数学-知识导航直接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2直接证明与间接证明2.2。1直接证明知识梳理证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为____________，其一般形式为本题结论.其中从已知条件出发，以已知的定义、定理、公理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为_____________，推证过程为已知条件…………结论.而从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件,逐步上溯直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为____________，推证过程为…………。知识导学综合法与分析法都是直接证明。综合法是从已知条件出发，经过推理，导出所要结论，步骤比较简洁明了，但入手点比较难找,而分析法则是从要证的结论出发，寻求它的论据,直至归结到题设条件(结论成立的充分条件)，运用综合法证明需先对题目进行分析，找到证明的出发点，两者相辅相成，辩证统一.疑难突破综合法与分析法的比较剖析：一般地,对于命题“若A则D”，用综合法证明时，思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演到达D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等。由B，B1，B2推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等，最终能有一个(或多个）可推演出结论D即可.用分析法思考数学问题的顺序可理解为（对于命题“若A则D”)分析法的思考顺序是执果索因的顺序.是从D上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等等，继而寻求B,B1，B2,B3，B4的论据，如果其中之一B的论据恰好为已知条件，于是命题得证。用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有区别，在综合法中，每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的，而在分析法中，就应当用假设的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要A成立，就必须先有B成立；如果要有B成立，又只需有C成立……这样从结论一直推到已知条件。当我们应用分析法时,所有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的，从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的，于是命题就被证明了.典题精讲【例1】设数列｛an}的前n项和为Sn，且(3-m)Sn+2man=m+3（其中m为常数,n∈N*)，且m≠-3.（1)求证：｛an｝为等比数列；（2)若数列{an｝的公比q=f（m)，数列{bn}满足b1=a1,bn=f（bn—1）(n∈N＊，n≥2）,求证:{｝为等差数列。思路分析：本题要证数列为等差、等比数列，所以需按定义研究an+1与an的关系，而已知为Sn,需将Sn化为an，它们之间的关系为an=证明：(1）由（3-m)Sn+2man=m+3得(3-m）Sn+1+2man+1=m+3，∴（3+m)an+1=2man(m≠—3)。∴。∴｛an}为等比数列。（2）由已知q=f（m）=,b1=a1=1，∴当n≥2时，bn=f（bn—1)=.∴bnbn—1+3bn=3bn-1.∴。∴｛｝是首项为1，公差为的等差数列。绿色通道：证明数列为等差、等比数列需紧扣定义，找到an+1与an之间的关系，由已知前n项和Sn，求出an=由已知条件逐步变形得到，从而得证.变式训练：已知f(x)=,Pn(an,)在曲线y=f(x）上（n∈N*）且a1=1,an＞0.(1)求{an}的通项公式；（2）数列{bn}的前n项和为Tn,且满足+16n2-8n—3。设定b1的值，使得数列｛bn｝是等差数列。解:(1）由已知Pn在曲线y=f（x）上.∴.∴.∴｛｝是等差数列。=1+4(n—1）=4n—3,∵an＞0，∴an=.（2)∵+(4n—3）(4n+1）,即(4n-3）Tn+1=(4n+1）Tn+(4n—3）(4n+1）,∴.∴｛}为等差数列，首项为=b1+（n-1）=n+(b1—1)。∴Tn=(4n—3）[n+（b1-1)]=4n2+（4b1-7)n-3(b1-1）.要使｛bn}为等差数列,需使b1—1=0,∴b1=1。当b1=1时,Tn=4n2—3n，bn=9n—8，∴{bn}为等差数列。【例2】如图2—2—1所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线,垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC。图2-2—1思路分析：本题所要证的是线线垂直,可通过线面垂直来判定，而已知条件为线线垂直、线面垂直，通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直，再由线线垂直转化为线面垂直,从而得证.证明：∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.∵AB⊥BC，∴BC⊥面SAB。∵AE面SAB,∴BC⊥AE。∵AE⊥SB，∴AE⊥面SBC.∴AE⊥SC。又∵EF⊥SC,∴SC⊥面AEF。∴SC⊥AF。绿色通道：从已知条件及已有定理入手,直接推证，线线垂直与线面垂直相互转化来加以证明。变式训练:如图2-2—2所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD。求证：PC⊥BD.图2-2-2证明：∵PA⊥面ABCD，PC为平面ABCD的斜线,PC在面ABCD内的射影为AC，连结BD,∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∴PC⊥BD.【例3】已知a＞b＞0，求证:.思路分析:本题条件较为简单,结论比较复杂,看上去无从入手,解答问题,所以我们可以从要证的结论手入,一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法。证明：要证成立，即成立，∵a＞b＞0，只需证成立。只需证成立，即证，即。∵a＞b＞0,∴成立。∴成立。绿色通道：在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下,我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，也可再用综合法步骤写出.变式训练:求证:+2＜2+.证明：法一：要证+2＜2+成立，只需证（+2)2＜(2+）2成立，即＜11+4，即＜，即6＜7，显然6＜7成立.∴+2＜2+成立.法二：要证+2＜2+成立，只需证2—＜2-成立。只需证1∵2＞2,＞，∴2+＞2+＞0。∴成立.∴+2＜2+成立。问题探究已知三角形三边长度a、b、c都是整数，并且a≤b≤c,b=k(k为某正整数),求证:符合这样条件的三角形共有个。导思:寻求这个论题的证明方法时,既要考虑a、b、c是整数，又是三角形三边的长度以及a≤b≤c,b=k等已知条件，又要考虑满足这些条件的三角形的个数，即符合条件a、b、c的各种不同数值的组合总数.要证明当b=k时各种组合总数为，就要探索符合条件的a、b、c的各种数值的组合方法.为此，可以通过k的某些特殊值来进行研究.探究：首先设b=k=1，根据条件a≤b≤c，∴a必须是满足下面条件的整数：0＜a≤b或0＜a≤k即0＜a≤1,∴a=1.当b=k=1,a=1时，由于三角形任一边必小于其他两边的和，∴c必须是满足下面条件的整数:b≤c＜a+b或1≤c＜2，∴c=1。由此来看，当k=1时，满足条件的a、b、c的数值只有a=b=c=1的一种组合方法，也就是满足条件的三角形只有一个，这个结果与求证命题的结果：当k=1时，=1，一致，设k=2,则b=2,a满足0＜a≤b,即0＜a≤2的整数只有a=1或a=2，又∵b≤c＜a+b,即2≤c＜a+2，∴当a=1,b=k=2时,c=2；当a=2，b=k=2时,c=2或c=3。综上当k=2时，a、b、c各种数值有（1,2，2),（2，2，2），(2，2，3），即共有三个三角形。这个结果与求证命题的结果也一致.从k=1,k=2的推理过程可以看出,b=k的值确定后,由0＜a≤k，可得a=1，2,…，k-1，k,再由b≤c＜a+b得到a、b、c各种不同数值的组合方法，从而论证。证明:当b=k（k为正整数）时,由已知0＜a≤b且a为整数,∴a=1，2，3,…，k-1,k。