甘肃省酒泉市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 含解析

甘肃省酒泉市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的荅案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质可求得的值.【详解】在等差数列中，，故.故选：C.2.抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线方程求出准线即可.【详解】抛物线的准线方程是.抛物线，则，所以准线方程是.故选：D.3.过点且方向向量为的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据方向向量得到直线的斜率，从而得到直线的方程.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为.故选：D4.为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（）A.6种 B.8种 C.9种 D.12种【答案】A【解析】【分析】先分组，再分配即可.【详解】由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有种，

再分配到两所学校，有种，

故共有种安排方法.故选：A.5.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.[3，5]【答案】C【解析】【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果.【详解】如图所示：

设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为，则，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.故选：C6.已知等比数列满足，公比，则（）A.32 B.64 C.128 D.256【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质计算可得.【详解】因为，公比，所以.故选：B7.已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程.【详解】设点，因点为线段中点，则（*）又在椭圆（即）上，则①，②，由，可得，将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，故直线的方程为：，即.故选：B.8.已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.【详解】由，得，由，得，由，得，设，则，即，因此点的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为，即有，则代入，整理得：，即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值，所以最大值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则的值可以是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BC【解析】【分析】利用组合数的计算即可求解【详解】因为，所以或，解得或.故选：BC.10.已知数列的首项为，前项和为，且，则（）A.数列是等比数列 B.是等比数列C. D.数列的前项和为【答案】BCD【解析】【分析】利用递推公式，结合，即可判断选项AB，根据数列的通项公式即可判断选项C，结合对数运算求出，利用等差数列前项和公式即可判断选项D.【详解】因为，所以，两式相减得，，即，令，则，所以数列从第项起是等比数列，则，A错，又，C正确；又，所以，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确；且，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则数列的前项和为，D正确.故选：BCD11.将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为，则（）A.椭圆的标准方程为B.椭圆上恰有四个点，使得C.若点是椭圆上任意一点（与不重合），则内切圆半径的最大值为D.若点是椭圆上任意一点（与不重合），在延长线上，是的角平分线，过作垂直MN，垂足为，则线段OQ（为坐标原点）的长为定值4【答案】BCD【解析】【分析】A选项：根据图象的变换即可求解；B选项：根据焦点三角形在短轴端点处张角最大即可判断；C选项：根据内切圆半径与三角形面积的关系即可求解；D选项：根据椭圆光学性质判断出外角平分线即为切线，根据几何关系得到，从而得到直线和直线方程，联立求得点坐标，即可求解.【详解】由题意得，椭圆的方程为，即，A错误；当点为上下顶点时，最大，此时，，所以椭圆上恰有四个点，使得，B正确；因为的周长为定值，设内切圆半径为，则，所以，C正确；由椭圆的光学性质可知，为椭圆在点处的切线，且.设点，则直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程，得，所以，所以为定值，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为______.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】展开式的通项为（其中且），令，解得，所以，所以的系数为.故答案为：13.圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】两圆方程作差即可得到公共弦方程.【详解】圆，即，圆心为，半径；圆，即，圆心，半径，又，所以，所以两圆相交，则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为.故答案为：14.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.【答案】7【解析】【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解.详解】由题意可知：（公和），则，可得，可知数列是以2为周期的周期数列，可得，，所以公和.故答案：7.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及对应的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据作差计算可得；（2）根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】因为，当时，当时，，所以，经检验时也符合上式，所以；【小问2详解】因为，所以当时，取最大值，，，即，．16.已知直线过点.（1）若直线与直线垂直，求的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程；（3）若直线与圆相切，求的方程.【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）设直线为，代入点的坐标，求出的值，即可得解；（2）分直线的截距均为与均不为两种情况讨论，利用待定系数法计算可得；（3）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.【小问1详解】设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为；【小问2详解】若直线的截距均为，则设直线的方程为，所以，解得，所以直线的方程为，即；若直线的截距均不为，则设直线的方程为，所以，解得，所以直线的方程为，即；综上可得直线的方程为或；【小问3详解】圆，即，则圆心为，半径；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，综上可得直线的方程为或.17.（1）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，求证：；（2）若方程表示双曲线，求的取值范围，并说明该方程表示的双曲线有共同的焦点；（3）求到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹方程，并指出轨迹表示什么曲线.【答案】（1）证明见详解；（2）；说明见详解；（3）答案见详解；【解析】【分析】（1）设直线方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，即可得到，再结合抛物线的方程，即可证得.（2）根据双曲线的标准方程及其性质即可求解.（3）根据求轨迹方程的方法，设点列式化简即可求解.【详解】（1）由抛物线，可得其焦点为，由题意可设直线方程为，联立方程组，因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点，则是方程的两个实数根，所以，因为，所以，所以.（2）若方程表示双曲线，则，所以的取值范围，若该方程表示焦点在轴的双曲线则双曲线焦点为，若该方程表示焦点在轴的双曲线则双曲线焦点为不存在，所以该方程表示的双曲线有共同的焦点，并且焦点在轴上.（3）根据题意，设两个定点的坐标分别为，设Px,y是平面上任意一点，则,即①方程①就是所求点的轨迹方程，接下来探讨轨迹表示什么曲线，当时，曲线方程为，即，这是线段的垂直平分线；当时，①式可化为配方得，这是圆的标准方程，曲线表示圆.18.已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，由点到直线的距离公式求出，再由求出、，即可得到双曲线方程；（2）设，，，，由题意可知，，联立直线与的方程求出，联立直线与双曲线的方程求出，依题意可得，即可求出.【小问1详解】双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为，所以，又焦点到渐近线的距离为1，即，所以，又，所以，，则双曲线的方程为；【小问2详解】由（1）可得，，则直线的方程为，设，，，，由题意可知，，由的面积是面积的倍，可得，即，所以，由，消去，可得，解得，由，消去，可得，解得，由，可得，解得或（舍去），当时，，符合题意，所以直线的斜率为.19.已知正实数，为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，且对任意正整数，恒成立.（1）证明：无穷数列为等比数列；（2）若，，求的通项公式及数列的前项和；（3）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2），（3）【解析】