数学知识巧解学案：正弦函数、余弦函数的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学由任意角的三角函数的定义和三角函数的图象,可知正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，即y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R。通过正、余弦函数的图象，可知它有如下的主要性质。一、周期性1.对于函数y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R的周期可由诱导公式一或通过观察它们的图象得出:任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0）都是这两个函数的周期,它们的最小正周期都是2π.设T是y=sinx的最小正周期，且0＜T＜2π，根据周期函数的定义，当x取定义域内每一个值时，都有sin（x+T)=sinx。令x=，代入上式，得sin（+T）=sin=1。但是sin(+T）=cosT，于是cosT=1，这表明T的值是0,2π，…，即T=2kπ,k∈Z，这与0＜T＜2π相矛盾.所以不存在小于2π的最小正周期,即y=sinx的最小正周期为2π。2。y=Asin（ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ）型的函数的周期仅与函数解析式中x的系数ω有关，而与其他量无关.事实上,设y=Asin（ωx+φ），x∈R，其中A、ω、φ均为常数，且A≠0，ω＞0。令z=ωx+φ,因为x∈R，所以z∈R，且函数y=Asinz，z∈R的周期是2π。由于z+2π=ωx+φ+2π=ω(x+)+φ，所以自变量x只需增加到x+.函数值才能重复出现.所以函数y=Asin（ωx+φ)，A≠0，ω＞0的最小正周期是。同理可证y=Acos（ωx+φ),A≠0，ω＞0的最小正周期也是.例如y=2sin（x—)的周期是等.学法一得反证法是一种典型的补集思想,它也是一种常见的证明方法，是高考中常常考查的一个重要内容。对一些正面推证有困难而结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题目,可考虑用反证法。具体地说,对于那些含有否定词的命题,如“至少”“唯一性”“至多”“都不是”“不存在”等命题，尤为适宜.反证法证题的核心是从求证结论的反面出发,把题设连同结论的反面一起作为本题的题设进行推证，如果导出的结论与公理相矛盾、与已知条件或临时假设相矛盾、与既成事实相矛盾、自相矛盾等，那么就否定了假设，从而肯定了原命题的正确.记忆要诀函数y=Asin(ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ)，x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T=.二、奇偶性对于函数f(x）=sinx，它的定义域为R，因为f(—x)=sin(-x）=-sinx=—f(x),即对于定义域内的任意一个x,都有f（—x)=-f（x)，所以它是奇函数。对于函数f（x)=cosx,它的定义域为R，因为f(-x)=cos（—x)=cosx=f（x)，即对于定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x）,所以它是偶函数。三、单调性1。由正弦函数的图象及其周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［—+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从—1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1。由余弦函数的图象及其周期性可知：余弦函数在每一个闭区间［(2k-1）π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，（2k+1)π］（k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.2.正、余弦函数单调性的用途主要有：（1)比较三角函数值的大小：解决这类问题的关键是把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小，也可进一步转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小.(2）求三角函数的单调区间：对于形如y=Asin（ωx+φ）+k或y=Acos（ωx+φ）+k，ω＞0的函数，可把(ωx+φ)视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正、余弦函数的单调性，直接写出ωx+φ的单调区间，再解关于x的不等式即可.(3）借助于正、余弦函数的图象解三角不等式:对于可化为形如sin(ωx+φ)≥a〔cos(ωx+φ)≥a〕或sin（ωx+φ）＜a〔cos（ωx+φ)＜a〕，ω＞0的弦函数不等式，可把（ωx+φ）视为一个整体，借助于y=sinx，x∈R或y=cosx，x∈R的图象和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间,然后两边加上2kπ，把它扩展到整个定义域上，最后解关于x的不等式，便可求出x的解。典题•热题知识点一函数的周期例1若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm）与时间t（s）的函数关系如图所示:(1）求该函数的周期；(2)求t=10.5s时弹簧振子对平衡位置的位移.解：(1）由图1—4-10，可知该函数的周期为4s。图1-4-10(2）设x=f(t），由函数的周期为4s,可知f（10。5）=f（2。5+2×4)=f(2。5)=—8.方法归纳周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数(非零实数），这个数仅仅是相对于x而言的.函数y=Asin（ωx+φ)的最小正周期是。知识点二函数的奇偶性例2函数f(x)=cos（2x+)的（）A。最小正周期是2πB。图象关于y轴对称C.图象关于原点对称D。图象关于x轴对称思路分析：先利用诱导公式化简函数解析式，再作出判断。∵y=cos(2x+π+)=-cos(2x+）=sin2x,∴它的周期T==π，排除A.显然，它是奇函数。答案:C例3函数f（x）=xsin(-x)是（)A.奇函数B.非奇非偶函数C.偶函数D。既是奇函数又是偶函数思路分析：先利用诱导公式化简，再作出判断。对于函数f（x）=xcosx，∵f（-x）=（-x)cos(—x)=—xcosx=—f（x），∴f(x)是奇函数。答案：A例4试判断函数在区间(，)上的奇偶性.思路分析：可先将函数式化成最简形式,再判断.解:（1）。因为x∈（,）关于原点对称，且，所以函数f（x)在(，）上是奇函数.巧妙变式：如果将题中的（，）改为[，］，情况会怎样呢?由于当x=时，f(）=1，而f(）无意义，因此f(x）在x∈[，］上不具有奇偶性,即函数f(x)在x∈［，］上既不是奇函数也不是偶函数。方法归纳函数的奇偶性是研究f(—x）与f(x）之间关系的，其中f（-x）是把f(x）解析式中的x换成-x而得到的.奇、偶函数的定义域必关于原点对称。函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类。奇函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相同，偶函数则相反.例5已知函数f(x)=ax+bsin3x+2(a、b为常数），且f(3)=5，试求f(—3)的值.思路分析：要求函数值，需先确定函数解析式，因含a、b两个参数,需要列关于a、b的两个方程,而题目仅提供了f(3)=5这一个条件,它无法求a、b的值。由f(3)与f(-3）的自变量互为相反数这一条件,应联想到函数的奇偶性，由于f（x）—2是奇函数，所以问题可解决。解：令g(x)=f（x)-2=ax+bsin3x,因为g（-x)=a（-x)+bsin3（—x）=-(ax+bsin3x）=—g(x）,所以g（x)=ax+bsin3x是奇函数。所以g（-3)=-g（3)，即f(-3)-2=—［f（3）-2］.所以f（—3)=2—[f（3)—2]=4—f（3)=4—5=—1,即f（-3）=-1.方法归纳一般地，在两个函数的公共定义域内,两个奇(偶)函数的和仍是奇（偶）函数;两个奇(偶）函数的积却是偶函数。知识点三比较三角函数值的大小例6不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小。（1）sin110°18′与sin146°30′；（2）sin(）与sin（).解：∵sin110°18′=sin69°42′，sin146°30′=sin33°30′，33°30′,69°42′∈[0°，90°］，且33°30′＜69°42′，而y=sinx在［0°,90°]上是增函数，所以sin33°30′＜sin69°42′，即sin110°18′＞sin146°30′.(2)sin（)=sin（-8π+)=sin,sin（）=sin(-8π+)=sin。因为,∈[0,］，且，y=sinx在x∈［0，]上是增函数,所以sin＞sin，即sin（）＞sin()。方法归纳要比较不同角的三角函数值的大小，需利用诱导公式把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，化简的步骤是先把负角化成正角，再把正角化成0到2π的角,再化成锐角，最后利用函数在［0,］上的单调性去判断.知识点四求三角函数的单调区间例7求函数y=()cosx的单调递减区间。解：令μ=cosx，则y=(）μ，因为y=（）μ是减函数，所以函数y=（）cosx的单调减区间为函数μ=cosx的单调增区间：［2kπ—π，2kπ］,k∈Z。方法归纳求复合函数单调性的关键是分清函数的复合过程,即把所求函数分解成若干层已知其单调性的函数,按照“同增异减”的法则,来判断复合函数单调性及其单调区间.例8求函数y=sin（）,x∈［-2π，2π］的单调区间。思路分析:应先把y=sin（)化简成y=—sin（），再把“"视为一个整体,利用复合函数的单调性求解。解：因为y=sin（)=-sin（）,所以要使函数在给定的区间上单调递增，只需+2kπ≤≤+2kπ，解得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z.令k=-1，得；令k=0，得.由于x∈［-2π,2π］，所以该函数y=sin(），x∈［—2π，2π］的单调增区间是［—2π，-］或[，2π].同理，可得函数y=sin(）,x∈［-2π，2π]的单调减区间是[，］.方法归纳求函数y=Asin(ωx+φ）的单调区间时,一般先将x的系数化成正值,再把“ωx+φ”视为一个整体，结合基本初等函数y=sinx的性质找到“ωx+φ”在x∈R上满足的条件,通过解不等式组求得单调区间。知识点五借助于正、余弦函数的图象解三角不等式例9解不等式2sin（—2x+)＞1。思路分析：首先将原式化为sin(2x-）＜,再利用正弦函数的单调性.解：原式可化为sin（2x—）＜，把2x-视为一个整体，如图1-4-11，在区间［0，2π］上,适合条件的x的范围是，在整个定义域上，满足+2kπ＜2x—＜+2kπ。图1-4—11解得+kπ＜x＜+kπ，k∈Z。方法归纳①把ωx+φ，ω＞0视为一个整体，是化未知为已知,化生疏为熟悉的化归思想的具体应用.②解三角不等式时，要注意结合正弦曲线、余弦曲线。由于弦函数的周期性，应先在一个长度为2π的周期上求范围，该范围的选择并非一定是[0，2π]或［-π，π］，而应该以是否得到一个完整的周期区间为标准.知识点六求最大值与最小值例10求函数y=1—cos(2x-)的最值及函数取最值时自变量x的集合。思路分析：可把“2x—”视为一个整体，结合复合函数单调性的判定方法写出函数的最值及取得最值时2x-的集合，再通过解方程求得x的集合.解：当cos(2x-）=—1时，ymax=1-×(-1)=，此时2x—=2kπ+π，k∈Z，解得x=kπ+，k∈Z，即函数y=1-cos（2x—)的最大值是,此时x的集合是{x｜x=kπ+，k∈Z｝.同理，可得函数y=1—cos（2x-)的最小值是，此时x的集合是｛x｜x=kπ+，k∈Z｝。方法归纳在求三角函数的最值(或值域)时，这种先把“ωx+φ,ω＞0”视为一个整体，再把sin(ωx+φ）视为一个整体，利用函数的性质去研究函数的值域（或最值)的方法是化未知为已知的化归思想的具体应用,它是我们研究函数问题的重要方法之一。例11求y=2sin2x—2cosx+3的最值。思路分析：可先利用平方关系把sin2x转化成1-cos2x，即把函数转化成以cosx为未知数的二次函数的形式，再配方求值.解：y=2（1-cos2x)—2cosx+3=—2cos2x-2cosx+5=-2(cosx+）2+，∵-1≤cosx≤1，∴当cosx=-时，ymax=；当cosx=1时，ymin=—2×12—2×1+5=1.方法归纳对于可以转化成关于某一三角函数为未知数的二次函数形式问题，可利用配方法求解。问题•探究材料信息探究由单位圆中的正弦线、余弦线的定义,可知正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1］，即—1≤sinx≤1，—1≤cosx≤1。特别地，当角α的终边落在y轴的正半轴上时,其正弦线等于1，函数值最大,即当且仅当{x|x=+2kπ，k∈Z}时,y=sinx取得最大值1；当角α的终边落在y轴的负半轴上时，其正弦线等于—1，函数值最小，即当且仅当{x|x=-+2kπ，k∈Z}时，y=sinx取得最小值—1。同理可知对余弦函数当且仅当｛x|x=2kπ，k∈Z}时，取得最大值1；当且仅当{x｜x=（2k+1)π，k∈Z｝时,取得最小值-1。观察正、余弦函数的图象也极易看出它们的最大值都是1，最小值都是-1.问题函数的最值是函数值域的端点值，在三角函数的值域中，我们主要研究它的最值，那么如何求三角函数的最值呢？探究过程：依托正、余弦函数的图象,使数形紧密结合，借助于函数单调性,寻求含有正、余弦函数的式子的最值。探究结论:常见的方法有：（1)可化为一个角的一个函数的形式，利用三角函数的有界性求最值;（2）转化成关于某一三角函数为未知数的二次函数的形式，利用配方法求解;（3）逆用三角函数的有界性求最值.思维发散探究问题已知函数f（x）=sin（ωx+φ)（ω＞0,0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称.利用你所学的知识，加上一个你认为适当的条件,使φ、ω为确定的值，并求出它们的值。探究思路：本题是一个条件开放型