吉林省xx实验中学2019届高三上第三次月考数学(理)试卷含答案

2019届高三上学期第三次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．i是虚数单位，复数eq\f(1－3i,1－i)＝()A．2＋i B．2－iC．－1＋2i D．－1－2i2．集合A＝{x|x－2＜0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[－2，＋∞)C．(－∞，2]D．[2，＋∞)3．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝()A．4 B．5C．2 D．34．函数的最大值为（）A．B．C．D．5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是（）A．B．C．D．8，86．电商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有()A．12种 B．10种C．8种 D．6种7．已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A. B.C. D.8．在平行四边形ABCD中，AD=1，，E为CD的中点．若，则AB的长为（） A． B．C．1 D．29．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10b11＝2，则a21＝()A．29B．210C．211D．21210．已知实数满足，则的取值范围是（）A．B．C． D．11．已知函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F.若M是抛物线上的动点，则eq\f(|OM|,|MF|)的最大值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(2\r(6),3)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5=14．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2eq\r(2)，则该球的表面积为________．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.16．已知函数，若偶函数满足(其中m，n为常数)，且最小值为1，则__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本题满分12分）已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝eq\f(S2,a2).(1)求{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝eq\f(3,2Sn)，求{cn}的前n项和Tn.18．（本题满分12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的，已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．（Ⅰ）完成下列2×2列联表：运动非运动总计男性女性总计n（Ⅱ）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？（Ⅲ）根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819．（本题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（本题满分12分）设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2的面积S的最大值．21．（本题满分12分）已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设函数，存在，使得成立，求实数的取值范围．22．(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为eq\f(π,6)，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．23．(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数和的图象关于原点对称，且.（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．第三次考试答案1-12BDAABDDBCDBC1.解析：eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f(1－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.答案：B2.解析：由题意得A＝{x|x＜2}，又因为A∩B＝A，所以A⊆B.又因为B＝{x|x＜a}，所以a≥2，故选D.3、解析：第一次循环，得S＝2，否；第二次循环，得n＝2，a＝eq\f(1,2)，A＝2，S＝eq\f(9,2)，否；第三次循环，得n＝3，a＝eq\f(1,4)，A＝4，S＝eq\f(35,4)，否；第四次循环，得n＝4，a＝eq\f(1,8)，A＝8，S＝eq\f(135,8)＞10，是，输出的n＝4，故选A.【解析】A,所以函数的最大值为5、【解析】B由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝×22×2＝；四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，∴S侧＝4××2×＝46.解析：∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有Aeq\o\al(3,3)种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)．答案：D7、【解析】D求导可得要满足题意需有两个不等实根，即，即，又的取法共有种，其中满足的有（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2）共6种，故所求的概率为。8、【解析】B设AB的长为,因为,所以··，由已知可得＝1()，∴，即AB的长为。9.解析：由bn＝eq\f(an＋1,an)，且a1＝2，得b1＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(a2,2)，a2＝2b1；b2＝eq\f(a3,a2)，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝eq\f(a4,a3)，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，所以a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，所以a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.答案：C10.解析D：设2x＋y＝b，则只需求直线2x＋y＝b在y轴上的截距范围．画出可行域为弓形，当直线与圆相切时，截距最大，且为eq\r(5)，当直线过点(0,1)时截距最小，且为1，所以2x＋y的取值范围是[1，eq\r(5)]．11解析B：∵函数f(x)＝x2－cosx为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f′(x)＝2x＋sinx，当0<x<eq\f(π,2)时，f′(x)＝2x＋sinx>0，∴函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上递增，∴f(0)<f(0.5)<f(0.6)，即f(0)<f(－0.5)<f(0.6)，选B.12解析：设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.由|OA|＝|OB|，得xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，∴xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，即(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，即点A，B关于x轴对称．∴设直线OA的方程为y＝x，与抛物线方程联立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))∴|AB|＝4p，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×2p×4p＝4p2.∵△AOB的面积为16，∴p＝2，∴焦点F(1,0)．设M(m，n)，则n2＝4m，m>0，设点M到准线x＝－1的距离等于d，则eq\f(|OM|,|MF|)＝eq\f(|OM|,d)＝eq\f(\r(m2＋4m),m＋1).令m＋1＝t，t>1，则m＝t－1，eq\f(|OM|,|MF|)＝eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(1,3)))2＋\f(4,3))≤eq\f(2\r(3),3)(当且仅当t＝3时，等号成立)．∴eq\f(|OM|,|MF|)的最大值为eq\f(2\r(3),3)，故选C.13.解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝1014、解析：如图，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2eq\r(2)，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝eq\f(5,2)，所以球的表面积S＝4πR2＝25π.答案：25π15、解析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，∴tanα<0，tanβ<0，∴α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－eq\f(3π,4).16解析eq\f(2,3)：由已知得h(－x)＝h(x)，∴(m－n)·4－x＋(n－m)·4x＝0，得m＝n，∴h(x)＝m·(4x＋1)＋m·4－x＝m(4x＋4－x)＋m≥m·2eq\r(4x·4－x)＋m＝3m，当且仅当4x＝4－x，即x＝0时，等号成立，∵函数h(x)的最小值为1，∴3m＝1，得m＝eq\f(1,3)，∴m＋n＝eq\f(2,3).17、解：(1)设数列{bn}的公差为d，∵a3＋S3＝27，q＝eq\f(S2,a2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2＋3d＝18，,6＋d＝q2.))求得q＝3，d＝3，..............3分∴an＝3n－1，bn＝3n.................................6分(2)由题意得Sn＝eq\f(n3＋3n,2)，cn＝eq\f(3,2Sn)＝eq\f(3,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)..........................9分∴Tn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).............................12分18解(1)依题意，被调查的男性人数为eq\f(2n,5)，其中有eq\f(n,5)人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为eq\f(3n,5)，其中有eq\f(n,5)人的休闲方式是运动，则2×2列联表如下：运动非运动总计男性eq\f(n,5)eq\f(n,5)eq\f(2n,5)女性eq\f(n,5)eq\f(2n,5)eq\f(3n,5)总计eq\f(2n,5)eq\f(3n,5)n(2)由表中数据，得K2＝eq\f(n,36)，要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与休闲方式有关”，则K2≥3.841，所以eq\f(n,36)≥3.841，解得n≥138.276.又n∈N*且eq\f(n,5)∈N*，所以n≥140，即本次被调查的人数至少是140.(3)由(2)可知：140×eq\f(2,5)＝56，即本次被调查的人中，至少有56人的休闲方式是运动．19、解：(1)证明：由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(AB2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2)＝eq\r(5).以A为坐标原点，分别以eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(eq\r(5)，2,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，2))，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝(0,2，－4)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，－2)).设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PM,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PN,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－4z＝0，,\f(\r(5),2)x＋y－2z＝0.))取z＝1可得n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，eq\o(AN,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(AN,\s\up6(→))|,|n||\o(AN,\s\up6(→))|)＝eq\f(8\r(5),25).所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为eq\f(8\r(5),25).20、解：(1)设P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(c－x，－y)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2＋y2－c2＝eq\f(a2－1,a2)x2＋1－c2，x∈[－a，a]，由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程eq\f(x2,2)＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得m2＝2k2＋1.设d1＝|F1M|＝eq\f(|－k＋m|,\r(k2＋1))，d2＝|F2N|＝eq\f(|k＋m|,\r(k2＋1)).①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，所以|MN|＝eq\f(1,|k|)·|d1－d2|，∴S＝eq\f(1,2)·eq\f(1,|k|)|d1－d2|·(d1＋d2)＝eq\f(2|m|,k2＋1)＝eq\f(4|m|,m2＋1)＝eq\f(4,|m|＋\f(1,|m|)).∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋eq