《函数连续、可导、可微之间的关系分析》6400字

函数连续、可导、可微之间的关系分析TOC\o"1-2"\h\u22196摘要 摘要：连续、可导、可微是函数的三大分析性质，是数学分析中的重点内容，准确掌握这三者之间的关系是我们学习分析的关键之一.本文首先介绍一元函数、二元函数连续、可导、可微的定义，再分别通过相关定义、定理和例题对一元函数和二元函数连续、可导、可微之间的关系进行探讨，并归纳总结出关系图，使读者对函数连续、可导、可微之间的关系有更深刻地理解.关键词：函数；连续；可导；可微引言连续、可导与可微是函数的三大分析性质，是从不同角度刻画函数的局部性态，是数学分析中的重点内容，准确掌握函数连续、可导与可微之间的关系是我们学习分析的关键之一.近年来，许多学者探究了函数连续、可导、可微之间的关系.如文献[1]首先介绍了函数连续、间断、一致连续、可导、可微的定义并进行了简单的辨析，进而借助定义对间断、一致连续、可导与连续之间的关系以及可导与可微之间的关系进行了简单的分析；文献[2]借助定理和例题，探讨了一元函数和多元函数连续、可导、可微之间的关系，并归纳总结；文献[3]借助定理和例题，在一元微分学的基础上，探讨了多元函数连续、可导、可微之间的关系，归纳总结并给出了关系图；文献[4]借助定理和例题，对多元函数连续、可导、可微之间的关系进行了简单的探讨；文献[5]借助定理和例题，采取理论证明和举反例的方法，对函数在某一点处连续、可导、可微之间的关系进行了探讨；文献[6]借助相关定义和例题，对二元函数可微、可导、连续之间的关系进行分析说明，并归纳总结；文献[7]借助定理和例题，简单地分析了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系；文献[8]详细地总结了二元函数连续、偏导数存在、偏导连续、可微之间的关系；文献[9]借助例题，采取举反例的方法，探讨了二元函数极限、连续、可导、可微之间的关系；文献[10]对函数连续性进行认知分析.从这些文献中可以得知，函数连续、可导、可微之间的关系是数学分析中我们需要准确把握的重点内容.本文首先介绍一元函数、二元函数连续、可导、可微的定义，再分别通过相关定义、定理和例题对一元函数和二元函数连续、可导、可微之间的关系进行探讨，并归纳概括出关系图，再由二元函数推广至多元函数.

1.预备知识1.1函数的连续性从直观的角度看，连续就是连绵不断，当然在数学学习过程中不能只满足于这种直观的认识，因此下面介绍一元函数、二元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义.首先介绍一元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义.定义1[11]设函数在某上有定义，若，则函数在点处连续.令，即函数在点处连续等价于.由于一元函数在某一点处连续是通过极限来定义的，因此函数在某一点处连续的定义也可以用方式来叙述：如果对任意的，总是存在，使得当时，有，则函数在点处连续.定义2[11]若函数在区间上的任一点处都连续，则函数在区间上连续.在一元函数连续的定义基础上，下面介绍二元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义.定义3[12]设二元函数，定义域为，，.对于任意正数，总是存在相应的正数，使得当时，有，则函数在点处连续.令，则，与一元函数一样，二元函数连续的定义也可用增量形式来描述，即函数在点处连续等价于.定义4[12]如果二元函数在区域上任意一点处都连续，则函数为区域上的连续函数.1.2函数的可导性上一个部分介绍了一元函数、二元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义，下面介绍一元函数与二元函数在某一点处可导的定义和在区间上可导的定义.虽然在中学已经接触过了导数的概念，并掌握了一些简单的导数计算，但是我们不能只满足于这种简单的认识，应该掌握函数导数的精确定义.首先介绍一元函数在某一点处可导的定义和在区间上可导的定义.定义5[11]设一元函数在某上有定义，若极限（1）存在，则函数在点处可导，且.令，则（1）式可以改写成.定义6[11]若函数在区间上任意一点处都可导，则函数在区间上可导.为了区分一元函数与二元函数的导数，在二元函数中，把导数叫做偏导数，下面介绍二元函数在某一点处一阶偏导数存在的定义和在区间上一阶偏导数存在的定义.定义7[12]设二元函数，.若，且在上有定义，当极限存在时，则函数在点处对的偏导数存在，且.同样定义二元函数在点处对的偏导数或，，.定义8[12]设二元函数，.若，且在上有定义，当极限存在时，则函数在点处对的偏导数存在，且.定义9[12]如果二元函数在区域上任意一点处都存在对(或对)的偏导数，则函数在区域上对(或对)的偏导函数(或)存在.1.3函数的可微性上两个部分介绍了一元函数、二元函数在某一点处连续与可导的定义和在区间上连续与可导的定义，下面介绍一元函数、二元函数在某一点处可微的定义和在区间上可微的定义.从本质上来说，可导和可微是有巨大区别的，可导表示的是增量比值的极限，而可微表示的是自变量增量的线性组合，下面介绍一元函数在某一点处可微的定义和在区间上可微的定义.定义10[11]设一元函数在某上有定义，当给一个增量时，相对应地得到函数的增量为，如果存在常数，使得能表示成，（2）则函数在点处可微，且或.定义11[11]若函数在区间上任一点处都可微，则函数在上可微，且，，它不仅依赖于，且也依赖于.二元函数可微的定义与一元函数可微的定义相比，除了多了一个自变量导致的差异之外，没有任何区别，下面介绍二元函数在某一点处可微的定义和在区间上可微的定义.定义12[12]设二元函数在的某上有定义，对于中的点，若二元函数在点处的全增量能表示成，（3）其中，则函数在点处可微，且.（4）在使用上，通常也把（3）式写成，（5）这里，，.定义13[12]若函数在区域上任意一点处都可微，则函数为区域上的可微函数.2.一元函数连续、可导、可微之间的关系探讨由定义1可见，一元函数在点处连续就表示函数在点处极限存在，且极限值等于.由定义5可见，一元函数在点处可导就表示函数在点处增量比值的极限存在，且极限值等于.由定义10可见，一元函数在点处可微就表示函数在点处函数增量可表示为自变量增量的线性组合，且函数增量的线性主部为函数在点处的微分.在上述分析基础上，下面探讨一元函数连续、可导、可微之间的关系.2.1连续与可导之间的关系首先探讨一元函数连续与可导之间的关系，并用如下定理和例子分析说明.定理1如果一元函数在点处可导，则函数在点处连续.证由于函数在点处可导，则根据定义1可得根据函数极限与无穷小的关系可得，其中，对上式两边同时乘以得，对上式两边同时取极限得，即，故函数在点处必连续.根据定理1可知，如果一元函数在点处可导，则函数一定在点处连续.但函数在点处可导只是函数在点处连续的充分而不是必要条件，即定理1反之不成立.例1一元函数在点处连续但不可导.解对于任意，任意的，存在，使得当时，有，所以函数在点处连续.但因为极限不存在，所以函数在点处不可导.即一元函数在点处连续但不可导.根据例1可知，一元函数在点处连续，但函数在点处不一定可导.综上所述，若一元函数在点处可导，则函数一定在点处连续；一元函数在点处连续，但函数在点处不一定可导.2.2可导与可微之间的关系下面探讨一元函数可导与可微之间的关系，并用如下定理分析说明.定理2函数在点处可微的充要条件是在点处可导，且（2）式中.证(必要性)由于函数在点处可微，根据（2）式可得.对上式两边同时取极限得，即，故函数在点处可导且.(充分性)由于函数在点处可导，则（2）式可表示为，由定义10可知函数在点处可微，且.根据定理2可知，对一元函数，若函数在点处可导，则函数一定在点处可微；若函数在点处可微，则函数一定在点处可导，即函数在点处可导与可微等价.2.3连续与可微之间的关系由定理1和例1可知，若一元函数在点处可导，则函数一定在点处连续；一元函数在点处连续，但函数不一定在点处可导，由定理2可知，一元函数在点处可导与可微等价.因此，对一元函数，若函数在某一点处可微，则函数一定在点处连续；函数在点处连续，但函数不一定在点处可微.2.4连续、可导、可微之间的关系总结综上所述，若一元函数在点处可导，则函数一定在点处连续；一元函数在点处连续，但函数不一定在点处可导；一元函数在点处可导与可微等价；若一元函数在点处可微，则函数一定在点处连续；一元函数在点处连续，但函数不一定在点处可微.因此，可用如图1所示关系图总结一元函数在点处连续、可导、可微之间的关系.图1一元函数连续、可导、可微之间的关系3.多元函数连续、可导、可微之间的关系探讨由定义3可知，二元函数在点处连续表示函数在点处全增量的极限等于0.由定义7和定义8可知，二元函数在点处可导表示函数在点处对(或对)的偏增量比值(或)的极限存在，且极限值等于(或).由定义12可知，二元函数在点处可微表示函数在点处的全增量可表示为自变量增量的线性组合，且全增量的线性主部为函数在点处的微分.在上述分析基础上，下面先探讨二元函数连续、可导、可微之间的关系，再由其推广至多元函数.3.1连续与可导之间的关系首先探讨二元函数连续与可导之间的关系，并用如下例子分析说明.例2二元函数在点处连续但对的偏导数都不存在.解因为，所以函数在点处连续.又因为，极限都不存在，所以函数在点处对的偏导数都不存在.即二元函数在点处连续但对的偏导数都不存在.例3函数在点处对的偏导数都存在，但在点处不连续.解因为，.所以函数在点处对的偏导数都存在.又因为，极限值随变化，所以极限不存在，即函数在点处不连续.故函数在点处对的偏导数都存在，但函数在点处不连续.根据例2可知，函数在点处连续，但函数在点处一阶偏导数不一定存在，根据例3可知，函数在点处一阶偏导数存在，但函数不一定在点处连续.综上所述，二元函数在点处连续，但函数在点处一阶偏导数不一定存在；反之，二元函数在点处一阶偏导数存在，但函数不一定在点处连续.3.2可导与可微之间的关系上一个部分探讨了二元函数连续与可导之间的关系，下面探讨二元函数可导与可微之间的关系，并用如下定理和例子分析说明二元函数一阶偏导数存在、一阶偏导数连续与可微之间的关系.定理3若函数在点处可微，则函数在点处对的偏导数都存在，且（3）式中的.证由于函数在点处可微，则，令上式，则，即，故函数在点处对的偏导数都存在，且.根据定理3可知，若函数在点处可微，则函数在点处一阶偏导数一定存在.但二元函数在点处一阶偏导数存在只是函数在点处可微的充分而不是必要条件，即定理3反之不成立.例4函数在点处对的偏导数存在，但在点处不可微.解因为，，即函数在点处对的偏导数都存在.因为，所以函数在点处不可微.即函数在点处对的偏导数存在，但在点处不可微.根据例4可知，函数在点处一阶偏导数存在，但函数不一定在点处可微.二元函数在点处一阶偏导数存在，但函数不一定在点处可微，不过当二元函数在点处一阶偏导数存在且在点处一阶偏导数连续时，函数在点处一定可微.定理4若函数在点处对的偏导数存在，并且对的偏导数在点处连续，则函数在点处可微.证把全增量写作，根据拉格朗日中值定理，可得，（6）.由于与在点处连续，因此有，（7），（8）其中当时，.将（7）（8）式代入（6）中得，由（4）式可得，函数在点处可微.根据定理4可知，对二元函数，若函数在点处一阶偏导数存在且在点处一阶偏导数连续，则函数一定在点处可微.但二元函数在点处一阶偏导数存在且在点处一阶偏导数连续只是函数在点处可微的充分而不是必要条件，即若函数在点处可微，则在点处一阶偏导数存在，但在点处一阶偏导数不一定连续.例5二元函数在点处可微，而在点处都存在，但在点处不连续.解由于，所以函数在点处可微且.当时，.当时，.因为，上式利用极坐标代换得，极限值随变化，所以上式极限不存在，即当时，的极限不存在，即在点处不连续.由对称性可得，在点处不连续.即函数在点处可微，且都存在，但在点处不连续.根据例5可知，若二元函数在点处可微，则函数在点处一阶偏导数一定存在，但在点处一阶偏导数不一定连续.综上所述，若二元函数在点处可微，则函数在点处一阶偏导数一定存在；二元函数在点处一阶偏导数存在，但函数不一定在点处可微；若二元函数在点处一阶偏导数存在且在点处一阶偏导数连续，则函数一定在点处可微；若二元函数在点处可微，则在点处一阶偏导数一定存在，但在点处一阶偏导数不一定连续.3.3连续与可微之间的关系下面探讨二元函数连续与可微之间的关系，并用如下定理和例子分析说明.定理5如果二元函数在点处可微，则函数在点处一定连续.证由于函数在点处可微，则，当时，有，所以在点处一定连续.根据定理5可知，若二元函数在点处可微，则函数一定在点处连续.但二元函数在点处可微只是函数在点处连续的充分条件而不是必要条件，即定理5反之不成立.例6二元函数在点处连续，但函数在点处不可微.解令，，则，所以函数在点处连续.因为，所以函数在点处不可微.即二元函数在点处连续，但函数在点处不可微.根据例6可知，函数在点处连续，但函数不一定在点处可微.综上所述，对二元函数，若函数在点处可微，则函数一定在点处连续；函数在点处连续，但函数不一定在点处可微.3.4连续、可导、可微之间的关系总结综上所述，二元函数在点处连续，函数在点处一阶偏导数不一定存在；二元函数在点处一阶偏导数存在，但函数不一定在点处连续；若二元函数在点处可微，则函数在点处一阶偏导数一定存在；二元函数在点处一阶偏导存在，但函数不一定在点处可微；若二元函数在点处一阶偏导数存在且在点处一阶偏导数连续，则函数一定在点处可微；若二元函数在点处可微，则在点处一阶偏导数一定存在，但在点处一阶偏导数不一定连续；若二元函数在点处可微，则函数一定在点处连续；函数在点处连续，但函数不一定在点处可微.在二元函数分析基础上，将其推广至多元函数，即多元函数在点处连续、可导、可微之间的关系也如上所述.因此，可用如图2所示关系图总结多元函数在点处连续、可导、可微之间的关系.图2多元函数连续、可导、可微之间的关系结束语本文采取理论证明和举反例的方法探讨了函数在某一点处连续、可导、可微之间的关系，得出了以下结论.对一元函数在点处连续、可导、可微之间的关系可以总结为：可导必连续，连续未必可导；可导与可微等价；可微必连续，连续未必可微.对多元函数在点处连续、可导、可微之间的关系可以总结为：可导未必连续，连续未必可导；可微必可导，可导未必可微；偏导数存在且连续必可微，可微则偏导数必存在但偏导数未必连续；可微必连续，连续未必可微.

参考文献[1]任峰.高等数学中一些重要概念间关系的辨析[J].湖州职业技术学院学报，2012，10(01)：12-14.[2]杨美香，陈向阳.浅谈函数的连续、可导、可微的关系[J].科技视界，2017，35(22)：61+65.[3]王金玉.多元微分学中几个概念之间的关系的教学研究[J].科技信息，2012，134(20)：163-163.[4]朱文宁，杨洪涛.多元函数连续