2024年青海高考数学(理)试题及答案

2024年青海高考数学（理）试题及答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设z=5+i,则«z+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】结合共匏复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+i=5=5—i,z+彳=10,则i（N+z）=10i.

故选：A

2.集合A={1,2,3,4,5,9},B=N«£A},则G（AC4）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D,{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合〃的定义求出乩结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为4={1,2,3,4,5,9},8=卜|«£4卜所以8={1,4,9,16,25,81},

则AQ5={1,4,9},6（4叫={2,3,5}

故选：D

4x-3y-3>0

3.若实数MN满足约束条件x-2y-2W（）,则z=x—5.y的最小值为（）

2x+6y-9<0

7

A.5B.iC.-2D.--

22

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数为>满足r-2y-2V0,作出可行域如图：

2x+6y-9<0

即工的几何意义为y=!z的截距的一，,

55

则该直线截距取最大值时，Z有最小值，

此时直线y=gx—gz过点A,

4x-3y-3=0..<3)

联立《C/c八，解得《2,即A—1,

2x+6y-9=0)，二1「7

7

则2=5x,=

minl--2

故选：D.

4.等差数列｛q｝的前〃项和为S”若S=工。，%=1，则%=()

7

A.-2B.一C.1D,2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由Ss=Wo结合等差中项的性质可得仆=0,即可计算出公差，即可得修的值.

【详解】由Sn)-&=&+%+%+/+40=5%=0,则4=0,

则等差数列｛q｝的公差d=矢生=_；,故q=%_4d=]_4x

故选：B.

5.已知双曲线的两个焦点分别为10,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()

A.4B.3C.2D.6

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2a结合双曲线定义计算可得2〃，即可得离心率.

【详解】设£（0,-4）、6（0,4）、P（-6,4）,

则内闾=2c=8,|尸用=将+(4+4『=10.|p^|=^62+(4-4)2=6.

2c8

则2。=归用一|尸周=10—6=4,则6==2.

2a~4

故选：C.

6.设函数/（工）=卫考廿，见曲线y=/（x）在（0,1）处的叱线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

1I

A.-B.-C.1D.-

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点（0,1）处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其

面积.

(e'+2cosx)(l+x2)-(eA+2sinx)-2x

/3=

【详解】("Y

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin())x0

则:(0)==3.

(1+0)2

即该切线方程为y-l=3x,即），=3x+l,

令x=0,则y=l,令,一。，则^=-,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积^=TX1X-T=T.

故选：A.

7.函数=卜加在区间［-2.8,2.8］的大致图像为（）

A."x=-3"是的必要条件B."x=—3"是ua//bn的必要条件

C."x=0'1是ZJ.。”的充分条件D."工=一1+6”是“aUb”的充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当々J.〃时，则〃力=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得戈=。或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(l,0),b=(0,2),故。6=0，

所以〃_!_/?，即充分性成立，故C正确；

对B,当〃//〃时，则2(x+l)=./，解得工=1士百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当犬=-1+6时，不满足2(x+l)=f,所以＞//〃不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.设a、夕是两个平面，团、〃是两条直线，且a/=/〃.下列四个命题：

①若小〃乩则〃〃a或〃②若根_!_〃，则〃_La,〃_L/7

③若〃〃a,且〃//〃，则〃④若〃与。和£所成的角相等，则相_!_〃

其中所有真命题的编号是()

A.®®B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当〃ua,因为〃"/〃，mu0,则〃//4，

当〃u力，因为〃2〃〃，mua,则〃//a,

当〃既不在a也不在月内，因为〃〃/〃，mua,mu0、则〃//a且〃///，故①正确；

对②，若〃71.〃，则〃与a,夕不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,P分别相交于直线$和直线t.

因为〃//a,过直线〃的平面与平面。的交线为直线$,则根据线面平行的性质定理知〃//s,

同理可得〃/〃，则S/〃，因为sa平面，u平面£,则s//平面

因为su平面a,=则$//〃?，又因为〃//s,则加〃〃，故③正确；

对④，若=与a和£所成的角相等，如果〃///〃///,贝故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

9

11.在“BC中内角AB,C所对边分别为ahc,若8=；,b2=—ac,则sinA+sinC=:)

34

A.-B.V2C.立D.B

2722

【答案】C

【解析】

i13

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=—，再利用余弦定理有/+。2=一。。，再利用正弦定理得到

34

si/A+sin2c的值，最后代入计算即可.

7rq4I

【详解】因为B=—,/二二伏：，则由正弦定理得sinAsinC二一41?8=—.

3493

、、、9

由余弦定理可得:=«■+€---ac=-ac,

4

,。13,,1313

即:/+<?=—ac,根据正弦定理得sin24+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

7

所以(sinA+sinC)?=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

因为AC为三角形内角，MsinA+sinOO,MsinA+sinC=--

故选：c.

12.已知6是出。的等差中项，直线"+b，+。=0与圆f+产+4），-1=0交于A8两点，则|4吊的最小

值为（）

A.2B.3C.4D.2亚

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为。，4C成等差数列，所以2〃=a+c\c=2b-a.代入直线方程ar+b+。=0得

/\\x—1=0fx=1

ax+by+2b-a=0,即4（x-l）+/?（y+2）=0,令.?（）得4-，

[y=-2

故直线恒过（1,一2）,设网1,一2）,圆化为标准方程得：C:x2+（）,+2）2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当PC_LA8时,|最小，

\PC\=i\AC\=\r]=45,此时|八同=2|/^=2）402_尸。2=275-1=4.

cf

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

（\V0

13.11+的展开式中，各项系数的最大值是.

【答案】5

【解析】

f

国工嘲广

（

1,',进而求出「即

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有V0

叫”唱

（

可求解.

10-r

【详解】由题展开式通项公式为C；。(g)

Z.0工厂410且，e2,

10-r<］丫_r

Cr/I

Jo5;

设展开式中第，，+1项系数最大，则10-r11-r

cr1

Jo©

2-9

r>4

故

即2T9-<r-<3_3Gr=8

4xrz.

3_3

r<

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.

故答案为：5.

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为弓和弓，母线长分别为2(弓一耳)和3亿一4),则两个圆台

的体积之比含=.

y乙

【答案】国

4

【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高,再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解.

【详解】由题可得两个圆台的高分别为偏=编了一上一炉=6(/—4)，

心=拒(「切2-(4一力=26(r「讣

所以％[(邑+斗同)4G«r)=3

y乙小2十号+展引屹屹2正心-2)4

故答案为：见.

4

115

15.已知a>l,--------7=--,则。=_____.

log/log42

【答案】64

【解析】

【分析】将logs凡log”4利用换底公式转化成log2来表示即可求解.

,.1131.5

【详解】由题；整理得（z〃）

"----------------=----------log26Z=--,vlog7-51og^/-6=0,

logilog.4log2a22.

=>log2«=-1<log2a=6,又。>1,

所以Iog2〃=6=log226,故々=26=64

故答案为：64.

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球•记加

为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则〃7与〃差的绝对值不超过g的

概率是_____.

7

【答案】记

【解析】

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为。为，第三个球的号码为c,则

。十人一3<2。<。+〃+3,就。的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为。力，第三个球的号码为J则“+*-空档,

故|2（?-（。+例43,^-3<2c-（a+b）<3,

故〃+人一3W2c〈a+/?+3,

若c=L则〃+人工5,则（。力）为：（2,3）,（3,2）,故有2种，

若c=2,则13^7,则（。⑼为：（1,3）,（1,41（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3』）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10种，

当c=3,则3W〃+/?W9,则为：

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16种,

当c=4,则同理有16种，

当c=5,则7＜。+8＜13,同理有10种，

当c=6,则94。+〃415,同理有2种，

共加与〃的差的绝对值不超过;时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为需=5.

7

故答案为：—

JLJ

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考

题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进

行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,设万为升级改造后抽取的/?件产品的优级品率.如果

万＞〃+1.65秒;亘，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为

生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(病。12.247)

附:f悬J

P[K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510,828

【答案】（1）答案见详解

（2）答案见详解

【解析】

【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算K?，并与临界值对比分析；

⑵用频率估计概率可得万=0.64,根据题意计算〃+1.65J迫二互，结合题意分析判断.

【小问1详解】

根据题意可得列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得犬」5。畋3。二2也。亡差"6875

50x100x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

【小问2详解】

96

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为——=0.64.

150

用频率估计概率可得万=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率P=0.5,

则〃+L65、严^=。.5+1.65、尸西

0.5+1.65x()-5

«0.568-

VnV15012.247

可知/〉〃+1.65小〃(：；〃),

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了

18.记S”为数列｛4｝的前〃项和，且4S〃=3%+4.

(1)求｛%｝的通项公式，

⑵设”二(一1产〃4,求数列｛〃｝的前〃项和为。.

【答案】⑴生=4•(-3产

(2)7；=(2〃-1)3+1

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求｛〃〃｝的通项公式.

(2)利用错位相减法可求7；.

【小问1详解】

当〃=1时，4,=4q=3%+4,解得％=4.

当〃N2时，4s+4,所以4S”一4sl=4%=3%-3^_,即%二一361,

而4=4工0,故《尸0,故且_=-3,

an-l

•・・数列｛见｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以勺=4・(-3广］

【小问2详解】

bn=(一I)”7•小4•(一3产=4〃-3”、

所以刀,=々+%+仇+•,•+〃=4・3°+8・3+12・32++4小3'1

故3方=4・3+8・32+12・33+.・+4〃・3”

所以一27；=4+43+4・32+・・・+4,3"T_4〃・3”

=4+4.3（1_3'"）_4〃.3“=4I23（3”T_1）_423”

1-3

=（2-4〃>3”-2,

]=（2〃-l>3"+l.

19.如图，在以4B,C,D、E尸为顶点的五面体中，四边形力比。与四边形4?炉均为等腰梯形,

BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=®FB=26M为A力的中点.

(1)证明：6M//平面CDE；

(2)求二面角产一身0—七的正弦值.

【答案】(1)证明见详解；

⑵逋

13

【解析】

【分析】(1)结合已知易证四边形ACZW为平行四边形，可证技0〃C。，进而得证；

(2)作8O_LAO交AD于。，连接OF,易证。氏O。,。尸三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公

式即可求解.

【小问1详解】

因为BCHAD,EF=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形3CZW平行四边形，所以BM//CD,又因为冏0a平面COE,

CDu平面CDE,所以BMH平面CDE；

【小问2详解】

如图所示，作80_LA£＞交AO于。，连接OF,

因为四边形A5CO为等腰梯形，BC〃AD,AD=4,AB=BC=2,所以8=2,

结合(1)8CDW为平行四边形，可得8W=CD=2,又AM=2,

所以.为等边三角形，。为AM中点，所以0B=6.

又因为四边形A0ER为等腰梯形，M为AO中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形为平行四边形，FM=ED=AF'

所以△AFM为等腰三角形，cA5M与底边上中点。重合，O/LAM.OF=>JAF2-AO2=3.

因为0^2+0/2=3/2,所以。8_LOF,所以。氏00,0尸互相垂直，

以。8方向为人轴，oo方向为y轴，方向为z轴，建立。一冷，z空间直角坐标系,

尸(0,0,3),B(V3,O,O),M(O,1,O),E(O,2,3),BM=(-73,1,0),BF=,0,3),

BE=(-V3,2,3),设平面BFM的法向量为m=(%,X,4)，

平面的法向量为〃=(W，%，Z2)，

\niBM=0-6x\+y=0

则.，即《,令$=公，得呼=3,4=1,即而=(J5,3,1),

\mBF=0_,3犬［+3Zj=0

nBM=0->/3X2+%=0

则,即,令9=G,得必=3,Z2

-43x+2乃+3z=0

Ln-BE=022

即〃=(/瓜r-31)\,c。…一-=丽mn=7^117=后11则皿几〃二4管c

故二面角F-BM-E的正弦值为逑.

13

在。上，且用/_Lx轴.

(1)求。的方程；

(2)过点d(4,0)的直线与。交于43两点，N为线段FP的中点，直线N8交直线何产于点Q,证明：

A。，）轴.

【答案】⑴—+^-=1

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设/（c,0）,根据”的坐标及胸大轴可求基本量，故可求椭圆方程.

⑵设A8:），=攵（％-4）,4（x，yJ,网和％），联立直线方程和椭圆方程，用A8的坐标表示y「），Q,

结合韦达定理化简前者可得＞1-^=0,故可证AQ1），轴.

【小问1详解】

由题设有且故心！=3

设尸（G。）,C=I故4=2,故/?二G

a2a2

故椭圆方程为三+X=i.

43

【小问2详解】

直线A5的斜率必定存在，设AB：y=Z（x-4）,A（X],y）,B（w，%），

‘3f+4y2=12

可得（3+4公卜2-—12=0

[y=k（x-4）

A=1024A:4-4（3+4A:2）（64^-12）＞0,故

32k264/一12

又x+x=

l2江正⑷23+4公

3

而呜,0）,故直线3N：尸亡卜一9,故"=芸=在

X-

）22X2--"7

所以丹=吟警

2x?一52%2-5

Mx-4）x（2w-5）+3Z:（X2-4）

2X2-5

964公-12.32公

2大径-5（芯+%）+8X3+4Z「一、3十4出

2X2-52X2-5

128公一24-160S+24+32^2

故必=坨，即AQ_Ly轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(百,)1),(工2，)’2)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或＞)的一元二次方程，注意△的判断；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为番+々、xz(或%+%、y,.y2)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.已知函数/(x)=(l-at)ln(l+x)—x.

(1)当。=一2时，求〃力的极值；

(2)当为NO时./(*)之0恒成立，求〃的取值范围.

【答案】(1)极小值0,无极大值.

⑵a＜--

2

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就一!＜。＜0、。之0分类讨论后可得参数的取值范围.

22

小问1详解】

当〃=一2时，/(X)=(1+2x)In(l+x)-x,

故f\x)=2ln(l+x)+-1=2ln(1+x)一一—+1,

l+xl+x

因为y=2皿(1+1),)，二一上+1在(-1,+8)上为增函数，

故f(x)在(一1,+8)上为增函数，而r(o)=o,

故当一1<戈<0时，f(x)<0,当X>()时，f(x)>0,

故f(x)在x=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值

【小问2详解】

(6Z+1)X

尸(x)=-a\n(1+x)+；依-l=-«ln(l+x)x>0.

l+x

(rz+l)x

设s(x)=-aln(l+x),x>0,

1+x

(4+1)_4(X+l)+4+l_QX+24+1

则’(式)==2

人I1(l+x)2"(l+x1-(1+x)2

当〃W—g时，/(x)>0,故s(x)在(O,y)上增函数,

故s(x)>s(u)=u,即/'(x)〉0,

所以外力在［0,+8)上为增函数，故/(力之吊(0)=0.

当一gva<0时，当0vxv-2",।时,s'(五)<0,

故在0,一---上为减函数，故在0,一一--上s(x)<s(o),

I。Jka)

即在"“里

上r(x)<0即/(力为减函数,

Ia

故在(0,-土」

上/(x)</(0)=0,不合题意，舍

Ia

当〃NO,此时s'(x)<0在(0,+⑹上恒成立，

同理可得在(0,+e)上〃x)v〃0)=0恒成立，不合题意，舍;

综上，aV—.

2

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

(-)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系M2