湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

第1页/共1页2025年湖北云学名校联盟高一年级3月联考数学试卷命题学校：钟祥一中命题人：李铠峰贾晶晶付万丽审题人：云学研究院考试时间：2025年3月10日15:00－17:00时长：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和管题卡一并上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别通过解不等式以及求函数的定义域可得集合A，B，再求交集即可.【详解】因为，，所以，故选：C.2.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出答案.【详解】由题意可知函数上单调递增，又，即，故函数的零点所在区间为，故选：B3.已知非零向量与共线，下列说法正确的是（）A.与共线 B.与不共线C.若，则 D.若，则是一个单位向量【答案】D【解析】【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项.【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误；若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误；根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确；故选：D4.已知，集合，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别化简集合和，根据充分性和必要性定义判断即可.【详解】因为，由解得或，或，由解得或，即或，因为，所以，所以，所以是的真子集，所以是的充分不必要条件.故选：A5.纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇环的面积公式来求得正确答案.【详解】大扇形半径为，则小扇形半径为，，所以上弧长，下弧长为，所以扇环也即扇面的面积为.故选：B6.已知角为的一个内角，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.【详解】因为为三角形内角，所以，所以，又因，且，所以，所以，所以，由二倍角公式有：.故选：A7.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.【详解】由题设，函数在上单调递增，易知在上单调递减，当时，满足题设，当时，或，综上，.故选：B.8.已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（）A. B.0 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数关于点对称，再结合条件可得函数是周期为的周期函数，代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，即函数关于点对称，所以，又因为，则函数关于直线对称，即，所以，令，则，，即，所以，即，函数是周期为的周期函数，又当时，，则，，则，，，则.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，下列不等关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由不等式性质可判断A；由对数函数的性质可判断BD；由幂函数性质可判断C.【详解】对于A，因为，结合不等式性质可知，A正确；对于B，由于，故，B正确；对于C，，则幂函数在上单调递减，故，C错误；对于D，由于，故，D错误；故选：AB10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.在的值域为C.将的图像向左平移个单位后为奇函数D.的单调递增区间为，【答案】ACD【解析】【分析】由正弦型函数的图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质逐项求解判断即可.【详解】对于A，由图可知，，，所以，所以，故，所以，由得，故A正确；对于B，所以，，所以，所以的值域为，故B错误；对于C，将的图像向左平移个单位后得，是奇函数，故C正确；对于D，，由，，解得，即，，所以单调递增区间为，，故D正确.故选：ACD11.已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（）A. B.C. D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得函数与有4个不同的交点，根据图象可求得，，进而计算可判断每个选项的正误.【详解】若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，则函数与有4个不同的交点，在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示：当或，，又时，则由图象可知函数与有4个不同的交点时，可得，故A正确；且，当时，是方程的两个实数根，所以是方程的两个实数根，由根与系数的关系可得，故B正确；当时，是方程的两根，所以，所以，所以，，所以，故C错误；因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所认有最小值，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于利用，得到，进而结合基本不等式求得最小值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可.【详解】幂函数是偶函数，，解得或，当时，为奇函数，不符合题意，当时，为偶函数，符合题意，,在内单调递增，且为偶函数，可化为，两边取平方可得：，整理的，解得，的解集为.故答案为：.13.已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先由的正负分类讨论（可先由时函数的单调性判断），再时的函数为二次函数形式判断求解．【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意；若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值；若，则时，是减函数，，时，，因此在时是增函数，由得，所以，当时，，的最小值是，不是，不合题意，综上，的取值范围是．故答案为：14.已知函数在时取得最大值．且关于点中心对称，当取得最小值时，的值为________．【答案】##【解析】【分析】根据题设得到，讨论的取值，结合确定的最小值，从而求解.【详解】因为函数在时取得最大值，且关于点中心对称，所以，两式作差得，所以，因为，即，得，，当时，，将代入，得，不满足，不合题意；当时，，将代入，得，当时，，满足，当时，，所以的最小值为，此时，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.计算下列各式的结果：（1）；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数与对数计算公式直接化简可得值；（2）利用诱导公式及同角三角函数关系式化简求值.【小问1详解】；【小问2详解】由诱导公式可知，即，所以.16.已知命题，，命题，．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得在有解，利用对勾函数求得的最大值即可；（2）利用不等式的解集为，可求得q为真命题时，实数m的取值范围，结合已知可求得命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围.【小问1详解】因为，，可得在有解，所以，令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增，又，，所以，所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为；【小问2详解】若，，则，解得．所以q为真命题时，实数m的取值范围为；当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以，当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以，综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为．17.“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．（1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）（2）50；2200【解析】【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润；（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意可知，当时，，当时，，所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为.【小问2详解】当时，，开口向下，所以当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立，此时，因为，所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200.18.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，若在内恰有3个零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.（2）利用图象变换求出值，再利用正弦函数性质求出范围.【小问1详解】依题意，，由，解得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，得，再把所有点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得，则，得，因为，所以，所以的解析式为，由，得，由函数在区间上有3个零点，得，解得，所以的取值范围是.19.设函数的定义域为D，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为1；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为2；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为n．（1）求函数，在上的增长系数；（2）若3和4都是函数在上的增长系数，求a的取值范围；（3）若函数，在上的增长系数仅为n，求n的最小值及此时m的取值范围．【答案】（1）在上的增长系数为1；在上的增长系数为2；（2）（3）n的最小值为5；【解析】【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可；（2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可；（3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可.【小问1详解】因为函数在上单调递增，当时，；当时，，所以，而，所以函数在上的增长系数为1；因为函数在上单调