北京市石景山区2016届高三上期末数学试卷(理)(含答案)

2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．43．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．14．已知数列{an}是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和Sn中最大的是（）A．S3 B．S4或S5 C．S5或S6 D．S65．“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与直线bx+2y﹣2=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．若曲线y2=2px（p＞0）上只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是（）A． B． C． D．8．如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC⊥面ADFE，若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1=θ2，则动点P的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数对应的点到原点的距离为．10．的二项展开式中x项的系数为．（用数字作答）11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．在极坐标系中，设曲线ρ=2和ρcosθ=1相交于点A，B，则|AB|=．13．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是种．（用数字作答）14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．卖家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数200400500100买家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数600300300100三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．16．某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示．根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．17．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°？若存在，求的值；若不存在，请述明理由．18．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=﹣3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）20．给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+cm≤2﹣．

2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：D．3．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为﹣2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i＞4，不满足条件i是偶数，S=1，i=2不满足条件i＞4，满足条件i是偶数，S=﹣1，i=3不满足条件i＞4，不满足条件i是偶数，S=2，i=4不满足条件i＞4，满足条件i是偶数，S=﹣2，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为﹣2．故选：A．4．已知数列{an}是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和Sn中最大的是（）A．S3 B．S4或S5 C．S5或S6 D．S6【考点】等差数列的前n项和．【分析】由{an}是等差数列，a3=8，a4=4，解得a1=16，d=﹣4．故Sn=﹣2n2+18n=﹣2（n﹣）2+．由此能求出结果．【解答】解：∵{an}是等差数列，a3=8，a4=4，∴，解得a1=16，d=﹣4．∴Sn=16n+=﹣2n2+18n=﹣2（n﹣）2+．∴当n=4或n=5时，Sn取最大值．故选B．5．“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与直线bx+2y﹣2=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】两条直线平行的判定．【分析】本题考查线线平行关系公式的利用，注意2条线是否重合【解答】解：∵两直线平行∴斜率相等．即可得ab=4，又因为不能重合，当a=1，b=4时，满足ab=4，但是重合，所以选C6．若曲线y2=2px（p＞0）上只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质求出p即可．【解答】解：因为抛物线关于抛物线的轴对称，所以抛物线顶点到焦点的距离唯一，可得，p=2．故选：C．7．如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果．【解答】解：由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A，光线从左向右照射得到B，故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选：D8．如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC⊥面ADFE，若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1=θ2，则动点P的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线【考点】轨迹方程．【分析】先确定PE=PF，再以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，求出轨迹方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，∵BE=CF，θ1=θ2，∴PE=PF．以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，设E（﹣a，0），F（a，0），P（x，y），则（x+a）2+y2=[（x﹣a）2+y2]，∴3x2+3y2+10ax+3a2=0，轨迹为圆．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数，求出其在复平面内的对应点的坐标，利用两点间的距离公式求得复数对应的点到原点的距离．【解答】解：复数===﹣1+i，其对应点的坐标为（﹣1，1），该点到原点的距离等于=，故答案为．10．的二项展开式中x项的系数为﹣5．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x项的系数．【解答】解：的二项展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令=1，求得r=1，可得展开式中x项的系数为﹣=﹣5，故答案为：﹣5．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：12．在极坐标系中，设曲线ρ=2和ρcosθ=1相交于点A，B，则|AB|=2．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由ρ=2，得x2+y2=4，由ρcosθ=1，得x=1，由此联立方程组能求出交点A、B，由此能求出|AB|．【解答】解：∵ρ=2，∴x2+y2=4，∴ρcosθ=1，∴x=1，联立，得或，∴A（1，﹣），B（1，），∴|AB|=2．故答案为：2．13．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是72种．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，问题得以解决．【解答】解：把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有A32A22A32=72种，故答案为：7214．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为2.2元，能够成交的股数为600．卖家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数200400500100买家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数600300300100【考点】函数模型的选择与应用．【分析】分别计算出开盘价为2.1、2.2、2.3、2.4元买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论．【解答】解：依题意，当开盘价为2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）先化简函数可得f（x）=，即可求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f（x）在上的最大值与最小值．【解答】解：==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．16．某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示．根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出这组数据的众数，中位数．（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，由此得到从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为，从而能求出“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’”的概率．（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86．…（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为，…设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，则P（A）=1﹣=1﹣=．…（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．…P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）===，P（ξ=3）===，所以ξ的分布列为ξ0123P…Eξ==．…17．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°？若存在，求的值；若不存在，请述明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点F，连结EF，BF，则EF∥PD，ABDF，从而BF∥AD，进而平面PAD∥平面BEF，由此能证明BE∥平面PAD．（Ⅱ）推导出BC⊥PD，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面PBD．（Ⅲ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PC上存在Q（0，2，2﹣），使得二面角Q﹣BD﹣P为45°，=．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点F，连结EF，BF，∵E为PC中点，AB=AD=PD=1，CD=2，∴EF∥PD，ABDF，∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF∥AD，∵EF∩BF=F，AD∩PD=D，BF、EF⊂平面BEF，AD、PD⊂平面ADP，∴平面PAD∥平面BEF，∵BE⊂平面BEF，∴BE∥平面PAD．（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD，∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，∴BD=BC==，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．解：（Ⅲ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），设Q（0，b，c），=（1，1，0），=（0，0，1），=（0，b，c），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面BDQ的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=1，得=（1，﹣1，），∵二面角Q﹣BD﹣P为45°，∴cos45°===，解得=，∴Q（0，，c），∴，解得c=2﹣，∴Q（0，2，2﹣），∴==．∴在线段PC上存在Q（0，2，2﹣），使得二面角Q﹣BD﹣P为45°，=．18．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=﹣3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由椭圆C的焦距为4，及等边三角形的性质和a2=b2+c2，求得a，b，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设M（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），kMF=﹣m，设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得a=•2b，即有a=b，a2﹣b2=4，解得a=，b=，则椭圆方程为+=1；（Ⅱ）证明：设M（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），P