河南省开封市开封清华中学2025届高三下学期3月月考数学试题（含答案）

2025届开封清华学校高三下学期3月考数学试卷（时间：120分钟总分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.4 D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，，若，则正实数的值为（）A.1 B. C.2 D.34.已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A B. C. D.5.已知向量，向量满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.46.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两个不同的点，且为线段的一个三等分点，则（）A4 B.8 C.12 D.167.已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（）A.3 B. C.6 D.8.长方体中，，点是平面内动点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fxA.直线x=B.函数f(x)在区间0C.函数f(x)在区间0D.将函数f(x)图象上所有的点向左平移5π10.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),且f(1)=1,当x>0时,f(x)>0，则下列说法正确的是A.f(0)=-1B.f(x)在(0,+∞)上单调递增C.数列fnD.当x<0时,-1<f(x)<011.已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的内角，，的对边分别为，，，若，则______________.13.二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为______________.14.已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为______________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求角；（2）若，，求的周长．16.已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．17.(15分)如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,侧面AA₁B₁B与底面ABC垂直,且BC=2AB=2,AC=7,，D为侧棱AA₁的中点，三棱锥.B(1)求三棱柱.ABC-A₁B₁C₁的高；(2)已知点E在B₁C上,且B1(3)若CB₁⊥A₁B₁,求平面BCD与平面BB₁C₁C的夹角的余弦值.18.(17分)已知fx=eaxsin2x−2(1)求a的值;(2)设f(x)的导函数为g(x),求g(x)的单调区间;(3)证明:当x∈−119.(17分)若数列{cn}共有m(m∈N*,m≥4)项,∀i(i∈N*,i≤m)都有lnci+lnc(1)若m=9,(2)已知数列{bn}共有m项，且满足：(i)证明：{bn(ii)若{bn}是首项为b1b10),公比为1【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多选题9.ABD;10.BCD;【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）（2）证明略17.解:1∵AA₁∥平面/BB₁C₁C,∴V∵V在△ABC中,∵BC=2AB=2,AC=7∴cos∠∴∠ABC=2∴SABC=设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为h，则V则32ℎ即三棱柱ABC-A1B1(2)设BB₁的中点为F,连结A1∵A₁D∥BF且A1D=BF,∴A1DBF为平行四边形.∴∴A₁F∥平面BCD.……6分又A₁E∥平面BCD,A1E∩A1F=A1且A1E,∴平面A1EF∥平面BCD.∵平面A1EF∩平面BB1C∴EF∥BC.……8分∵F为BB₁的中点,∴E为B₁C的中点.∴B1EB1(3)过点B₁作B₁O⊥AB于O,连结CO.∵侧面AA₁B₁B与底面ABC垂直,∴B₁O⊥平面ABC.∵CB₁⊥A₁B₁,且A₁B₁∥AB,∴CB₁⊥AB.……10分∴AB⊥CO.以O为原点，OA，OC，OB₁分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵B₁O⊥平面ABC,∴B₁O=3OCA(2,0,0),B(1,0,0),B₁(0,0,3),C(0,3,0),…11分AD解得xD=BC设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),则.m即−x可取m=(3,1,−1))…12同理可求平面BB₁C₁C的一个法向量n=(3,1,1)…13cos故平面BCD与平面BB₁C₁C的夹角的余弦值为35…1518.(1)∵f(x)=eax=sin2x−2ax,∴f'(x)=ae∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为2x+y=0,∴f'（0）=2-2a=-2,…4分解得a=2.…5分g'(x)=2[2e2xsin2x+cos2x+e令g'(x)>0,即cos2x>0,解得−∴g（x）的单调递增区间为（−π4+令g'(x)<0,即cos2x<0,解得π∴g（x）的单调递减区间为(π4+kπ,（3）由（2）知,g（x）在[-12,12又∵g其中sin1+cos1=∴e（sinl+cos1）-2>e-2>0.即g(12)>0…13∴∃x0∈(0,12∴当x∈−1当x∈x0又f∴f(x)max=f(-12)=2−sin1e∴当x∈−1219.(1)解:依题意得:K=lna5+lna∴ln2a9=K=ln16,即（2）（i）证明:依题意得:bi=am+1−iai则又