【详解】因为函数定义域是，即，则；对于函数，可知，解得，所以函数的定义域为.故选：C.4.在中，角所对边分别为，且，（）A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求得，结合边的大小关系即可得解.详解】由正弦定理有，即，解得，注意到，由大边对大角有，所以.故选：A.5.如图，已知中，为的中点，，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.【详解】因为，所以，.故.故选：C.【点睛】本题考查向量线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.6.已知向量，，，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解..【详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，，，所以，因为，，所以，即向量与向量的夹角为.故选：D.7.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得出，求出取值范围，由此可求得的取值范围.【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，当点位于正六边形的顶点时，取最大值，当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，所以，.所以，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8.边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，然后利用三角函数和三角恒等变换等知识求得到范围.【详解】如图，以正三角形的高为轴，以内切圆圆心为原点，建立直角坐标系，因为正三角形边长为2，根据三角形面积公式得到，所以内切圆半径为，则设，，则，因为，即，所以，解得，则，因为，则，则，所以.故选：D【点睛】关键点点睛：求出内切圆半径，设，由，可解出，利用三角函数和三角恒等变换求范围.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.对于任意向量，，，下列命题中正确的是（）A.若，则与中至少有一个为 B.向量与向量夹角的范围是C.若，则 D.【答案】CD【解析】【分析】根据向量的数量积、夹角、垂直、运算律等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A，当为非零向量，且时，，所以A选项错误.B，向量与向量夹角的范围是，所以B选项错误.C，若，则，C选项正确.D，，D选项正确.故选：CD10.已知为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A. B.的最小值为2C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据正弦定理化简，结合推导出，然后化成正切的式子，得到，判断出A项正确；根据基本不等式取等号的条件，得到当的最小值时，，此时为等腰直角三角形，与题设矛盾，可知B项不正确；利用正弦定理证出，结合余弦定理，证出，判断出C项正确；若，利用余弦定理与三角恒等变换公式，化简得到，求得或，可知D项不正确．【详解】A．由，得，因为，所以，两边都除以，得，整理得，故A项正确；B．若的最小值为2，则此时，可得，结合，得，此时，可得，与为斜三角形矛盾，故B项不正确；C．若，由正弦定理，得，结合，可得，所以，可得，由余弦定理得，因此，，整理得，故C项正确；C．，若，则，可得，即，结合为三角形的内角，可知或，所以或，故D项不正确．故选：AC．11.在给出的下列命题中，正确的是（）A.设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B.若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C.已知平面向量满足则为等腰三角形D.已知平面向量满足，且，则是等边三角形【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C，根据向量的运算性质可得OA为BC的垂线且OA在的角平分线上，从而可判断C；对于D，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；【详解】对于A，，∴，∴，且有公共点C，∴则点A、B、C共线，命题A正确；对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件不共线，故B错误；对于C，由于，即，，得，即OA为BC的垂线，又由于，可得OA在的角平分线上，综合得为等腰三角形，故C正确；对于D，平面向量、、满足，且，∴，∴，即，∴，∴、的夹角为，同理、的夹角也为，∴是等边三角形，故D正确；故选ACD.【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：__________.【答案】【解析】【分析】根据分式指数幂运算法则及换底公式计算即可得出结果.【详解】易知原式故答案为：13.已知平面向量满足与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______.【答案】或【解析】【分析】根据数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得.【详解】因为，所以，又向量与的夹角为，且，所以，所以向量在向量上的投影向量为.设，由与得，解得或，所以或，所以向量在向量上的投影向量为或.故答案为：或14.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是边的中点，且，则的面积为________.【答案】或【解析】【分析】利用正弦定理进行边化角求出角A，结合向量中线定理求解，最后利用三角形面积公式求面积即可.【详解】因为，所以．由正弦定理得，因为，，所以，则，而，解得或，因为点是边的中点，且，所以，得到，即，当时，，解得(负根舍去)，即，此时的面积为，当时，，解得(负根舍去)，即，此时面积为．故答案为：或四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设全集为，已知集合，（1）当时，求（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）运用指数函数单调性求出B，再根据集合的补运算和并集运算，求解即可；（2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可.【小问1详解】当时，，或，又因为，则或【小问2详解】因为“”是“”成立的充分条件，则，集合，，当，即，即，符合题意；当时，，解得：综上所述，实数m的取值范围是16.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若的面积为，求．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由已知，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理求得即可求解；（2）由三角形面积公式求得，根据及余弦定理得出，再由完全平方公式即可求解．【小问1详解】由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又，所以．【小问2详解】因为的面积为，所以，即，由，则，即，所以，即．17.设两个向量满足，（1）求方向的单位向量；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解；（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与向量反向共线求解.【小问1详解】由已知，所以，所以，即方向的单位向量为；【小问2详解】由已知，，所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且向量不与向量反向共线，设，则，解得，从而，解得.18.上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.（1）当米时，求分隔栏的长；（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.【答案】（1）米（2）平方米【解析】【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出；（2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】因为，所以，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的长为米；【小问2详解】因为，，设，，则，在中，由正弦定理得，所有，则，当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.19.已知向量，，函数，（1）若，，求的值；（2）在中，角，，对边分别是，，，且满足，当取最大值时，，面积为，求的值.【答