工程力学（第2版）课件：力法

工程力学

1力

法

10.1超静定结构及超静定次数10.2力法的基本原理10.3力法计算常用超静定结构的方法10.4对称性的利用10.5超静定结构在温度变化或支座移动时的计算本章学习内容

10.1.1超静定结构与静定结构比较，超静定结构有如下特性：静定结构是无多余约束的几何不变体系，仅由平衡条件就可确定全部内力和反力；而超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅由平衡条件不能确定全部内力和反力，还必须考虑变形协调条件。由于具有多余约束，因支座移动、温度改变等原因，均会使超静定结构产生内力。静定结构内力与自身刚度无关，而超静定结构内力与结构刚度有关。10.1

超静定结构及超静定次数10.1.1超静定结构求解超静定问题，必须综合考虑以下三个方面的条件:（1）平衡条件即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程。（2）几何条件也称为变形条件或位移条件、协调条件、相容条件等，即结构的变形和位移条件必须符合支承约束条件和各部分之间的变形连续条件。（3）物理条件即变形或位移与力之间的物理关系即符合材料性能的本构关系。10.1

超静定结构及超静定次数10.1.2超静定次数的确定结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去除的多余约束的数目。解除约束的方法有以下几种：1）去掉一个支链杆相当于解除一个约束。2）去掉一个铰相当于解除两个约束。10.1

超静定结构及超静定次数10.1.2超静定次数的确定结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去除的多余约束的数目。解除约束的方法有以下几种：3）去掉一个固定端相当于解除三个约束。4）切断一个梁式杆相当于解除三个约束。10.1

超静定结构及超静定次数10.1.2超静定次数的确定结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去除的多余约束的数目。解除约束的方法有以下几种：5）切断梁式杆加入一个铰或将固定支座改为固定铰支座，相当于解除一个约束。10.1

超静定结构及超静定次数10.2力法的基本原理10.2.1力法的基本概念力法以去掉多余约束得到的静定基本结构作为力法基本体系，以多余未知力作为力法的基本未知量，通过基本体系中沿多余未知力方向的位移应等于原结构相应的位移来建立力法基本方程，解方程求出多余未知力；多余未知力求出以后，其它反力和内力的计算问题就转化为静定结构的计算问题，可按叠加法或平衡条件计算。10.2.2力法的基本思路力法的基本思路是设法将未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。举例说明：一端固定另一端可动铰支的超静定梁，具有一个多余的联系（约束）。1.基本结构确定基本结构：解除多余约束（例如图b解除B点的支座）可使超静定结构转换成静定结构，这个静定结构称为基本结构。还可在A端解除限制截面相对转动的约束，一个超静定结构的基本结构可有多种可能。不同的基本结构的求解工作量会有所不同。10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路2.基本未知量这些未知的约束力称为基本未知量。基本未知量即为超静定结构的多余约束的个数。10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路3.基本体系受有外荷载和基本未知量的基本结构称为基本体系。10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路4.力法方程基本体系在荷载和基本未知力共同作用下的位移，可以由叠加原理用静定结构的位移计算方法得到。由图d、e位移叠加可得力法方程10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路5.力法典型方程δij——位移系数，基本结构在单位力Xj=1作用下，在Xi=1作用处沿Xi方向所产生的位移。δii——主系数，基本结构在单位力Xi=1作用下，在Xi=1作用处沿Xi方向所产生的位移。δij——副系数，基本结构在单位力Xj=1作用下，在Xi=1作用处沿Xi方向所产生的位移。主系数恒大于零，副系数可为正、负或零。力法方程的系数只与结构本身和基本未知力的选择有关，是基本结构的固有特性，与结构上的外因无关。力法典型方程10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路5.力法典型方程ΔiF——广义荷载位移，基本结构所受外因引起的沿Xi方向所产生的位移。ΔiC——支座移动和温度变化所产生的沿Xi方向的位移。（可为正、负或零）10.2力法的基本原理10.2.3力法的解题步骤（1）确定超静定次数和基本结构及其基本体系。显然，随着超静定次数的确定，基本结构、基本未知力、基本体系等自然可以确定下来。需要指出的是，一个超静定结构可以用不同的基本结构分析，不同基本结构计算工作量将不同，要选取工作量较少的基本结构。（2）作基本结构在单位未知力和荷载（如果有）作用下的内力图为了求基本结构在未知力、外因作用下的位移（Δij=δijXj、ΔiF），由静定结构位移计算可知，必须要有单位内力图和荷载内力图。1）对桁架结构，内力是轴力。2）对受弯结构，剪力和轴力对变形的影响可以忽略，因此内力是弯矩。3）对于组合结构，桁架杆是轴力、弯曲杆是弯矩。4）对于拱，一般是弯矩和轴力。（3）求基本结构在各单位未知力作用下所引起的沿某单位未知力方向的位移δij，对线性结构δij由单位内力图计算。（4）求外因作用（外荷载、温度改变、支座移动等）引起基本结构沿单位力方向的位移ΔiF可由第i单位内力（反力）根据各种外因引起的位移计算公式来求。10.2力法的基本原理10.2.3力法的解题步骤（5）建立力法方程并求解求得δij、ΔiF后，即可建立力法典型方程（6）作超静定结构内力图根据叠加原理，在求得未知力后，由单位内力乘以对应未知力后和荷载（有的话）内力叠加，即可得到超静定结构内力，依此可作内力图。受弯结构和静定结构一样按弯矩、剪力、轴力的顺序来计算。也可将已求得的与荷载加到基本结构上，然后按静定结构的方法计算全结构内力。（7）求超静定结构位移虽然基本结构有无穷种，但解答是唯一的，这一解答可看作是从任一基本结构求得。所以，有了内力，从任一基本体系出发，可以按静定结构受（多种）外因作用求位移的方法，求超静定结构外因下的位移。（8）校核分析结果由于单位内力、荷载内力都是平衡的，因此即使未知力计算有错，叠加结果仍必然自动满足平衡条件。所以，力法的校核主要是检查变形条件，也即计算位移看是否满足协调条件。10.2力法的基本原理10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.1超静定梁【例10-1】试求作图a所示单跨梁的弯矩图。【解】（1）此梁超静定次数为1，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）单位弯矩图如图d，荷载弯矩图如图e。（3）由M图自乘可得由M图和MF图互乘可得（4）由力法典型方程可得当α=1时（5）由叠加可得图f所示单跨梁的弯矩图。10.3.1超静定梁【例10-2】试求作图a所示单跨梁的弯矩图。【解1】（1）此梁超静定次数为3，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）单位弯矩图如图e、f、g，荷载弯矩图如图d。（3）由单位内力图的自乘和互乘可得（4）由Mi（i=1,2,3）图和MF图互乘可得10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.1超静定梁【例10-2】试求作图a所示单跨梁的弯矩图。【解1】（5）由力法典型方程（6）由可得图h所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.1超静定梁【例10-2】试求作图a所示单跨梁的弯矩图。【解2】（1）此梁超静定次数为3，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）单位弯矩图如图d、e、f，荷载弯矩图如图g。（3）由单位内力图的自乘和互乘可得如下位移系数：10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.1超静定梁【例10-2】试求作图a所示单跨梁的弯矩图。【解2】（4）由Mi（i=1,2,3）图和MF图互乘可得（5）由力法典型方程（6）由可得图h所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.1超静定梁【例10-3】试求作图a所示单跨梁的弯矩图。【解】（1）此梁超静定次数为1，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）荷载弯矩图如图d，单位弯矩图如图e。（3）由M1图自乘可得（4）由M1图和MF图互乘可得（5）由力法典型方程可得（6）由叠加可得图f所示单跨梁的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.2超静定刚架【例10-4】图a为一次超静定刚架，试作出其结构的内力图，EI为常数。【解】（1）此刚架超静定次数为1，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）荷载弯矩图如图d，单位弯矩图如图e。（3）由单位内力图的自乘可得如下位移系数：（4）由M1图和MF图互乘可得（5）由力法典型方程可得（6）由可得图f所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.2超静定刚架【例10-5】如图a所示，为一端固定另一端铰支的超静定梁，具有2个多余的联系。求刚架内力。【解】（1）此刚架超静定次数为2，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）荷载弯矩图如图d，单位弯矩图如图e、f。（3）由单位内力图的自乘可得如下位移系数：（4）由Mi（i=1,2,3）图和MF图互乘可得（5）由力法典型方程可得（6）由可得图f所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.2超静定刚架【例10-6】试求作图a所示刚架的弯矩图。【解】（1）此刚架超静定次数为2，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）荷载弯矩图如图d，单位弯矩图如图e、f。（3）由单位内力图的自乘和互乘可得如下位移系数：（4）由Mi（i=1,2）图和MF图互乘可得（5）由力法典型方程可得

（6）由可得图f所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.3超静定排架【例10-7】如图a所示排架结构及简图b，计算图c排架结构弯矩图（E为常数）。【解】（1）此排架超静定次数为1，取图d为基本结构，基本体系如图e。（2）荷载弯矩图如图f，单位弯矩图如图g。（3）由单位内力图的自乘以及和MF图互乘可得：（4）由力法典型方程可得

（5）由可得图h所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.4超静定桁架【例10-8】求解图a所示1次超静定桁架的内力。【解】（1）此桁架超静定次数为1，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）荷载弯矩图如图d，单位弯矩图如图e。（3）由单位弯矩图(图e)的自乘可得位移系数：（4）由M1图和MF图互乘可得

（5）列力法典型方程（6）由可得图f所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.5超静定组合结构【例10-9】试求图a所示超静定组合结构各桁架杆的内力。（1）此组合结构超静定次数为1，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）基本结构在单位力作用下的内力如图d、在荷载作用下的弯矩图如图e。（3）由单位内力可求得（4）由单位弯矩图和荷载弯矩图图乘可得（5）列力法典型方程（6）由可得图e所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.3.5超静定组合结构【例10-10】试求图a所示超静定组合结构各桁架杆的内力。EI=9EA。（1）此组合结构超静定次数为1，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）基本结构在单位力作用下的内力如图d、在荷载作用下的弯矩图如图e。（3）由单位内力可求得（4）由单位弯矩图和荷载弯矩图图乘可得（5）列力法典型方程（6）由可得图f所示的弯矩图。10.3力法计算常用超静定结构的方法10.4对称性的利用10.4.1对称性1.结构的对称性对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都对称于某轴的结构。10.4.1对称性2.荷载的对称性1）对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的集中力是对称荷载。如图b所示。2）反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、垂直作用在对称轴上的荷载、位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。如图c所示。对称结构一般荷载可以通过荷载变化成为对称荷载和反对称荷载的叠加。10.4对称性的利用10.4.2取对称的基本体系计算沿对称轴上梁的中央截面切开，三对多余未知力中，弯矩X1和轴力X2是对称未知力，剪力X3是反对称未知力。对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。力法方程中的系数：力法方程可简化为：MF对称MF反对称10.4对称性的利用10.4.3取等代结构计算对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。1）奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构是将对称轴上的截面切开设置成定向支座，取半边结构。2）偶数跨（有中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端，铰结点化成固定铰支座，取半边结构。对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。1）奇数跨（无中柱）对称结构在反对称荷载作用下的等代结构是将对称轴上的截面切开设置成与对称轴重合的支杆，取半边结构。2）偶数跨（有中柱）对称结构在反对称荷载作用下的等代结构是将对称轴上的柱子的刚度折半，取半边结构。10.4对称性的利用10.4.3取等代结构计算【例10-11】分析并绘制图a所示结构的弯矩图。（1）方程：根据对称性：

得：10.4对称性的利用10.5超静定结构在温度变化或支座移动时的计算10.5.1由于温度变化引起超静定结构内力变化的计算【例10-12】已知：如图所示，EI=常数，h=600m，E=2×107kPa，温度膨胀系数α=0.00001。求：M、N。（1）基本体系。（2）力法方程：基本结构在多余约束力和温度改变的共同作用下，去掉约束处的位移为原结构的实际位移。（3）求系数和自由项。

（4）作内力图：基本结构（静定）在温度改变时，不产生内力，故内力由多余约束引起。

结论：温度改变引起的内力及支反力与刚度（如EI）成正比，与线膨胀系数成正比。

10.5.1由于温度变化引起超静定结构内力变化的计算【例10-13】已知：如图所示，t2

﹥t1﹥0；（h=l/10）。求：M、N。10.5超静定结构在温度变化或支座移动时的计算10.5.1由于温度变化引起超静定结构内力变化的计算【例10-14】试求作图a所示定向支座单跨梁由图示温度引起的弯矩图。材料线胀系数为α。（1）此梁不计轴向未知力后，超静定次数为1，取图b为基本结构，基本体系如图c。（2）单位弯矩图如图d。（3）由图自乘可得。从图可见，，由温度引起的位移计算可得

（4）由力法典型方程得由此可得图e所示弯矩图。10.5超静定结构在温度变化或支座移动时的计算10.5.2由于支座位移引起超静定结构内力变化的计算【例10-15】求图所示一次超静定梁由于支座位移引起的内力。【解1】（1）基本体系（2）力法方程：基本结构在多余约束力和支座位移的作用下，去掉约束处的位移为零。

（3）求系数和自由项。10.5超静定结构在温度变化或支座移动时的计算10.5.2由于支座位移引起超静定结构内力变化的计算【例10-15】求图所示一次超静