数学知识导引平均数及其估计

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精6。3总体特征数的估计前面我们学习了用图、表来表示样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息,用样本的频率估计总体的分布.为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还需要通过样本数据对总体的数字特征进行研究.在数学中，通常把能反映总体某种特征的量（如：平均数、方差、标准差等)称为总体特征数。6。3．1平均数及其估计案例探究为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17。5～18岁的男生的体重情况，结果如下（单位：kg）56。569.56561.564.566。56464.57658.57273．556677057.565。56871756268。562．56659.563．564。567。57368557266.574636055。57064.5586470。55762．5656971．573625876716663．55659.563．5657074.568。56455.572．566。5687657.56071．55769.57464.55961．5676863．5585965。562．569。57264.575。568.5646265.558。567.570.5656666。5706359.5根据上述数据我们可以画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计.由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积反映了数据落在各个小组的频率的大小。在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计。例如从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，体重在(64.5,66。5）kg的学生比体重为其他值的学生数多，但他并没有告诉我们多多少.试问:怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”?能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征。应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。我们常用算术平均数（其中ai（i=1，2，…，n）为n个实验数据）作为体重的最理想的近似值,它的依据是什么呢?处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小，设这个近似值为x，那么它与n个实验值ai（i=1,2，…，n）的离差分别为x－a1，x－a2，x－a3，…,x－an.由于上述离差有正有负,故不宜直接相加.可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究｜x-a1｜+｜x—a2|+…+｜x-an|取最小值时x的值.但由于含有绝对值，运算不太方便，所以，考虑离差的平方和，即（x－a1）2＋（x－a2)2＋…＋（x－an）2，当此和最小时，对应的x的值作为近似值。因为（x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an）2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an）x+a12+a22+…+an2，所以当x=时离差的平方和最小，故可用作为表示体重的理想近似值，称其为这n个数据a1，a2,…，an的平均数(average）或均值（mean），一般记为=。这样,我们可以用计算器求得，该地区内100名年龄为17.5～18岁的男生的体重的最佳近似值为x＝65。5（kg）.这样我们就得到了样本平均数的求解方法:样本数据的算术平均数，即=.Excel中函数“AVERAGE（）”可直接用于计算给定数据的平均数.如求12，12．4，12．8，13，12．2,12．8，12．3，12．5,12．5的平均数，可直接把它们输到工作表中A1∶J1区域后,在某空白单元格中输入“＝AVERAGE（A1∶H1）”即可，即得它们的平均数为12．5（如下图）.自学导引1．在频率分布直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数.2．下列数字特征一定是数据组中数据的是（）A．众数B．中位数C．标准差D．平均数答案：A3．数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（)A．1或3,2B．3，2C．1或3，1或3D．3，3答案：A4.频率分布直方图的重心是(）A．众数B．中位数C．标准差D．平均数答案：D疑难剖析【例1】某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人)的语文测试成绩如下：（总分：150）甲班：1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114乙班：116951099610698108991101039498105101115104112101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好些.思路分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可。解析:用科学计算器或计算机分别求得甲班的平均分为101．1,乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班。【例2】某教师出了一份共3道题的测试卷,每题1分,全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为0。3、0.5、0。1和0。1．(1）若全班共10人，则平均分是多少？（2）若全班共20人，则平均分是多少？（3）若该班人数未知，能求出该班的平均分吗？思路分析：上述所占比例就是各数据的频率.解：由题意，平均分＝3×0。3＋2×0。5＋1×0。1＝2．答：全班的平均分为2分。思维启示：各数据频率确定时,平均数不受样本容量的影响.【例3】某工厂人员及工资构成如下表:人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123合计22001500110020001006900(1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数；（2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？思路分析：根据众数、中位数、平均数各自的特点，选择合适的数据反映该厂的工资水平.解析：由表格可知：众数＝200，∵23的中间位置众数是12，∴中位数＝220.平均数=（2200+1500+1100+2000+100)÷23=300.虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可见,只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.思维启示：平均数受数据中的极端值的影响较大,妨碍了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更能反映客观情况。拓展迁移【拓展点1】以往的招生统计数据显示，某大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分.你的一位校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先查阅一下这所大学招生的其他信息？解释一下你的选择.提示:应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均信息、最低录取分数线信息等，尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息。在已知最低录取分数线的情况下,很容易作出判断；在已知平均数的情况下,如果平均数小于中位数很多,则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息（如标准差的信息）来作出判断.【拓展点2】在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”，“去年,在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3。5万”。如果你希望获得年薪2.5万元，(1)你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？(2)如果招聘员继续告诉你，“员工收入的变化范围是从0.5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定?为什么？（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的中间0。5(即去掉最少的0.25和最多的0.25后所剩下的）的变化范围是1万到3万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？（4）你能估计出收入的中位数是多少吗?为什么均值比估计出的中位数高很多？答案：（1）不能，因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数.现在已经知道至少有一个人的收入为