上海市2024-2025学年高三下学期数学学科素养评价试卷（原卷版+解析版）

2024学年第二学期高三数学学科素养评价（本卷共21道题，满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合，若，则实数的取值范围是________2.在二项展开式中，常数项为__________.3.为虚数单位，若复数满足，则__________.4.已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比__________.5.在△中，，，，且△的面积为，则=_______6.设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________.7.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若点在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为__________．8.已知{}是公差不为0的等差数列.现从，这组数据中随机删除2个数，得到一组新的数据.这两组数据的极差相同的概率为______.9.图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为__________.10.设为常数，，若，且函数在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，则的值为__________.11.已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为.已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为__________.12.已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是__________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.设，是非零实数，若，则下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.14.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）.A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则15.标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（）.A.第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼B.第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼C.第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼D.第一次用大网眼渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼16.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（）.A，， B.，，C.，， D.，，三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知.（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）在中，若，，求.18.如图，在四面体中，设棱，其余5条棱长都为2.（1）当时，求直线与平面所成角的大小；（2）当四面体的表面积最大时，求的值及其体积.19.某航天公司研发一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离5663717990102110117损坏零件数（个）617390105119136149163（1）建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数；（精确到0.1，精确到整数，精确到0.0001）（2）该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，飞行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？\保养未保养合计报废20未报废合计60100参考数据、公式如下：，其中，.，.保养未保养合计报废未报废合计，其中.0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.84150246.6351082820.已知抛物线.（1）倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求；（2）设是